Feuille de révisions – Théorèmes — 3ème

Exercice 1 / 2 · Le silo à grain

Thalès – Réciproque · Thalès direct

✓ Vu

Un silo à grain permet de stocker des céréales. Un ascenseur permet d'acheminer le blé dans le silo, soutenu par un pilier.

On modélise l'installation par la figure ci-dessous (non réalisée à l'échelle) :

• Les points C, E et M sont alignés
• Les points C, F, H et P sont alignés
• Les droites (MH) et (CH) sont perpendiculaires
• CH = 8,5 m · CF = 2,5 m · CE = 6,5 m
• Hauteur du cylindre : HM = 20,40 m · Diamètre : HP = 4,20 m

Montrer que la longueur CM mesure 22,1 m.

Montrer que les droites (EF) et (MH) sont parallèles.

Quelle est la hauteur EF du pilier ?

Question 1 – Montrer que CM = 22,1 m

On a : Le triangle CMH est rectangle en H
CH = 8,5 m ; HM = 20,40 m ; Hypoténuse : CM

Or : d'après le théorème de Pythagore

CM² = CH² + HM²

CM² = 8,5² + 20,40² = 72,25 + 416,16 = 488,41

CM = √488,41 = 22,1 m

Donc : CM mesure bien 22,1 m ✓

Question 2 – Montrer que (EF) ∥ (MH)

FH = CH − CF = 8,5 − 2,5 = 6 m

📝 Instructions : Colorier le grand triangle CMH en rouge et le petit triangle CEF en vert.

On a : C, E, M alignés · C, F, H alignés

On calcule et compare les quotients : (pour montrer que EF et MH sont parallèles)

Gauche : CM CE = 22,1 6,5 ≈ 3,4

Milieu : CH CF = 8,5 2,5 = 3,4

Droite : MH EF
(on ne peut pas
calculer EF)

Or : Gauche = Milieu, donc CM CE = CH CF

Donc : d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (MH) sont parallèles ✓

Question 3 – Calculer EF

📝 Instructions : Colorier le grand triangle CMH en rouge et le petit triangle CEF en vert.

On a : C, E, M alignés · C, F, H alignés · (EF) et (MH) sont parallèles

Or : d'après le théorème de Thalès

CM CE = CH CF = MH EF

8,5 2,5 = 20,40 EF

EF = 20,40 × 2,5 ÷ 8,5 = 6 m

Donc : la hauteur du pilier EF mesure 6 m

Exercice 2 / 2

Pythagore · Thalès direct · Réciproque Pythagore

✓ Vu

On considère la figure suivante telle que :

• ADB est un triangle rectangle en B
• A, D, E alignés et A, B, C alignés
• (BD) et (EC) sont parallèles
• BD = 1,2 m · AB = 1,6 m · BC = 18,4 m

Calculer AD

Calculer AE et EC

Montrer que le triangle ACE est rectangle en C.

Question 1 – Calculer AD

On a : Le triangle ADB est rectangle en B
AB = 1,6 m ; BD = 1,2 m ; Hypoténuse : AD

Or : d'après le théorème de Pythagore

AD² = AB² + BD²

AD² = 1,6² + 1,2² = 2,56 + 1,44 = 4

AD = √4 = 2 m

Donc : AD mesure 2 m

Question 2 – Calculer AE et EC

AC = AB + BC = 1,6 + 18,4 = 20 m

📝 Instructions : Colorier le grand triangle EAC en rouge et le petit triangle ADB en vert.

On a : A, D, E alignés · A, B, C alignés · (BD) et (EC) sont parallèles

Or : d'après le théorème de Thalès

AE AD = AC AB = EC BD

AE 2 = 20 1,6

AE = 20 × 2 ÷ 1,6 = 25 m

EC 1,2 = 20 1,6

EC = 20 × 1,2 ÷ 1,6 = 15 m

Donc : AE mesure 25 m et EC mesure 15 m

Question 3 – Montrer que ACE est rectangle en C

On a :

Gauche :
AE² = 25² = 625

Droite :
AC² + EC² = 20² + 15²
= 400 + 225 = 625

Or : Gauche = Droite, donc AE² = AC² + EC²

Donc : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ACE est rectangle en C ✓