Une fonction est un procédé qui, à un nombre de départ \(x\), fait correspondre un autre nombre unique, noté \(f(x)\).
On peut représenter les couples de nombres liés par une même fonction dans un tableau de valeurs. La ligne du haut contient les valeurs de départ \(x\), la ligne du bas les images \(f(x)\) correspondantes.
| \(x\) | −3 | 0 | 3 | |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 9 |
On calcule \(f(x) = x^2\) pour chaque valeur de \(x\) :
| \(x\) | −3 | 0 | 3 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 9 | 0 | 9 | 9 |
La représentation graphique (ou courbe) d'une fonction \(f\) est l'ensemble des points de coordonnées \((x\,;\,f(x))\).
Chaque colonne du tableau de valeurs donne les coordonnées d'un point de la courbe : si \(x = 2\) et \(f(2) = 4\), alors le point \(A(2\,;\,4)\) est sur la courbe.
On place ces points dans le repère puis on les relie pour tracer la courbe de la fonction.
Par une fonction \(f\), lorsqu'au nombre de départ \(a\), on fait correspondre le nombre \(b\), on dit que \(b\) est l'image de \(a\) par la fonction \(f\).
« Image de \(a\) » signifie que \(a\) est la valeur de départ. On connaît \(a\) et on cherche le résultat \(f(a)\).
C'est un simple calcul : on remplace \(x\) par \(a\) dans l'expression de \(f\).
Si \(f : 2 \mapsto 10\), cela se lit « \(f\) envoie \(2\) sur \(10\) ». Donc l'image de \(2\) par \(f\) est \(10\), ce qui s'écrit \(f(2) = 10\).
Pour trouver l'image de \(a\) par \(f\) :
- 1On part de l'expression \(f(x) = \ldots\)
- 2On remplace \(x\) par \(a\) dans cette expression
- 3On calcule le résultat
On cherche l'image de \(3\) : c'est \(3\) qui est la valeur de départ. On calcule \(f(3)\).
Soit la fonction \(g(x) = 3x - 7\). Calculer l'image de \(4\) par \(g\).
L'image de \(4\) : \(4\) est la valeur de départ, on calcule \(g(4)\).
Dans un tableau de valeurs, l'image d'un nombre \(a\) se lit en cherchant \(a\) dans la ligne \(x\), puis en lisant le nombre qui se trouve directement en dessous.
| \(x\) | 2 | 8 | −52 |
|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | 5 | 2 | 8 |
Image de \(-52\) : on cherche \(-52\) dans la ligne \(x\). En dessous, on lit \(8\).
→ L'image de \(-52\) par \(g\) est \(\mathbf{8}\), soit \(g(-52) = 8\).
Image de \(2\) : on cherche \(2\) dans la ligne \(x\). En dessous, on lit \(5\).
→ L'image de \(2\) par \(g\) est \(\mathbf{5}\), soit \(g(2) = 5\).
Sur un graphique, pour lire l'image d'un nombre \(a\) par \(h\) :
- 1On repère \(a\) sur l'axe des abscisses (axe horizontal)
- 2On monte verticalement jusqu'à la courbe
- 3On lit la valeur correspondante sur l'axe des ordonnées (axe vertical)
On repère \(2\) sur l'axe des abscisses → on monte jusqu'à la courbe → on lit la valeur sur l'axe des ordonnées.
En partant de \(x = 2\) sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la courbe et on lit \(y = 1\) sur l'axe vertical.
Par une fonction \(f\), lorsqu'au nombre de départ \(a\), on fait correspondre le nombre \(b\), on dit que \(a\) est un antécédent de \(b\) par la fonction \(f\).
« Antécédent de \(b\) » signifie que \(b\) est la valeur d'arrivée. On connaît le résultat et on cherche quelle valeur de départ a pu le produire.
Cela revient à résoudre une équation : on pose \(f(x) = b\) et on cherche \(x\).
Si \(f : -5 \mapsto 0\), cela signifie que \(-5\) est un antécédent de \(0\) par \(f\), ce qui s'écrit \(f(-5) = 0\).
⚠️ Un nombre peut avoir plusieurs antécédents (par exemple, \(9\) a deux antécédents par \(f(x) = x^2\) : les nombres \(3\) et \(-3\)) ou aucun.
\(a\) est la valeur de départ.
On calcule \(f(a)\).
→ Calcul direct.
\(b\) est la valeur d'arrivée.
On résout \(f(x) = b\).
→ Résolution d'équation.
Pour trouver un antécédent de \(b\) par \(f\), on résout l'équation \(f(x) = b\) :
- 1On écrit \(f(x) = b\) en remplaçant \(f(x)\) par son expression
- 2On résout l'équation en isolant \(x\) avec la méthode des flèches
- 3On vérifie en recalculant \(f(\text{résultat})\)
On cherche l'antécédent de \(3\) : \(3\) est la valeur d'arrivée. On résout l'équation \(f(x) = 3\), soit \(2x + 5 = 3\).
Soit la fonction \(g(x) = 3x - 7\). Trouver l'antécédent de \(5\) par \(g\).
\(5\) est la valeur d'arrivée. On résout \(g(x) = 5\), soit \(3x - 7 = 5\).
Dans un tableau de valeurs, l'antécédent de \(b\) se lit en cherchant \(b\) dans la ligne \(g(x)\), puis en lisant le nombre qui se trouve directement au-dessus.
| \(x\) | 2 | 8 | −52 |
|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | 5 | 2 | 8 |
Antécédent de \(8\) : on cherche \(8\) dans la ligne \(g(x)\). On le trouve dans la dernière colonne. Au-dessus, on lit \(-52\).
→ Un antécédent de \(8\) par \(g\) est \(\mathbf{-52}\).
Antécédent de \(2\) : on cherche \(2\) dans la ligne \(g(x)\). On le trouve dans la 2e colonne. Au-dessus, on lit \(8\).
→ Un antécédent de \(2\) par \(g\) est \(\mathbf{8}\).
Sur un graphique, pour lire un antécédent de \(b\) par \(h\) :
- 1On repère \(b\) sur l'axe des ordonnées (axe vertical)
- 2On trace horizontalement jusqu'à la courbe (il peut y avoir plusieurs intersections)
- 3On lit la (ou les) valeur(s) correspondante(s) sur l'axe des abscisses
On repère \(2\) sur l'axe des ordonnées → on trace horizontalement jusqu'à la courbe → on lit la valeur sur l'axe des abscisses.
En partant de \(y = 2\) sur l'axe vertical, on trace une ligne horizontale. Elle coupe la courbe en deux points : on lit \(x = -0{,}5\) et \(x = 0{,}5\) sur l'axe horizontal.
| Situation | Ce que l'on connaît | Ce que l'on cherche | Stratégie |
|---|---|---|---|
| Image de \(a\) | \(a\) = valeur de départ | \(f(a)\) = ? | Calcul direct : remplacer \(x\) par \(a\) |
| Antécédent de \(b\) | \(b\) = valeur d'arrivée | \(x\) tel que \(f(x) = b\) | Équation : résoudre \(f(x) = b\) |
Soit la fonction \(f(x) = 4x - 2\).
- Calculer l'image de \(0\) par \(f\).
- Calculer l'image de \(-3\) par \(f\).
- Trouver l'antécédent de \(10\) par \(f\).
- Trouver l'antécédent de \(-6\) par \(f\).
1. Image de \(0\) — calcul direct
2. Image de \(-3\) — calcul direct
3. Antécédent de \(10\) — équation \(f(x) = 10\)
4. Antécédent de \(-6\) — équation \(f(x) = -6\)