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Théorème de Thalès, Pythagore & Proportionnalité – Correction interactive

3ème 3 exercices Thalès · Pythagore · Pourcentages

📖 Ce qu'il faut savoir

Théorème de Thalès

Si deux droites coupent deux sécantes depuis le même point, et que deux côtés sont parallèles, alors les rapports des longueurs sont égaux.

Grand triangle ÷ petit triangle = même rapport pour les 3 côtés correspondants.

Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

hyp² = côté1² + côté2²

⚠️ L'hypoténuse est toujours en face de l'angle droit !

Corrections vues :

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Exercice 1 – La rivière

Exercice 1 / 3

Thalès · Vitesse

✓ Vu

Une famille se promène au bord d'une rivière. Les enfants aimeraient connaître la largeur de la rivière. Sur le schéma ci-dessous, les points C, E et D sont alignés, ainsi que les points A, E et B. On sait que AE = 20 pas, BE = 5 pas et BD = 1 pas.

Démontrer que les droites (AC) et (BD) sont parallèles.

Déterminer, en nombre de pas, la longueur AC de la rivière.

Montrer que la longueur CE vaut 13,3 m, en arrondissant au décimètre près (1 pas = 65 cm).

Un enfant lâche un bâton dans la rivière au niveau du point E. Avec le courant, le bâton se déplace en ligne droite en 5 secondes jusqu'au point C.

Calculer la vitesse du bâton en m/s.

Est-il vrai que le bâton se déplace à une vitesse moyenne inférieure à 10 km/h ?

💡 Indice – débloque-les un par un

Question 1 : regarde les angles formés en A et en B par rapport au sol. Que peut-on dire de (AC) et (BD) par rapport à la droite (AB) ? Quel théorème cela permet-il d'utiliser ?

Question 2 : les droites étant parallèles, quel théorème peut-on appliquer ? Ce théorème donne une relation entre les longueurs des segments — quels rapports peut-on écrire ? Comment en déduire AC ?

Question 3 : le triangle AEC est rectangle — en quel sommet ? Quelle est alors l'hypoténuse ? Pense à convertir les mesures dans la même unité avant d'appliquer le théorème. Question 4 : comment calcule-t-on une vitesse à partir d'une distance et d'un temps ? Quelle conversion d'unité sera nécessaire pour exprimer le résultat en km/h ?

Question 1 – Les droites (AC) et (BD) sont-elles parallèles ?

On a : La droite (AC) est perpendiculaire à la droite (AB).
La droite (BD) est perpendiculaire à la droite (AB).
(les deux triangles ont un angle droit en A et en B)

Or : Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.

Donc : les droites (AC) et (BD) sont parallèles.

Question 2 – Longueur AC en nombre de pas

On a : A, E, B alignés
C, E, D alignés
les droites (AC) et (BD) sont parallèles

Or : d'après le théorème de Thalès

AEEB = CEED = ACBD

205 = CEED = AC1

205 = AC1

AC = 20 × 1 ÷ 5 = 4 pas

Donc : la largeur de la rivière AC mesure 4 pas.

Question 3 – Montrer que CE ≈ 13,3 m

⚠️ On convertit d'abord : 1 pas = 65 cm = 0,65 m
AE = 20 × 0,65 = 13 m | AC = 4 × 0,65 = 2,6 m

On a : Le triangle AEC est rectangle en A.
         AE = 13 m
         AC = 2,6 m
         Hypoténuse : CE

Or : d'après le théorème de Pythagore

CE² = AE² + AC²

CE² = 13² + 2,6²

CE² = 169 + 6,76

CE² = 175,76

CE = √175,76 ≈ 13,257…

Donc : CE ≈ 13,3 m (arrondi au décimètre). ✓

Question 4a – Vitesse du bâton en m/s

On utilise un tableau de proportionnalité :

Distance (m)	13,3	?
Temps (s)	5	1

? = 13,3 × 1 ÷ 5 = 2,66 m/s

La vitesse du bâton est de 2,66 m/s.

Question 4b – Vitesse inférieure à 10 km/h ?

⚠️ On cherche la distance parcourue en 1 heure, c'est-à-dire en 3 600 secondes.

On utilise un tableau de proportionnalité :

Distance (m)	2,66	?
Temps (s)	1	3 600

? = 2,66 × 3 600 ÷ 1 = 9 576 m

9 576 m = 9,576 km

Or : 9,576 km < 10 km
Donc : Oui, le bâton se déplace bien à une vitesse moyenne inférieure à 10 km/h.

🪁

Exercice 2 – Le cerf-volant

Exercice 2 / 3

Thalès · Pythagore

✓ Vu

Thomas décide d'accrocher sa ficelle de cerf-volant au sol en T. Le cerf-volant est en C. La longueur de fil TC = 15 m, la distance TH = 20 pas et un pas de Thomas mesure 0,6 m. Les points T, C, E sont alignés et les points T, H, F sont alignés. EF = 13,5 m.

Calculer la longueur TH en mètre.

Calculer la longueur CH en mètre.

Thomas voudrait dérouler plus de corde afin que le cerf-volant atteigne l'altitude E de sorte que EF = 13,5 m. Calculer la longueur TE.

💡 Indice – débloque-les un par un

Question 1 : quelle relation y a-t-il entre TH et TC d'après l'énoncé ? Comment en déduire la valeur de TH ?

Question 2 : dans le triangle TCH, en quel sommet est l'angle droit ? Quelle est donc l'hypoténuse ? Quel théorème relie les trois côtés d'un triangle rectangle ?

Question 3 : y a-t-il deux triangles qui partagent un sommet commun et dont deux côtés seraient parallèles ? Si oui, quel théorème s'applique ? Quels rapports peut-on alors écrire pour trouver EF ?

Question 1 – Longueur TH en mètre

TH = 20 × 0,6 = 12 m

TH = 12 m

Question 2 – Longueur CH en mètre

On a : Le triangle TCH est rectangle en H (H est au sol).
TC = 15 m (hypoténuse) | TH = 12 m

Or : d'après le théorème de Pythagore :

TC² = TH² + CH²

15² = 12² + CH²

225 = 144 + CH²

CH² = 225 − 144 = 81

CH = √81 = 9 m

Donc : CH = 9 m

Question 3 – Longueur TE

On a : T, C, E alignés et T, H, F alignés et (CH) ∥ (EF) (les deux triangles sont rectangles sur le sol)
Or : d'après le théorème de Thalès :

TETC = TFTH = EFCH

TE15 = 13,59

TE = 13,5 × 15 ÷ 9 = 22,5 m

Donc : Thomas devra dérouler une longueur TE = 22,5 m de corde.

🪵

Exercice 3 – L'étagère

Exercice 3 / 3

Pythagore · Thalès · Pourcentages

✓ Vu

Une famille a acheté une étagère affichée à 139,90 € avec une réduction de 10 %. L'étagère est montée à plat au sol (position 1) et relevée contre le mur (position 2). On a AB = AB' = 0,80 m et BC = B'C' = 2,25 m. Le mur mesure 2,40 m de hauteur.

Schéma exercice 3 – étagère position 1 et 2

Quel a été le montant de la réduction ? (Trouver les deux méthodes.)

Vérifier que l'étagère ne touchera pas le plafond au moment de la relever.

Rappel : AB = 0,80 m et BC = 2,25 m

On installe quatre tablettes horizontales régulièrement espacées [DE], [FG], [HI] et [JK]. Données : B'C' = 2,25 m, AB' = 0,80 m.

Calculer la longueur C'E.

Calculer la longueur de la tablette [DE].

Calculer la longueur de la tablette [HI].

💡 Indice – débloque-les un par un

Question 1 : une remise de 10 %, ça veut dire qu'on soustrait 10 % du prix initial. Comment calcule-t-on 10 % d'un nombre ? Existe-t-il une façon plus directe d'obtenir le prix final en calculant un seul pourcentage ?

Question 2 : dans le triangle ABC, en quel sommet est l'angle droit ? Quel théorème permet de calculer un côté d'un triangle rectangle ? Quelle condition sur la longueur trouvée permettrait de conclure que l'étagère ne touche pas le plafond ?

Questions 3b et 3c : dans chaque cas, cherche deux triangles emboîtés qui partagent un sommet et dont un côté serait parallèle à un autre. Une fois la configuration identifiée, quels rapports le théorème de Thalès permet-il d'écrire ?

Question 1 – Montant de la réduction

Méthode 1 : trouver 10 % du prix

Pourcentage (%)	100	10
Prix (€)	139,90	?

? = 10 × 139,90 ÷ 100 = 13,99 €

La réduction est de 13,99 €.

Méthode 2 : trouver directement le prix payé (90 %)

Pourcentage (%)	100	90
Prix (€)	139,90	?

? = 90 × 139,90 ÷ 100 = 125,91 €

Réduction = 139,90 − 125,91 = 13,99 €

La réduction est de 13,99 €. ✓

Question 2 – L'étagère touchera-t-elle le plafond ?

On a : Le triangle ABC est rectangle en B.
AB = 0,80 m | BC = 2,25 m | Hypoténuse : AC

Or : d'après le théorème de Pythagore :

AC² = AB² + BC²

AC² = 0,80² + 2,25²

AC² = 0,64 + 5,0625 = 5,7025

AC = √5,7025 = 2,3879… ≈ 2,39 m

Or : 2,39 m < 2,40 m (hauteur du plafond)
Donc : L'étagère ne touchera pas le plafond lors du relevage. ✓

Question 3a – Longueur C'E

Les 5 intervalles (4 tablettes + 1 au-dessus) sont régulièrement espacés sur C'B' = 2,25 m. Donc chaque intervalle vaut C'B'/5.

C'E = C'B' ÷ 5 = 2,25 ÷ 5 = 0,45 m

C'E = 0,45 m

Question 3b – Longueur de la tablette [DE]

On a : C', D alignés sur le côté gauche de l'étagère
C', E, B' alignés sur le côté droit de l'étagère
les droites (DE) et (AB') sont parallèles

Or : d'après le théorème de Thalès dans le grand triangle C'AB' et le petit triangle C'DE :

C'B'C'E = C'AC'D = AB'DE

2,250,45 = C'AC'D = 0,80DE

2,250,45 = 0,80DE

DE = 0,80 × 0,45 ÷ 2,25 = 0,16 m

Donc : la tablette [DE] mesure 0,16 m.

Question 3c – Longueur de la tablette [HI]

⚠️ La tablette [HI] est la 3ème en partant du haut. C'I = 3 × C'E = 3 × 0,45 = 1,35 m

On a : C', D, E, I alignés sur le côté droit de l'étagère
C', J, H alignés sur le côté gauche de l'étagère
les droites (HI) et (DE) sont parallèles

Or : d'après le théorème de Thalès dans le grand triangle C'IH et le petit triangle C'ED :

C'IC'E = C'HC'D = HIDE

1,350,45 = C'HC'D = HI0,16

1,350,45 = HI0,16

HI = 1,35 × 0,16 ÷ 0,45 = 0,48 m

Donc : la tablette [HI] mesure 0,48 m.