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Proportionnalité (1) — Reconnaître et justifier dans des problèmes · Correction interactive

📊 Progression
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📚 Ce qu'il faut savoir
Deux grandeurs proportionnelles

Quand on multiplie l'une par un nombre, l'autre est multipliée par le même nombre. Le nombre par lequel on multiplie toujours s'appelle le coefficient de proportionnalité.

Et à \(0\) d'un côté doit correspondre \(0\) de l'autre.

Sur un graphique

Une situation proportionnelle se lit comme une droite qui passe par l'origine.

Il faut les deux : une droite et qui passe par le point O.

Dans un problème, il faut trier — Toutes les grandeurs d'une situation ne sont pas proportionnelles entre elles. Avant de calculer, demande-toi : « si je multiplie, est-ce que l'autre est multipliée pareil ? ». Attention : une partie fixe (frais de départ, caution, inscription…) casse la proportionnalité.
Trouver une quatrième proportionnelle — 4 méthodes au choix
• Passage à l'unité : on cherche la valeur pour \(1\), puis on multiplie.
• Linéarité : on combine des colonnes connues (en additionnant, multipliant ou divisant).
• Coefficient de proportionnalité : on multiplie par le coefficient.
• Produit en croix : on multiplie en croix, puis on divise.

Exercice 1Stand de crêpes

✓ Vu
Pour la fête du collège, un stand vend des crêpes à \(2\) € la crêpe. La location du stand coûte \(20\) €, payée une seule fois.
1
La recette, c'est l'argent récolté par les ventes. Quelle est la recette pour \(20\) crêpes ? pour \(30\) crêpes ?
2
La recette est-elle proportionnelle au nombre de crêpes vendues ? Justifier, et donner le coefficient de proportionnalité si elle l'est.
3
Le bénéfice, c'est la recette à laquelle on enlève la location. Quel est le bénéfice pour \(20\) crêpes ? pour \(30\) crêpes ?
4
Le bénéfice est-il proportionnel au nombre de crêpes vendues ? Justifier, et donner le coefficient de proportionnalité si c'est le cas.
Ne mélange pas les deux choses : la recette (l'argent des ventes) et le bénéfice (ce qu'il reste après avoir payé la location).
Pour tester la proportionnalité, calcule les quotients (prix \(\div\) nombre de crêpes) et regarde s'ils sont égaux.
Pour le bénéfice, teste \(0\) crêpe vendue : combien a-t-on déjà dépensé ?
1) La recette
Recette \(= 2 \times\) nombre de crêpes. Pour \(20\) crêpes : \(2 \times 20 = 40\) €. Pour \(30\) crêpes : \(2 \times 30 = 60\) €.
2) La recette est-elle proportionnelle ?
Quotients : \(40 \div 20 = 2\) et \(60 \div 30 = 2\).
Les quotients sont égaux, donc la recette est proportionnelle au nombre de crêpes. Le coefficient de proportionnalité est \(2\) (prix d'une crêpe, en €).
3) Le bénéfice
Bénéfice \(=\) recette \(- 20\). Pour \(20\) crêpes : \(40 - 20 = 20\) €. Pour \(30\) crêpes : \(60 - 20 = 40\) €.
4) Le bénéfice est-il proportionnel ?
Quotients : \(20 \div 20 = 1\) et \(40 \div 30 \approx 1{,}3\).
Autre preuve : pour \(0\) crêpe vendue, le bénéfice est \(-20\) € (on a payé la location sans rien vendre), et non \(0\) €.
Les quotients ne sont pas égaux, donc le bénéfice n'est pas proportionnel au nombre de crêpes : il n'y a pas de coefficient de proportionnalité.
À retenir : la location est un coût fixe. C'est elle qui casse la proportionnalité du bénéfice, alors que la recette, elle, reste proportionnelle.

Exercice 2Recette de cookies

✓ Vu
Une recette de cookies est prévue pour \(4\) personnes : \(120\) g de farine, \(80\) g de sucre, et \(12\) min de cuisson. Marwa veut faire cette recette pour \(10\) personnes.
1
Quelle quantité de farine faut-il pour \(10\) personnes ? Rédiger la méthode.
2
Marwa pense qu'il faut aussi augmenter le temps de cuisson, car il y a plus de personnes. A-t-elle raison ? Justifier.
3
Dans cette recette, quelles grandeurs sont proportionnelles au nombre de personnes ? Lesquelles ne le sont pas ?
Commence par trouver la quantité de farine pour \(1\) personne.
Pour la cuisson, demande-toi : si je fais \(2\) fois plus de cookies, cuisent-ils \(2\) fois plus longtemps ?
Classe chaque grandeur dans deux colonnes : « se multiplie » / « ne se multiplie pas ».
1) La farine pour 10 personnes
Étape 1 — La quantité de farine est proportionnelle au nombre de personnes.
Étape 2 — J'utilise le passage à l'unité (la quantité pour \(1\) personne).
Étape 3 — Pour \(1\) personne : \(120 \div 4 = 30\) g. Pour \(10\) personnes : \(30 \times 10 = 300\) g.
Étape 4 — Il faut \(300\) g de farine pour \(10\) personnes.
2) Le temps de cuisson
Faire plus de cookies ne veut pas dire les cuire plus longtemps : le four cuit tout en même temps. Le temps de cuisson reste \(12\) min.
Marwa a tort : le temps de cuisson n'est pas proportionnel au nombre de personnes.
3) Trier les grandeurs
Proportionnelles au nombre de personnes : la farine, le sucre (et tous les ingrédients).
Non proportionnel : le temps de cuisson.
À retenir : dans une même situation, certaines grandeurs sont proportionnelles et d'autres non : il faut les distinguer avant de se lancer dans les calculs.

Exercice 3Trajet à vélo

✓ Vu
Léa part de chez elle à vélo. Le graphique ci-dessous donne la distance parcourue (en km) selon le temps (en min).
Distance parcourue par Léa
0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 3 6 9 12 15 temps (min) distance (km)
1
Quelle distance Léa a-t-elle parcourue au bout de \(15\) min ?
2
Entre \(15\) min et \(25\) min, la distance ne change pas. Que fait Léa pendant ce temps ?
3
Sur l'ensemble du trajet, la distance est-elle proportionnelle au temps ? Justifier, et donner le coefficient de proportionnalité si c'est le cas.
4
Sur la première partie du trajet (de \(0\) à \(15\) min), la distance est-elle proportionnelle au temps ? Justifier, et donner le coefficient de proportionnalité si c'est le cas.
5
Léa roule pendant deux parties du trajet (avant et après l'arrêt). Pendant laquelle va-t-elle le plus vite ? Expliquer à l'aide du graphique.
Pour lire une distance, pars de la graduation du temps sur l'axe horizontal, monte jusqu'à la courbe, puis lis sur l'axe vertical.
Pour la proportionnalité, lis deux points du graphique et compare les quotients distance \(\div\) temps.
Les deux parties roulées durent le même temps (\(15\) min chacune) : compare les distances parcourues.
1) Distance au bout de 15 min
On lit sur le graphique : à \(15\) min correspond \(6\) km.
Léa a parcouru \(6\) km.
2) Entre 15 min et 25 min
Le temps avance mais la distance reste \(6\) km : Léa ne roule pas.
Léa est à l'arrêt (elle fait une pause).
3) Proportionnel sur tout le trajet ?
On lit deux points : \((15\text{ min} ; 6\text{ km})\) et \((25\text{ min} ; 6\text{ km})\). Quotients : \(6 \div 15 = 0{,}4\) et \(6 \div 25 = 0{,}24\).
Les quotients ne sont pas égaux, donc sur l'ensemble du trajet la distance n'est pas proportionnelle au temps (pas de coefficient). On le voit aussi : la courbe n'est pas une seule droite.
4) Proportionnel sur la première partie ?
De \(0\) à \(15\) min, c'est une portion de droite qui part de l'origine O. On lit \((0;0)\) et \((15;6)\) : le quotient \(6 \div 15 = 0{,}4\) est le même tout le long.
Sur cette première partie, la distance est proportionnelle au temps. Le coefficient de proportionnalité est \(0{,}4\) (distance en km parcourue en \(1\) min).
5) Où va-t-elle le plus vite ?
Les deux parties roulées durent \(15\) min chacune. Avant l'arrêt : \(6\) km. Après l'arrêt : de \(6\) km à \(15\) km, soit \(9\) km. Elle parcourt plus de distance dans le même temps après la pause.
Léa roule le plus vite sur la deuxième partie (après l'arrêt) : la courbe y est plus « raide ».
À retenir : une pause (un palier) casse la proportionnalité sur l'ensemble du trajet, même si chaque partie roulée, prise seule, peut l'être. Plus la courbe est « raide », plus on va vite.

Exercice 4Au marché

✓ Vu
Deux étals vendent des fruits. Voici les prix relevés par un client.
Étal A — pommes
Masse (kg)235
Prix (€)57,512,5
Étal B — cerises
Masse (kg)124
Prix (€)61220
1
À l'étal A, le prix est-il proportionnel à la masse ? Justifier, et donner le coefficient de proportionnalité si c'est le cas.
2
Même question pour l'étal B.
3
À l'étal A, quel est le prix de \(7\) kg de pommes ? Rédiger la méthode.
Pour chaque étal, calcule les quotients prix \(\div\) masse colonne par colonne.
À l'étal B, regarde bien la dernière colonne : donne-t-elle le même quotient que les autres ?
Pour \(7\) kg, tu peux utiliser la linéarité : dans le tableau, \(7 = 2 + 5\).
1) Étal A
Quotients : \(5 \div 2 = 2{,}5\) ; \(7{,}5 \div 3 = 2{,}5\) ; \(12{,}5 \div 5 = 2{,}5\).
Les quotients sont égaux, donc le prix est proportionnel à la masse. Le coefficient de proportionnalité est \(2{,}5\) (prix d'un kilogramme de pommes, en €).
2) Étal B
Quotients : \(6 \div 1 = 6\) ; \(12 \div 2 = 6\) ; \(20 \div 4 = 5\).
Les quotients ne sont pas tous égaux (\(5 \neq 6\)), donc le prix n'est pas proportionnel à la masse : il n'y a pas de coefficient de proportionnalité.
3) Prix de 7 kg de pommes (étal A)
Étape 1 — Le prix est proportionnel à la masse.
Étape 2 — J'utilise la linéarité : dans le tableau, \(7 = 2 + 5\).
Étape 3 — \(7\) kg coûtent donc le prix de \(2\) kg plus celui de \(5\) kg : \(5 + 12{,}5 = 17{,}5\).
Étape 4 — \(7\) kg de pommes coûtent \(17{,}5\) €.
Autre méthode possible (coefficient) : \(7 \times 2{,}5 = 17{,}5\) €. On retrouve bien le même résultat.
À retenir : pour montrer qu'une situation n'est pas proportionnelle, il suffit d'un seul quotient différent des autres.

Exercice 5Location de vélos

✓ Vu
Pour louer un vélo, deux loueurs proposent :
• Loueur A : \(3\) € par heure.
• Loueur B : \(5\) € de caution (payés une fois) \(+\) \(2\) € par heure.
1
Chez le loueur A, le prix est-il proportionnel à la durée ? Justifier, et donner le coefficient de proportionnalité si c'est le cas.
2
Chez le loueur B, le prix est-il proportionnel à la durée ? Justifier, et donner le coefficient de proportionnalité si c'est le cas.
3
Voici les deux graphiques des prix. Associer chaque loueur à son graphique.
Graphique 1
durée prix O
Graphique 2
durée prix O
4
Pour \(2\) heures de location, quel loueur est le moins cher ? Et pour \(10\) heures ?
Pour chaque loueur, teste la durée \(0\) heure : combien paie-t-on ?
Une droite qui ne part pas de O, c'est le signe d'une partie fixe (ici la caution).
Question 4 : calcule les deux prix pour \(2\) h, puis pour \(10\) h, et compare à chaque fois.
1) Loueur A
Prix \(= 3 \times\) durée : on multiplie la durée par le même nombre pour toute location, et pour \(0\) h on paie \(0\) €.
Chez le loueur A, le prix est proportionnel à la durée. Le coefficient de proportionnalité est \(3\) (prix d'une heure, en €).
2) Loueur B
Prix \(= 5 + 2 \times\) durée : pour \(0\) h, on paie déjà \(5\) € (la caution), et non \(0\) €.
Chez le loueur B, le prix n'est pas proportionnel à la durée (pas de coefficient de proportionnalité).
3) Associer les graphiques
Le Graphique 1 est une droite qui passe par l'origine → loueur A.
Le Graphique 2 est une droite qui ne passe pas par l'origine (elle part de \(5\) €) → loueur B.
4) Le moins cher selon la durée
Étape 1 — Chez le loueur A, le prix est proportionnel à la durée.
Étape 2 — J'utilise le coefficient de proportionnalité (\(3\) €/h).
Étape 3 — \(3 \times 2 = 6\) € pour \(2\) h ; \(3 \times 10 = 30\) € pour \(10\) h.
Étape 4 — Chez A, \(2\) h coûtent \(6\) € et \(10\) h coûtent \(30\) €.
Chez le loueur B : \(5 + 2 \times 2 = 9\) € pour \(2\) h ; \(5 + 2 \times 10 = 25\) € pour \(10\) h.
Pour \(2\) h : \(6\) € \(<\) \(9\) € → A moins cher. Pour \(10\) h : \(30\) € \(>\) \(25\) € → B moins cher.
Le loueur le moins cher dépend de la durée de la location.
Réflexe brevet : pour savoir si c'est proportionnel, vérifie toujours « \(0 \to 0\) » et « droite qui passe par l'origine ». Une caution, un abonnement ou des frais fixes → non proportionnel.

Exercice 6Problème — brevet

✓ Vu
Un groupe d'amis organise une sortie au cinéma. Le bus coûte \(60\) € pour le groupe (quel que soit le nombre de personnes). Chaque place de cinéma coûte \(8\) €.
1
Le prix total des places de cinéma est-il proportionnel au nombre de personnes ? Justifier, et donner le coefficient de proportionnalité si c'est le cas.
2
Pour \(10\) personnes, quel est le prix total des places de cinéma ? Rédiger la méthode.
3
Le coût total de la sortie (bus \(+\) cinéma) est-il proportionnel au nombre de personnes ? Justifier.
4
Camille dit : « Plus on est nombreux, moins la sortie coûte cher par personne. » A-t-elle raison ? Justifier en comparant le coût par personne pour \(10\) puis pour \(20\) personnes.
Le prix des places, c'est \(8 \times\) le nombre de personnes. Teste \(0\) personne.
Pour le coût total, n'oublie pas le bus : teste \(0\) personne (on paie quand même le bus ?).
Coût par personne \(=\) coût total \(\div\) nombre de personnes. Calcule-le pour \(10\), puis pour \(20\).
1) Prix des places proportionnel ?
Prix des places \(= 8 \times\) nombre de personnes : on multiplie toujours par \(8\), et \(0\) personne → \(0\) €.
Le prix des places est proportionnel au nombre de personnes. Le coefficient de proportionnalité est \(8\) (prix d'une place, en €).
2) Prix des places pour 10 personnes
Étape 1 — Le prix des places est proportionnel au nombre de personnes.
Étape 2 — J'utilise le coefficient de proportionnalité (\(8\) €/personne).
Étape 3 — \(8 \times 10 = 80\).
Étape 4 — Pour \(10\) personnes, les places coûtent \(80\) €.
3) Coût total proportionnel ?
Coût total \(= 60 + 8 \times\) nombre de personnes. Pour \(0\) personne, on paie déjà \(60\) € (le bus), et non \(0\) €.
Vérification par les quotients : pour \(10\) personnes, coût \(= 60 + 80 = 140\) € → \(140 \div 10 = 14\). Pour \(20\) personnes, coût \(= 60 + 160 = 220\) € → \(220 \div 20 = 11\).
Les quotients ne sont pas égaux (\(14 \neq 11\)), donc le coût total n'est pas proportionnel au nombre de personnes : c'est le bus (coût fixe) qui casse la proportionnalité.
4) Camille a-t-elle raison ?
Coût par personne pour \(10\) : \(140 \div 10 = 14\) €. Pour \(20\) : \(220 \div 20 = 11\) €.
Camille a raison : le coût par personne passe de \(14\) € à \(11\) €. Plus on est nombreux, plus le bus (\(60\) €) se partage, donc moins cela coûte par personne.
À retenir : dans un problème, un même nombre (\(60\) € ici) peut être proportionnel pour une grandeur et pas pour une autre. Il faut toujours préciser « proportionnel à quoi ».

Exercice 7Pâte à crêpes — brevet

✓ Vu
Pour le stand de crêpes de la fête, la recette de la pâte indique \(300\) g de farine pour \(8\) crêpes. Les organisateurs veulent préparer \(100\) crêpes.
1
La masse de farine est-elle proportionnelle au nombre de crêpes ? Justifier, et donner le coefficient de proportionnalité si c'est le cas.
2
Quelle masse de farine faut-il pour \(100\) crêpes ? Rédiger la méthode.
3
La farine est vendue en paquets de \(1\) kg. Combien de paquets les organisateurs doivent-ils acheter ?
Chaque crêpe utilise la même quantité de farine.
Dresse un tableau : \(8\) crêpes → \(300\) g, \(100\) crêpes → ?, puis utilise le produit en croix.
Convertis la masse en kg, puis compte les paquets de \(1\) kg sans jamais en avoir trop peu.
1) Proportionnel ?
Chaque crêpe nécessite la même quantité de farine, donc la masse de farine est proportionnelle au nombre de crêpes. Coefficient : \(300 \div 8 = 37{,}5\).
La masse de farine est proportionnelle au nombre de crêpes. Le coefficient de proportionnalité est \(37{,}5\) (masse de farine, en g, pour \(1\) crêpe).
2) Farine pour 100 crêpes
Étape 1 — La masse de farine est proportionnelle au nombre de crêpes.
Étape 2 — J'utilise le produit en croix, à partir du tableau : \(8\) crêpes → \(300\) g, \(100\) crêpes → \(x\).
Étape 3 — \(x = \dfrac{100 \times 300}{8} = \dfrac{30000}{8} = 3750\).
Étape 4 — Il faut \(3750\) g de farine, soit \(3{,}75\) kg.
Autre méthode possible (passage à l'unité) : \(37{,}5 \times 100 = 3750\) g. Même résultat.
3) Nombre de paquets
Il faut \(3{,}75\) kg. Avec \(3\) paquets, on n'a que \(3\) kg (pas assez) ; avec \(4\) paquets, on a \(4\) kg (assez).
Les organisateurs doivent acheter \(4\) paquets de farine.
À retenir : ici on arrondit au-dessus (on ne peut pas acheter un morceau de paquet). Le nombre de paquets ne se calcule donc pas par une simple proportionnalité : il faut réfléchir au contexte.
🎉
Bravo, tu as tout vu !
⭐⭐⭐

Tu as consulté toutes les corrections. Refais les problèmes seul(e) : l'objectif est de savoir trier les grandeurs, justifier la proportionnalité et donner le coefficient quand il existe.

✓ 7 problèmes 📊 Trier, justifier, 4 méthodes
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