Théorèmes n°1 — 3ème

Exercice 1

Réciproque du théorème de Thalès

✓ Vu

Sur la figure ci-dessous :

Les segments [OA] et [UI] se coupent en M.

MO = 21 ; MA = 27 ; MU = 28 ; MI = 36 et AI = 45. L'unité de longueur est le millimètre.

1

Montrer que les droites (OU) et (AI) sont parallèles.

2

Calculer la longueur OU.

3

Prouver que le triangle AMI est rectangle.

Question 1 — Montrer que (OU) ∥ (AI)

On a :

Gauche : MAMO = 2721 ≈ 1,286

Milieu : MIMU = 3628 ≈ 1,286

Droite : AIOU
(OU inconnu)

Or : Gauche = Milieu, donc MAMO = MIMU

Donc : d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (OU) et (AI) sont parallèles.

Question 2 — Calculer OU

📝 Instructions : Colorier le grand triangle MAI en rouge et le petit triangle MOU en vert.

On a : M, O, A alignés · M, U, I alignés · (OU) ∥ (AI)

Or : d'après le théorème de Thalès

MAMO = MIMU = AIOU

2721 = 45OU

OU = 45 × 21 ÷ 27 = 35 mm

Donc : OU mesure 35 mm.

Question 3 — Prouver que AMI est rectangle

On a :

Gauche : AI² = 45² = 2 025

Droite : AM² + MI² = 27² + 36² = 729 + 1 296 = 2 025

Or : Gauche = Droite, donc AI² = AM² + MI²

✅ D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AMI est rectangle en M.

Exercice 2

Pythagore · Thalès

✓ Vu

Attention à bien lire la consigne pour la longueur AC.

Soit ABC un triangle rectangle en C tel que AC = 7,2 cm et BC = 5,4 cm.

1

Montrer que AB mesure 9 cm.

2

Soit M un point du segment [AC] tel que CM = 1,2 cm. Par ce point M, on trace la perpendiculaire à la droite (AC). Elle coupe la droite (AB) en N. On suppose ainsi les points C, M et A alignés ainsi que les points B, N et A alignés. Calculer MN.

Question 1 — Montrer que AB = 9 cm

On a : triangle ABC rectangle en C, AC = 7,2 cm, BC = 5,4 cm, hypoténuse : AB

Or : d'après le théorème de Pythagore

AB² = AC² + BC²

AB² = 7,2² + 5,4² = 51,84 + 29,16 = 81

AB = √81 = 9 cm

Donc : AB mesure 9 cm.

Question 2 — Calculer MN

AM = AC − CM = 7,2 − 1,2 = 6 cm

📝 Instructions : Colorier le grand triangle ABC en rouge et le petit triangle AMN en vert.

On a : C, M, A alignés · B, N, A alignés · (MN) ⊥ (AC) et (BC) ⊥ (AC) donc (MN) ∥ (BC)

Or : d'après le théorème de Thalès

ACAM = ABAN = BCMN

7,26 = 5,4MN

MN = 5,4 × 6 ÷ 7,2 = 4,5 cm

✅ MN mesure 4,5 cm.

Exercice 3

Thalès · Réciproque

✓ Vu

Sur le dessin ci-dessous, les droites (AB) et (CD) sont parallèles, les points A, C, O et E sont alignés ainsi que les points B, D, O et F.

On ne demande pas de reproduire la figure.

De plus, on donne les longueurs suivantes :
CO = 3 cm ; AO = 3,5 cm ; OB = 4,9 cm ; CD = 1,8 cm ; OF = 2,8 cm et OE = 2 cm.

1

Calculer les longueurs OD et AB (ne pas utiliser le triangle OEF).

2

Prouver que les droites (EF) et (AB) sont parallèles (ne pas utiliser le triangle OCD).

Question 1 — Calculer OD et AB

📝 Instructions : Colorier le grand triangle OAB en rouge et le petit triangle OCD en vert.

On a : O, C, A alignés · O, D, B alignés · (AB) ∥ (CD)

Or : d'après le théorème de Thalès

OAOC = OBOD = ABCD

3,53 = 4,9OD ⟹ OD = 4,9 × 3 ÷ 3,5 = 4,2 cm

3,53 = AB1,8 ⟹ AB = 1,8 × 3,5 ÷ 3 = 2,1 cm

✅ OD = 4,2 cm · AB = 2,1 cm

Question 2 — Prouver que (EF) ∥ (AB)

On a :

Gauche : OAOE = 3,52 = 1,75

Milieu : OBOF = 4,92,8 = 1,75

Droite : ABEF
(EF inconnu)

Or : Gauche = Milieu, donc OAOE = OBOF

✅ D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (AB) sont parallèles.