Développer, Simplifier & Réduire

Double distributivité — 3^ème

✏️ Double distributivité 3^ème 7 exercices

📐 Rappel — Développer puis réduire

Pour développer \((\textcolor{#dc2626}{a+b})(\textcolor{#2563eb}{c+d})\), on fait 4 produits (chaque terme rouge × chaque terme bleu), puis on réduit les termes semblables.

\((\textcolor{#dc2626}{a}+\textcolor{#dc2626}{b})(\textcolor{#2563eb}{c}+\textcolor{#2563eb}{d}) = \textcolor{#dc2626}{a}\textcolor{#2563eb}{c} + \textcolor{#dc2626}{a}\textcolor{#2563eb}{d} + \textcolor{#dc2626}{b}\textcolor{#2563eb}{c} + \textcolor{#dc2626}{b}\textcolor{#2563eb}{d}\)

📊 Méthode du tableau

×	c	d
a	ac	ad
b	bc	bd

On lit les 4 produits dans les cases, on les additionne, puis on réduit.

✏️ Méthode du calcul

= a(c+d) + b(c+d)
= ac + ad + bc + bd

On distribue terme par terme, puis on regroupe les termes en x², en x, et les constantes.

Progression

0 / 7

Partie 1 — Développer et réduire

Exercice 1 / 7

DévelopperRéduire

✓ Vu

Développer et réduire les expressions suivantes. Pour chacune, utiliser les deux méthodes.

\(A = (\textcolor{#dc2626}{x+2})(\textcolor{#2563eb}{x+4})\)

\(B = (\textcolor{#dc2626}{x+3})(\textcolor{#2563eb}{x-1})\)

\(C = (\textcolor{#dc2626}{x-5})(\textcolor{#2563eb}{x+2})\)

\(D = (\textcolor{#dc2626}{x-3})(\textcolor{#2563eb}{x-4})\)

💡 Indices

Pour A (tableau) : identifie les deux facteurs du produit et décompose chacun pour construire les lignes et colonnes. Que devient le produit quand les deux termes sont identiques, comme \(\textcolor{#dc2626}{x} \times \textcolor{#2563eb}{x}\) ?

Pour D : les deux termes à multiplier sont tous les deux négatifs. Rappelle-toi la règle de signe : que donne le produit de deux termes de même signe ?

A = \((\textcolor{#dc2626}{x+2})(\textcolor{#2563eb}{x+4})\)

📊 Tableau

×	\(x\)	\(4\)
\(x\)	\(x^2\)	\(4x\)
\(2\)	\(2x\)	\(8\)

\(x^2 + 4x + 2x + 8 = x^2 + 6x + 8\)

✏️ Calcul

\(\textcolor{#dc2626}{x}(\textcolor{#2563eb}{x+4}) + \textcolor{#dc2626}{2}(\textcolor{#2563eb}{x+4})\)
\(= x^2 + 4x + 2x + 8\)

\(= x^2 + 6x + 8\)

B = \((\textcolor{#dc2626}{x+3})(\textcolor{#2563eb}{x-1})\)

📊 Tableau

×	\(x\)	\(-1\)
\(x\)	\(x^2\)	\(-x\)
\(3\)	\(3x\)	\(-3\)

\(x^2 - x + 3x - 3 = x^2 + 2x - 3\)

✏️ Calcul

\(\textcolor{#dc2626}{x}(\textcolor{#2563eb}{x-1}) + \textcolor{#dc2626}{3}(\textcolor{#2563eb}{x-1})\)
\(= x^2 - x + 3x - 3\)

\(= x^2 + 2x - 3\)

C = \((\textcolor{#dc2626}{x-5})(\textcolor{#2563eb}{x+2})\)

📊 Tableau

×	\(x\)	\(2\)
\(x\)	\(x^2\)	\(2x\)
\(-5\)	\(-5x\)	\(-10\)

\(x^2 + 2x - 5x - 10 = x^2 - 3x - 10\)

✏️ Calcul

\(\textcolor{#dc2626}{x}(\textcolor{#2563eb}{x+2}) - \textcolor{#dc2626}{5}(\textcolor{#2563eb}{x+2})\)
\(= x^2 + 2x - 5x - 10\)

\(= x^2 - 3x - 10\)

D = \((\textcolor{#dc2626}{x-3})(\textcolor{#2563eb}{x-4})\)

📊 Tableau

×	\(x\)	\(-4\)
\(x\)	\(x^2\)	\(-4x\)
\(-3\)	\(-3x\)	\(+12\)

\(x^2 - 4x - 3x + 12 = x^2 - 7x + 12\)

✏️ Calcul

\(\textcolor{#dc2626}{x}(\textcolor{#2563eb}{x-4}) - \textcolor{#dc2626}{3}(\textcolor{#2563eb}{x-4})\)
\(= x^2 - 4x - 3x + 12\)

\(= x^2 - 7x + 12\)

Exercice 2 / 7

CoefficientsRéduire

✓ Vu

Développer et réduire.

\(E = (\textcolor{#dc2626}{2x+1})(\textcolor{#2563eb}{x+3})\)

\(F = (\textcolor{#dc2626}{3x-2})(\textcolor{#2563eb}{x+4})\)

\(G = (\textcolor{#dc2626}{2x-1})(\textcolor{#2563eb}{3x-2})\)

💡 Indices

Pour E : que donne le produit de deux termes contenant chacun la variable \(x\) ? Réfléchis séparément aux coefficients et aux parties littérales.

Pour G : parmi les 4 termes du développement, lesquels contiennent un \(x\) simple (sans exposant) ? Identifie-les dans les cases du tableau, puis additionne-les en tenant compte des signes.

E = \((\textcolor{#dc2626}{2x+1})(\textcolor{#2563eb}{x+3})\)

📊 Tableau

×	\(x\)	\(3\)
\(2x\)	\(2x^2\)	\(6x\)
\(1\)	\(x\)	\(3\)

\(2x^2 + 6x + x + 3 = 2x^2 + 7x + 3\)

✏️ Calcul

\(\textcolor{#dc2626}{2x}(\textcolor{#2563eb}{x+3}) + \textcolor{#dc2626}{1}(\textcolor{#2563eb}{x+3})\)
\(= 2x^2 + 6x + x + 3\)

\(= 2x^2 + 7x + 3\)

F = \((\textcolor{#dc2626}{3x-2})(\textcolor{#2563eb}{x+4})\)

📊 Tableau

×	\(x\)	\(4\)
\(3x\)	\(3x^2\)	\(12x\)
\(-2\)	\(-2x\)	\(-8\)

\(3x^2 + 12x - 2x - 8 = 3x^2 + 10x - 8\)

✏️ Calcul

\(\textcolor{#dc2626}{3x}(\textcolor{#2563eb}{x+4}) - \textcolor{#dc2626}{2}(\textcolor{#2563eb}{x+4})\)
\(= 3x^2 + 12x - 2x - 8\)

\(= 3x^2 + 10x - 8\)

G = \((\textcolor{#dc2626}{2x-1})(\textcolor{#2563eb}{3x-2})\)

📊 Tableau

×	\(3x\)	\(-2\)
\(2x\)	\(6x^2\)	\(-4x\)
\(-1\)	\(-3x\)	\(+2\)

\(6x^2 - 4x - 3x + 2 = 6x^2 - 7x + 2\)

✏️ Calcul

\(\textcolor{#dc2626}{2x}(\textcolor{#2563eb}{3x-2}) - \textcolor{#dc2626}{1}(\textcolor{#2563eb}{3x-2})\)
\(= 6x^2 - 4x - 3x + 2\)

\(= 6x^2 - 7x + 2\)

Partie 2 — Applications

Exercice 3 / 7

Programme de calculDouble distributivité

✓ Vu

⚙️ On donne deux programmes de calcul. Exprimer le résultat en fonction de \(x\), puis développer et réduire.

Programme A

Étapes

1Choisir un nombre \(x\)

2Ajouter 3

3Multiplier le résultat par la somme du nombre de départ et 1

Programme B

Étapes

1Choisir un nombre \(x\)

2Soustraire 2

3Multiplier le résultat par la somme du nombre de départ et 5

1.Appliquer le programme A avec \(x = 4\), puis exprimer et réduire le résultat avec \(x\).

2.Même question pour le programme B avec \(x = 4\).

3.Pour quelle valeur de \(x\) les deux programmes donnent-ils le même résultat ?

💡 Indices

Programme A : traduis chaque étape en algèbre. Qu'est-ce qu'on obtient après l'étape 2 ? Après l'étape 3 ? Quelle forme a l'expression finale ?

Question 3 : pour trouver pour quelle valeur de \(x\) les deux programmes donnent le même résultat, que doit-on écrire ? Une fois les deux expressions développées, comment simplifier cette équation ?

Programme A

Avec \(x = 4\) : \((4+3)(4+1) = 7 \times 5 = 35\)
Avec \(x\) : \((x+3)(x+1) = x^2 + x + 3x + 3\)

\(= x^2 + 4x + 3\)

Programme B

Avec \(x = 4\) : \((4-2)(4+5) = 2 \times 9 = 18\)
Avec \(x\) : \((x-2)(x+5) = x^2 + 5x - 2x - 10\)

\(= x^2 + 3x - 10\)

Même résultat

\(x^2 + 4x + 3 = x^2 + 3x - 10\)
\(4x + 3 = 3x - 10\) (on enlève \(x^2\) des deux côtés)
\(x = -13\)

Pour \(x = -13\), les deux programmes donnent le même résultat.

Exercice 4 / 7

AireDouble distributivité

✓ Vu

🟩 Un grand rectangle a pour longueur \((x + 5)\) cm et pour largeur \((x + 2)\) cm. Un petit carré de côté \(x\) cm est découpé à l'intérieur.

1.Développer et réduire l'expression de l'aire du grand rectangle.

2.Exprimer et réduire l'aire de la partie non découpée (grand rectangle moins le petit carré).

3.Calculer cette aire pour \(x = 3\).

💡 Indices

Comment calcule-t-on l'aire d'un rectangle ? Quelles sont les dimensions du grand rectangle en fonction de \(x\) ? Quelle opération faudra-t-il ensuite effectuer pour développer cette expression ?

Comment calcule-t-on l'aire d'un carré de côté \(x\) ? Pour obtenir l'aire non découpée, quelle opération effectue-t-on entre l'aire du grand rectangle et celle du carré ? Que se passe-t-il avec certains termes lors de cette opération ?

Question 1 — Aire du grand rectangle

\((x+5)(x+2) = x^2 + 2x + 5x + 10\)

\(\mathcal{A}_\text{grand} = x^2 + 7x + 10\)

Question 2 — Aire non découpée

Aire petit carré : \(x^2\)
\(\mathcal{A} = (x^2 + 7x + 10) - x^2\)
\(x^2\) \(+\) \(7x\) \(+\) \(10\) \(-\) \(x^2\)

\(\mathcal{A} = 7x + 10\) cm²

Question 3 — Application numérique

Pour \(x = 3\) : \(7 \times 3 + 10 = 21 + 10\)

\(\mathcal{A} = 31\) cm²

Exercice 5 / 7

PérimètreDévelopperRéduire

✓ Vu

📐 Deux rectangles. Le rectangle 1 a pour dimensions \((x+3)\) et \((x+1)\). Le rectangle 2 a pour longueur \(2x+5\) et pour largeur \(x\).

Rectangle 1

Rectangle 2

1.Calculer et réduire l'aire du rectangle 1 en développant \((x+3)(x+1)\).

2.Exprimer et réduire l'aire du rectangle 2.

3.Pour quelle valeur de \(x\) les deux rectangles ont-ils la même aire ?

💡 Indices

Exprime les dimensions de chaque rectangle en fonction de \(x\), puis écris la formule de l'aire. L'un des rectangles nécessite une double distributivité, l'autre une distributivité simple — lequel est lequel ?

Question 3 : pour trouver pour quelle valeur de \(x\) les deux aires sont égales, que doit-on écrire ? Une fois les deux expressions développées, comment résoudre cette équation ?

Aire du rectangle 1

\((x+3)(x+1) = x^2 + x + 3x + 3\)

\(\mathcal{A}_1 = x^2 + 4x + 3\)

Aire du rectangle 2

\(x(2x+5) = 2x^2 + 5x\)

\(\mathcal{A}_2 = 2x^2 + 5x\)

Même aire

\(x^2 + 4x + 3 = 2x^2 + 5x\)
\(0 = x^2 + x - 3\)

💡 Cette équation du second degré dépasse le programme, mais on peut vérifier que \(x \approx 1{,}30\) est une solution positive (pour \(x = 1\) : aires 8 et 7 ; pour \(x = 2\) : aires 15 et 18).

Partie 3 — Expressions composées

Exercice 6 / 7

DévelopperTout réduire

✓ Vu

Développer entièrement et réduire. Certaines expressions ont des termes supplémentaires à regrouper.

\(H = (x+2)(x+3) + 4x\)

\(I = (x-1)(x+4) - 3x + 5\)

\(J = (2x+1)(x-2) + x^2 - 3\)

💡 Indices

Stratégie : d'abord développer le produit par double distributivité, puis additionner ou soustraire les termes restants, et enfin réduire.

Pour J : commence par développer le produit, puis ajoute les termes restants. Une fois tous les termes rassemblés, quels sont ceux de même nature qu'on peut regrouper ?

H = \((x+2)(x+3) + 4x\)

\((x+2)(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6\)
\(H = x^2 + 5x + 6 + 4x\)
\(x^2\) \(+\) \(5x\) \(+\) \(6\) \(+\) \(4x\)

\(H = x^2 + 9x + 6\)

I = \((x-1)(x+4) - 3x + 5\)

\((x-1)(x+4) = x^2 + 4x - x - 4 = x^2 + 3x - 4\)
\(I = x^2 + 3x - 4 - 3x + 5\)
\(x^2\) \(+\) \(3x\) \(-\) \(4\) \(-\) \(3x\) \(+\) \(5\)

\(I = x^2 + 1\)

J = \((2x+1)(x-2) + x^2 - 3\)

\((2x+1)(x-2) = 2x^2 - 4x + x - 2 = 2x^2 - 3x - 2\)
\(J = 2x^2 - 3x - 2 + x^2 - 3\)
\(2x^2\) \(+\) \(x^2\) \(-\) \(3x\) \(-\) \(2\) \(-\) \(3\)

\(J = 3x^2 - 3x - 5\)

termes en \(x^2\) termes en \(x\) constantes

Exercice 7 / 7

⭐ BilanAire composée🔴 Difficile

✓ Vu

🌿 Un jardin rectangulaire mesure \((x+4)\) m de long et \((x+2)\) m de large. Au centre, une allée rectangulaire de longueur \((x+4)\) m et de largeur \(1\) m le traverse horizontalement. Le reste est une pelouse.

1.Développer et réduire l'aire totale du jardin.

2.Exprimer l'aire de l'allée en fonction de \(x\).

3.Exprimer et réduire l'aire de la pelouse.

4.Calculer l'aire de la pelouse pour \(x = 6\).

💡 Indices

Quelles sont les dimensions du jardin avec l'allée, en fonction de \(x\) ? Et les dimensions de l'allée seule ? Exprime une aire totale et une aire pour l'allée.

Aire pelouse = aire totale − aire allée. Développe chaque expression, puis effectue la soustraction. Quels termes disparaissent ou se simplifient ?

Question 1 — Aire totale

\((x+4)(x+2) = x^2 + 2x + 4x + 8\)

\(\mathcal{A}_\text{total} = x^2 + 6x + 8\) m²

Question 2 — Aire de l'allée

L'allée : longueur \((x+4)\), largeur \(1\)
\(\mathcal{A}_\text{allée} = 1 \times (x+4)\)

\(\mathcal{A}_\text{allée} = x + 4\) m²

Question 3 — Aire de la pelouse

\(\mathcal{A}_\text{pelouse} = (x^2 + 6x + 8) - (x + 4)\)
\(=\) \(x^2\) \(+\) \(6x\) \(+\) \(8\) \(-\) \(x\) \(-\) \(4\)

\(\mathcal{A}_\text{pelouse} = x^2 + 5x + 4\) m²

Question 4 — Application numérique

Pour \(x = 6\) : \(6^2 + 5 \times 6 + 4 = 36 + 30 + 4\)

\(\mathcal{A}_\text{pelouse} = 70\) m²