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Grandeurs composées (2) — Masse volumique, échelle, problèmes · Correction interactive

📊 Progression
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📚 Ce qu'il faut savoir
La masse volumique

C'est une grandeur composée à partir d'une masse et d'un volume (en g/cm³ ou en kg/L). Elle indique la masse de 1 cm³ (ou \(1\) L) d'un matériau.

Pour un même matériau, la masse est proportionnelle au volume : la masse volumique est le coefficient.

La méthode (rappel)

Comme pour la vitesse : on construit un tableau (masse / volume, ou plan / réalité) et on fait un produit en croix.

Quand la valeur « pour 1 » est connue, on multiplie directement par le coefficient.

Comparer ou identifier — Pour comparer deux prix, deux vitesses, ou pour reconnaître un matériau, on ramène tout à la même base : le prix de \(1\) kg, la masse de \(1\) cm³ (la masse volumique)… puis on compare.

Exercice 1Carte de randonnée

✓ Vu
Sur une carte de randonnée, \(4\) cm sur la carte représentent \(15\) km dans la réalité.
1
La distance réelle est-elle proportionnelle à la distance sur la carte ? Justifier.
2
Deux refuges sont distants de \(7\) cm sur la carte. Quelle est la distance réelle entre eux ?
3
Un sentier mesure \(30\) km dans la réalité. Quelle est sa longueur sur la carte ?
Une échelle, c'est un rapport entre deux longueurs : c'est de la proportionnalité.
Fais un tableau : distance sur la carte (cm) / distance réelle (km), avec \(4\) cm et \(15\) km.
Complète par un produit en croix selon ce que tu cherches.
1) Proportionnel ?
Sur une carte à l'échelle, si une distance sur la carte est multipliée par un nombre, la distance réelle l'est aussi (et \(0\) cm → \(0\) km).
La distance réelle est proportionnelle à la distance sur la carte.
2) Distance réelle entre les refuges
Étape 1 — La distance réelle est proportionnelle à la distance sur la carte.
Étape 2 — Je construis un tableau et j'utilise le produit en croix.
Étape 3 — voir le tableau ci-dessous.
Carte (cm)47
Réel (km)15?
Produit en croix : \(\dfrac{7 \times 15}{4} = \dfrac{105}{4} = 26{,}25\).
Les deux refuges sont distants de \(26{,}25\) km dans la réalité.
3) Longueur du sentier sur la carte
Carte (cm)4?
Réel (km)1530
Produit en croix : \(\dfrac{30 \times 4}{15} = \dfrac{120}{15} = 8\).
Le sentier mesure \(8\) cm sur la carte.

Exercice 2Bloc de fer

✓ Vu
On pèse deux blocs de fer de volumes différents.
Volume (cm³)2050
Masse (g)158395
1
La masse est-elle proportionnelle au volume ? Justifier, et donner le coefficient de proportionnalité si c'est le cas.
2
Quelle est la masse d'un bloc de fer de \(30\) cm³ ? Rédiger la méthode.
3
Un autre bloc de fer a une masse de \(316\) g. Quel est son volume ?
Pour montrer que c'est proportionnel, compare les quotients masse \(\div\) volume des deux blocs.
Ce quotient, c'est la masse de \(1\) cm³ de fer : sa masse volumique.
Une fois ce coefficient connu, multiplie (pour une masse) ou divise (pour un volume).
1) Proportionnel ?
Quotients masse \(\div\) volume : \(158 \div 20 = 7{,}9\) et \(395 \div 50 = 7{,}9\).
Les quotients sont égaux, donc la masse est proportionnelle au volume. Le coefficient de proportionnalité est \(7{,}9\) (masse, en g, de \(1\) cm³ de fer) : c'est la masse volumique du fer.
2) Masse d'un bloc de 30 cm³
Étape 1 — La masse est proportionnelle au volume.
Étape 2 — J'utilise le coefficient (\(7{,}9\) g pour \(1\) cm³).
Étape 3 — \(30 \times 7{,}9 = 237\).
Étape 4 — Le bloc de \(30\) cm³ a une masse de \(237\) g.
3) Volume d'un bloc de 316 g
On connaît la masse, on cherche le volume : \(316 \div 7{,}9 = 40\).
Ce bloc a un volume de \(40\) cm³.
À retenir : la masse volumique n'est rien d'autre que le coefficient de proportionnalité entre le volume et la masse d'un matériau.

Exercice 3Quel métal ?

✓ Vu
Un objet métallique a une masse de \(84\) g et un volume de \(8\) cm³. Voici la masse volumique de trois métaux.
MétalFerArgentPlomb
Masse volumique (g/cm³)7,910,511,3
1
Calculer la masse volumique de cet objet, c'est-à-dire la masse de \(1\) cm³.
2
En quel métal cet objet est-il fait ? Justifier.
La masse volumique, c'est la masse de \(1\) cm³ : divise la masse par le volume.
Cherche ensuite, dans le tableau, le métal qui a la même masse volumique.
1) Masse volumique de l'objet
La masse volumique, c'est la masse de \(1\) cm³ : \(84 \div 8 = 10{,}5\).
La masse volumique de l'objet est \(10{,}5\) g/cm³.
2) Quel métal ?
On compare au tableau : \(10{,}5\) g/cm³, c'est la masse volumique de l'argent.
L'objet est en argent.
À retenir : on reconnaît un matériau grâce à sa masse volumique. On calcule la masse de \(1\) cm³, puis on la compare aux valeurs connues.

Exercice 4Au marché

✓ Vu
Au marché, un primeur vend des cerises. Pour \(3\) kg, on paie \(13{,}50\) € ; pour \(5\) kg, on paie \(22{,}50\) €.
Masse (kg)35
Prix (€)13,5022,50
1
Le prix est-il proportionnel à la masse ? Justifier, et donner le coefficient de proportionnalité si c'est le cas.
2
Quel est le prix de \(7\) kg de cerises ? Rédiger la méthode.
3
Léa dispose de \(30\) €. Peut-elle acheter \(7\) kg de cerises ?
Pour montrer que c'est proportionnel, compare les quotients prix \(\div\) masse.
Ce quotient, c'est le prix d'un kilogramme.
Question 3 : compare le prix des \(7\) kg aux \(30\) € de Léa.
1) Proportionnel ?
Quotients prix \(\div\) masse : \(13{,}50 \div 3 = 4{,}50\) et \(22{,}50 \div 5 = 4{,}50\).
Les quotients sont égaux, donc le prix est proportionnel à la masse. Le coefficient de proportionnalité est \(4{,}50\) (prix d'un kilogramme, en €).
2) Prix de 7 kg
Étape 1 — Le prix est proportionnel à la masse.
Étape 2 — J'utilise le coefficient (\(4{,}50\) € pour \(1\) kg).
Étape 3 — \(7 \times 4{,}50 = 31{,}50\).
Étape 4 — \(7\) kg de cerises coûtent \(31{,}50\) €.
3) Léa peut-elle acheter 7 kg ?
Les \(7\) kg coûtent \(31{,}50\) €, or Léa n'a que \(30\) € : \(31{,}50 > 30\).
Non : il lui manque \(1{,}50\) € pour acheter les \(7\) kg.
À retenir : pour prouver qu'une situation est proportionnelle, on vérifie que les quotients sont égaux. Ce quotient commun est le coefficient (ici, le prix d'un kilo).

Exercice 5Livraison de fioul — brevet

✓ Vu
Une cuve doit être remplie de \(2000\) L de fioul. La masse volumique du fioul est \(0{,}85\) kg par litre.
1
Quelle est la masse des \(2000\) L de fioul ? Rédiger la méthode.
2
Le camion de livraison peut transporter au maximum \(2{,}5\) t. Peut-il livrer toute la cuve en une seule fois ?
Ici, on connaît la masse de \(1\) L (\(0{,}85\) kg) : c'est le coefficient.
Pour la masse totale, multiplie le nombre de litres par ce coefficient.
Question 2 : convertis \(2{,}5\) t en kg (\(1\) t \(= 1000\) kg) pour comparer.
1) Masse des 2000 L
Étape 1 — La masse de fioul est proportionnelle au volume.
Étape 2 — J'utilise le coefficient (\(0{,}85\) kg pour \(1\) L, la masse volumique).
Étape 3 — \(2000 \times 0{,}85 = 1700\).
Étape 4 — Les \(2000\) L de fioul ont une masse de \(1700\) kg.
2) Une seule livraison ?
Le camion peut transporter \(2{,}5\) t, soit \(2500\) kg. Or la cuve pèse \(1700\) kg, et \(1700 < 2500\).
Oui : le camion peut livrer toute la cuve en une seule fois.
À retenir : pour comparer une masse à une limite, il faut d'abord les mettre dans la même unité (ici tout en kg).
🎉
Bravo, tu as tout vu !
⭐⭐⭐

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✓ 5 exercices ⚖️ Ramener à « pour 1 »
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