Dans une expression littérale, on peut supprimer le signe \(\times\) lorsqu'il est placé devant une lettre ou une parenthèse.
Pour simplifier un produit de plusieurs facteurs, on peut modifier l'ordre de ses facteurs.
| 1) | \(2 \times b\) | . . . . . .\(= 2b\) |
| 2) | \(a \times b\) | . . . . . .\(= ab\) |
| 3) | \(1 \times x\) | . . . . . .\(= x\) |
| 4) | \(4 \times (7a + 3)\) | . . . . . .\(= 4(7a+3)\) |
| 5) | \(2x \times 3x\) | . . . . . .\(= 6x^2\) |
| 6) | \(x \times x\) | . . . . . .\(= x^2\) |
| 7) | \(x \times x \times x\) | . . . . . .\(= x^3\) |
On peut regrouper les termes semblables, c'est-à-dire les termes qui contiennent la même lettre.
\(x^2 \neq 2x\) — ce sont deux choses complètement différentes !
| 1) | \(2x + 3x\) | \(2x\) \(+\) \(3x\) | . . . . . .\(= 5x\) |
| 2) | \(5x - 3x\) | \(5x\) \(-\) \(3x\) | . . . . . .\(= 2x\) |
| 3) | \(2x + 2y\) | \(2x\) \(+\) \(2y\) | . . . . . .Impossible (\(x\) et \(y\) sont différents) |
| 4) | \(2x + 10x^2 + x\) | \(2x\) \(+\) \(10x^2\) \(+\) \(\underbrace{1x}_{x=1x}\) | . . . . . .\(10x^2\) \(+\) \(3x\) |
| a) | \(4x + 2x\) | \(4x\) \(+\) \(2x\) | . . . . . .\(= 6x\) |
| b) | \(7a - 3a + 2\) | \(7a\) \(-\) \(3a\) \(+\) \(2\) | . . . . . .\(4a\) \(+\) \(2\) |
| c) | \(3x + 5y + x\) | \(3x\) \(+\) \(5y\) \(+\) \(\underbrace{1x}_{x=1x}\) | . . . . . .\(4x\) \(+\) \(5y\) |
| d) | \(6b + 3a + 2b\) | \(3a\) \(+\) \(6b\) \(+\) \(2b\) | . . . . . .\(3a\) \(+\) \(8b\) |
Calculer la valeur d'une expression littérale, c'est attribuer un nombre à chaque lettre de l'expression afin d'effectuer le calcul.
Pour \(x = 5\) :
Pour \(x = 0\) :
Développer, c'est transformer un produit en somme ou en différence.
\(k\), \(a\) et \(b\) désignent des nombres :
Le facteur \(\textcolor{#c0392b}{k}\) se distribue sur chaque terme entre parenthèses.
\(C = 3(x + 5) \qquad D = 4(2x - 1) \qquad E = 5(x + 2) + 3x\)
\(C = 3(x+5)\)
\(D = 4(2x-1)\)
\(E = 5(x+2)+3x\)
Si la parenthèse est précédée de + : on enlève la parenthèse, les signes ne changent pas.
Si la parenthèse est précédée de − : on enlève la parenthèse et on change le signe de chaque terme.
Quels que soient les nombres \(a, b, c, d\) :
Chaque terme du 1er facteur se multiplie par chaque terme du 2e → 4 produits.
| × | x | 5 |
|---|---|---|
| x | \(x^2\) | \(5x\) |
| 3 | \(3x\) | \(15\) |
\(B = (\textcolor{#dc2626}{-3 + 2x})(\textcolor{#2563eb}{7 - x})\)
| × | 7 | \(-x\) |
|---|---|---|
| \(-3\) | \(-21\) | \(3x\) |
| \(2x\) | \(14x\) | \(-2x^2\) |
Factoriser, c'est transformer une somme ou une différence en produit.
\(k\), \(a\) et \(b\) désignent des nombres :
On cherche le facteur commun à tous les termes, puis on le met en facteur.
| 1) | \(2 \times x + 2 \times 4\) | Facteur commun : 2 | . . . . . .\(= 2(x + 4)\) |
| 2) | \(12x^2 - 15x\) | Facteur commun : 3x | . . . . . .\(= 3x(4x - 5)\) |
| 3) | \(x^2 + 7x\) | Facteur commun : x | . . . . . .\(= x(x + 7)\) |
Quels que soient les nombres \(a\) et \(b\) :
\(\text{1) Calculer rapidement } 98 \times 102 \qquad \text{2) Factoriser } x^2 - 9\)
1) \(98 \times 102\)
2) \(x^2 - 9\)
Deux expressions littérales sont égales si elles donnent le même résultat pour n'importe quelle valeur des lettres. Pour le prouver, on développe et réduit chaque membre séparément, puis on compare.
Il suffit de trouver un seul exemple pour lequel deux expressions donnent des résultats différents pour prouver qu'elles ne sont pas égales. Cet exemple s'appelle un contre-exemple.
\(a=2, b=3\) est un contre-exemple : Léo a tort.