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Grandeurs composées (1) — Comprendre et calculer · Correction interactive

📊 Progression
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📚 Ce qu'il faut savoir
Une grandeur composée

C'est une grandeur construite à partir de deux autres : une vitesse (une distance et un temps), un débit (un volume et un temps), un prix au kilo (un prix et une masse)…

Deux réflexes

• Si on connaît déjà la valeur pour 1 (un prix par litre, par kilo…), on multiplie directement par le coefficient.

• Pour les cas plus difficiles (vitesse, conversions), on construit un tableau de proportionnalité et on fait un produit en croix. Pas de formule à apprendre par cœur.

Convertir avec un tableau — Pour convertir une vitesse (ou une durée), on fait un tableau à deux lignes (par exemple distance et temps) : on écrit ce qu'on connaît, on écrit la colonne qu'on veut atteindre (par exemple le temps correspondant à \(1\) h, soit \(3600\) s), on trouve la valeur manquante par produit en croix, puis on convertit l'unité à la fin (par exemple les mètres en kilomètres).

Exercice 1Peinture

✓ Vu
Dans un magasin, la peinture est vendue à \(5\) € le litre.
1
Le prix est-il proportionnel au volume de peinture ? Justifier, et donner le coefficient de proportionnalité si c'est le cas.
2
Pour repeindre un salon, il faut \(12\) L de peinture. Quel est le prix ? Rédiger la méthode.
3
Un client a un budget de \(45\) €. A-t-il assez pour acheter les \(12\) L ? Sinon, combien de litres peut-il acheter ?
Ici on connaît déjà le prix d'un litre : c'est le coefficient.
Pour le prix, on multiplie le volume par ce coefficient.
Question 3 : compare le prix des \(12\) L au budget. Pour un volume, on divise par le coefficient.
1) Proportionnel ?
Chaque litre coûte \(5\) €, donc prix \(= 5 \times\) volume. On multiplie toujours par le même nombre, et \(0\) L → \(0\) €.
Le prix est proportionnel au volume. Le coefficient de proportionnalité est \(5\) (prix d'un litre, en €).
2) Prix de 12 L
Étape 1 — Le prix est proportionnel au volume.
Étape 2 — J'utilise le coefficient de proportionnalité (\(5\) €/L).
Étape 3 — \(12 \times 5 = 60\).
Étape 4 — Les \(12\) L de peinture coûtent \(60\) €.
3) Le budget de 45 € suffit-il ?
Les \(12\) L coûtent \(60\) €, or le client n'a que \(45\) € : \(60 > 45\), c'est trop cher.
Avec \(45\) € : \(45 \div 5 = 9\).
Le budget ne suffit pas. Avec \(45\) €, le client peut acheter \(9\) L seulement.
À retenir : quand on connaît déjà le prix « pour 1 » (ici \(5\) € le litre), pas besoin de tableau : on multiplie (ou on divise) directement par le coefficient.

Exercice 2Course à pied

✓ Vu
Un coureur s'entraîne à allure constante. Il parcourt \(7\) km en \(25\) min.
1
La distance parcourue est-elle proportionnelle au temps ? Justifier.
2
À cette allure, quelle distance parcourt-il en \(40\) min ?
3
Il s'inscrit à une course de \(10\) km. Il espère la terminer en moins de \(35\) min. À cette allure, y parviendra-t-il ?
À allure constante, la distance est proportionnelle au temps.
Fais un tableau à deux lignes : distance (km) et temps (min). Place \(7\) km / \(25\) min, puis la colonne cherchée, et fais un produit en croix.
Question 3 : calcule le temps pour \(10\) km, puis compare-le à \(35\) min.
1) Proportionnel ?
L'allure est constante : si on multiplie le temps par un nombre, la distance est multipliée par le même nombre, et en \(0\) min on parcourt \(0\) km.
La distance est proportionnelle au temps.
2) Distance en 40 min
Étape 1 — La distance est proportionnelle au temps.
Étape 2 — Je construis un tableau et j'utilise le produit en croix.
Étape 3 — voir le tableau ci-dessous.
Distance (km)7?
Temps (min)2540
Produit en croix : \(\dfrac{40 \times 7}{25} = \dfrac{280}{25} = 11{,}2\).
En \(40\) min, il parcourt \(11{,}2\) km.
3) Course de 10 km en moins de 35 min ?
Distance (km)710
Temps (min)25?
Produit en croix : \(\dfrac{10 \times 25}{7} = \dfrac{250}{7} \approx 35{,}7\) min.
\(35{,}7\) min, c'est plus que \(35\) min.
Non : à cette allure, il mettra environ \(35{,}7\) min, donc il ne terminera pas en moins de \(35\) min.
À retenir : pour une vitesse, on ne cherche pas de formule : on construit un tableau distance / temps et on fait un produit en croix.

Exercice 3Pompe

✓ Vu
Une pompe vide un bassin à débit constant : elle évacue \(45\) L en \(8\) min.
1
Le volume évacué est-il proportionnel au temps ? Justifier.
2
Quel volume la pompe évacue-t-elle en \(30\) min ?
3
Le bassin contient \(600\) L. La pompe peut-elle le vider entièrement en moins de \(2\) h ?
Fais un tableau volume (L) / temps (min) avec \(45\) L et \(8\) min.
Complète par un produit en croix selon ce que tu cherches.
Question 3 : cherche le temps pour \(600\) L, puis compare à \(2\) h (pense à convertir \(2\) h en minutes).
1) Proportionnel ?
Le débit est constant : si on multiplie le temps par un nombre, le volume évacué est multiplié par le même nombre, et en \(0\) min on évacue \(0\) L.
Le volume évacué est proportionnel au temps.
2) Volume en 30 min
Étape 1 — Le volume est proportionnel au temps.
Étape 2 — Je construis un tableau et j'utilise le produit en croix.
Étape 3 — voir le tableau ci-dessous.
Volume (L)45?
Temps (min)830
Produit en croix : \(\dfrac{30 \times 45}{8} = \dfrac{1350}{8} = 168{,}75\).
En \(30\) min, la pompe évacue \(168{,}75\) L.
3) Vider 600 L en moins de 2 h ?
Volume (L)45600
Temps (min)8?
Produit en croix : \(\dfrac{600 \times 8}{45} = \dfrac{4800}{45} \approx 106{,}7\) min.
\(2\) h \(= 120\) min, et \(106{,}7\) min \(< 120\) min.
Oui : il faut environ \(107\) min (soit \(1\) h \(47\) min), donc moins de \(2\) h.

Exercice 4Conversion de vitesse

✓ Vu
Une voiture roule à \(20\) m/s, c'est-à-dire qu'elle parcourt \(20\) m en \(1\) s. On rappelle que \(1\) h \(= 3600\) s.
1
À l'aide d'un tableau distance (m) / temps (s), trouver la distance parcourue en \(1\) h, puis en déduire la vitesse en km/h.
2
Sur cette route, la vitesse est limitée à \(70\) km/h. La voiture respecte-t-elle la limitation ?
3
Une moto roule à \(90\) km/h. Avec la même méthode, exprimer sa vitesse en m/s.
Dans le tableau, place \(20\) m sous \(1\) s, puis écris \(3600\) s dans la colonne du temps.
Trouve la distance correspondant à \(3600\) s par produit en croix, puis convertis les mètres en kilomètres (\(1\) km \(= 1000\) m).
Question 3 : commence par écrire \(90\) km en mètres, et \(1\) h en secondes, puis cherche la distance pour \(1\) s.
1) Vitesse en km/h
\(1\) h \(= 3600\) s. On construit le tableau :
Distance (m)20?
Temps (s)13600
Produit en croix : \(\dfrac{3600 \times 20}{1} = 72000\) m. On convertit : \(72000\) m \(= 72\) km, parcourus en \(1\) h.
La voiture roule à \(72\) km/h.
2) Respecte-t-elle la limitation ?
La voiture roule à \(72\) km/h, or la limite est \(70\) km/h : \(72 > 70\).
Non : la voiture dépasse la limitation de \(70\) km/h.
3) De 90 km/h à m/s
\(90\) km \(= 90000\) m, parcourus en \(1\) h \(= 3600\) s. On cherche la distance pour \(1\) s :
Distance (m)90000?
Temps (s)36001
Produit en croix : \(\dfrac{1 \times 90000}{3600} = 25\).
La moto roule à \(25\) m/s.
À retenir : on ne convertit jamais une vitesse « d'un coup ». On fait un tableau distance / temps, un produit en croix, et on convertit l'unité à la fin.

Exercice 5Qui va le plus vite ? — brevet

✓ Vu
Léa et Tom se déplacent chacun à vitesse constante.
• Léa parcourt \(24\) km en \(1\) h \(30\) min.
• Tom se déplace à \(4\) m/s.
1
Exprimer la vitesse de Léa en km/h.
2
Exprimer la vitesse de Tom en km/h.
3
Qui va le plus vite ? Justifier.
Léa : \(1\) h \(30\) min \(= 1{,}5\) h. Fais un tableau distance (km) / temps (h).
Tom : comme à l'exercice 4, passe par la distance parcourue en \(1\) h (\(= 3600\) s), puis convertis en km.
Une fois les deux vitesses en km/h, il n'y a plus qu'à comparer.
1) Vitesse de Léa en km/h
\(1\) h \(30\) min \(= 1{,}5\) h. On cherche la distance parcourue en \(1\) h :
Distance (km)24?
Temps (h)1,51
Produit en croix : \(\dfrac{1 \times 24}{1{,}5} = 16\).
Léa roule à \(16\) km/h.
2) Vitesse de Tom en km/h
Tom parcourt \(4\) m en \(1\) s. On cherche la distance pour \(1\) h \(= 3600\) s :
Distance (m)4?
Temps (s)13600
Produit en croix : \(\dfrac{3600 \times 4}{1} = 14400\) m \(= 14{,}4\) km, en \(1\) h.
Tom se déplace à \(14{,}4\) km/h.
3) Qui va le plus vite ?
Léa : \(16\) km/h ; Tom : \(14{,}4\) km/h. Comme \(16 > 14{,}4\) :
C'est Léa qui va le plus vite.
À retenir : on ne peut comparer deux vitesses que si elles sont dans la même unité. Ici, il fallait d'abord tout exprimer en km/h.
🎉
Bravo, tu as tout vu !
⭐⭐⭐

Tu as consulté toutes les corrections. Refais les exercices seul(e) : l'objectif est de savoir quand on multiplie directement par le coefficient, et quand on construit un tableau avec un produit en croix.

✓ 5 exercices 🚗 Coefficient ou tableau ?
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