🧩 Feuille d'exercices

Proportionnalité — Problèmes · Lire, trier, résoudre · Correction interactive

📊 Progression
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📚 Ce qu'il faut savoir
Lire et trier

Un problème donne souvent plus d'informations qu'il n'en faut. Avant chaque question, repère ce qu'on te demande, puis choisis uniquement les données utiles.

Quelle méthode ?

Pour chaque calcul : la situation est-elle proportionnelle ? Si on connaît la valeur « pour 1 » → coefficient ; sinon → tableau + produit en croix.

Certaines grandeurs ne sont pas proportionnelles (temps de cuisson, pause…).

Lire un schéma, répondre à la question — Un graphique ou un schéma fait partie de l'énoncé : on y lit des informations. À la fin, on donne la réponse avec son unité, et pour une décision (« peut-il… ? »), on compare puis on conclut clairement.

Problème 1Sortie vélo

✓ Vu
Le club de vélo du collège organise une sortie au lac. \(18\) cyclistes y participent et le collège compte \(480\) élèves. Le groupe part du collège à \(9\) h \(00\). Le graphique ci-dessous donne la distance parcourue (en km) en fonction du temps (en min) : au milieu du trajet, le groupe s'arrête pour une pause. À l'arrivée au lac, chaque participant paie \(7\) € pour le pique-nique. Ce jour-là, la météo annonce \(22\) °C.
Distance parcourue par le groupe
0 10 20 30 40 50 60 0 4 8 12 16 20 temps (min) distance (km)
1
Quelle distance le groupe a-t-il parcourue au bout de \(20\) min ?
2
Que fait le groupe entre \(20\) min et \(40\) min ?
3
Sur l'ensemble du trajet, la distance est-elle proportionnelle au temps ? Justifier.
4
Sur la dernière partie (de \(40\) à \(60\) min), le groupe parcourt \(12\) km en \(20\) min. À cette allure, quelle distance parcourrait-il en \(1\) h ?
5
À quelle heure le groupe arrive-t-il au lac ?
6
Quel est le coût total des pique-niques ?
Questions 1 et 2 : lis directement sur le graphique.
Question 3 : compare les quotients distance \(\div\) temps en deux points du graphique.
Question 4 : fais un tableau distance (km) / temps (min) et un produit en croix. Question 6 : nombre de participants \(\times\) prix du pique-nique.
1) Distance au bout de 20 min
On lit sur le graphique : à \(20\) min correspond \(8\) km.
Le groupe a parcouru \(8\) km.
2) Entre 20 min et 40 min
La courbe est horizontale : le temps passe mais la distance ne change pas.
Le groupe est à l'arrêt : c'est la pause.
3) Proportionnel sur tout le trajet ?
On lit deux points : \((20\text{ min} ; 8\text{ km})\) et \((40\text{ min} ; 8\text{ km})\). Quotients : \(8 \div 20 = 0{,}4\) et \(8 \div 40 = 0{,}2\).
Les quotients ne sont pas égaux, donc la distance n'est pas proportionnelle au temps (la courbe n'est pas une seule droite).
4) Distance en 1 h sur la dernière allure
Étape 1 — Sur cette partie, à allure constante, la distance est proportionnelle au temps.
Étape 2 — Je construis un tableau et j'utilise le produit en croix.
Étape 3 — voir le tableau ci-dessous.
Distance (km)12?
Temps (min)2060
Produit en croix : \(\dfrac{60 \times 12}{20} = \dfrac{720}{20} = 36\).
À cette allure, le groupe parcourrait \(36\) km en \(1\) h.
5) Heure d'arrivée
Le trajet dure \(60\) min (fin de la courbe), et le départ est à \(9\) h \(00\) : \(9\) h \(+ 1\) h \(= 10\) h.
Le groupe arrive au lac à \(10\) h \(00\).
6) Coût total des pique-niques
\(18\) participants à \(7\) € chacun : \(18 \times 7 = 126\).
Le coût total est \(126\) €.
Infos inutiles : le nombre d'élèves du collège (\(480\)) et la météo (\(22\) °C) ne servaient à aucune question.

Problème 2Le bassin

✓ Vu
Rémi remplit un bassin de jardin qui peut contenir \(3000\) L d'eau (voir le schéma). Son robinet a un débit constant : il a mesuré qu'il laisse couler \(36\) L en \(3\) min, et \(96\) L en \(8\) min. L'eau a une masse volumique de \(1\) kg par litre, et elle coûte \(0{,}004\) € le litre. Le bassin a une profondeur de \(1{,}2\) m.
Le bassin et son robinet
3000 L
1
Le volume d'eau qui coule est-il proportionnel au temps ? Justifier, et donner le coefficient de proportionnalité si c'est le cas.
2
Combien de temps faut-il pour remplir les \(3000\) L ?
3
Convertir ce temps en heures et minutes.
4
Quelle est la masse de l'eau lorsque le bassin est plein ?
5
Quel est le coût de l'eau pour remplir entièrement le bassin ?
Question 1 : compare les quotients volume \(\div\) temps des deux mesures.
Ce quotient commun, c'est le volume qui coule en \(1\) min : le débit.
Question 3 : combien de fois \(60\) min dans ton résultat, et combien reste-t-il ?
1) Proportionnel ?
Quotients volume \(\div\) temps : \(36 \div 3 = 12\) et \(96 \div 8 = 12\).
Les quotients sont égaux, donc le volume est proportionnel au temps. Le coefficient de proportionnalité est \(12\) (volume, en L, qui coule en \(1\) min) : c'est le débit.
2) Temps pour remplir 3000 L
Étape 1 — Le volume est proportionnel au temps.
Étape 2 — J'utilise le coefficient (\(12\) L par min).
Étape 3 — \(3000 \div 12 = 250\).
Étape 4 — Il faut \(250\) min pour remplir le bassin.
3) En heures et minutes
\(250 = 4 \times 60 + 10\) : il y a \(4\) heures complètes, et il reste \(10\) min.
Cela fait \(4\) h \(10\) min.
4) Masse de l'eau
\(1\) L d'eau pèse \(1\) kg, donc \(3000\) L pèsent \(3000 \times 1 = 3000\) kg.
L'eau a une masse de \(3000\) kg (soit \(3\) tonnes).
5) Coût de l'eau
\(3000\) L à \(0{,}004\) € le litre : \(3000 \times 0{,}004 = 12\).
Remplir le bassin coûte \(12\) € d'eau.
Info inutile : la profondeur du bassin (\(1{,}2\) m) ne servait à aucune question.

Problème 3Le jardin — brevet

✓ Vu
Le plan d'un jardin rectangulaire est dessiné à l'échelle : sur le plan, \(1\) cm représente \(2\) m en réalité. Sur le plan, le jardin mesure \(12\) cm de long et \(9\) cm de large (voir le schéma). On veut entourer tout le jardin d'une clôture, sauf au niveau d'une entrée de \(3\) m qui reste ouverte ; la clôture coûte \(8\) € le mètre. On veut aussi tracer une allée en diagonale, d'un coin du jardin au coin opposé. Ce jardin a été acheté il y a \(5\) ans.
Plan du jardin
allée entrée 12 cm 9 cm
1
Quelle est la longueur réelle du jardin ? Rédiger la méthode.
2
Quelle est la largeur réelle du jardin ?
3
Quel est le périmètre réel du jardin ?
4
Quelle longueur de clôture faut-il, sachant que l'entrée de \(3\) m reste ouverte ?
5
Quel est le prix total de la clôture ?
6
Quelle est la longueur réelle de l'allée en diagonale ?
Pour les longueurs réelles : tableau plan (cm) / réel (m) avec \(1\) cm et \(2\) m, puis produit en croix.
Périmètre d'un rectangle : \(2 \times (\text{longueur} + \text{largeur})\). Pour la clôture, enlève les \(3\) m de l'entrée.
L'allée en diagonale est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés \(24\) m et \(18\) m : utilise le théorème de Pythagore.
1) Longueur réelle
Étape 1 — La longueur réelle est proportionnelle à la longueur sur le plan.
Étape 2 — Je construis un tableau et j'utilise le produit en croix.
Étape 3 — voir le tableau ci-dessous.
Plan (cm)112
Réel (m)2?
Produit en croix : \(\dfrac{12 \times 2}{1} = 24\).
Le jardin mesure \(24\) m de long.
2) Largeur réelle
Produit en croix : \(\dfrac{9 \times 2}{1} = 18\).
Le jardin mesure \(18\) m de large.
3) Périmètre réel
\(2 \times (24 + 18) = 2 \times 42 = 84\).
Le périmètre du jardin est \(84\) m.
4) Longueur de clôture
On enlève l'entrée de \(3\) m : \(84 - 3 = 81\).
Il faut \(81\) m de clôture.
5) Prix total de la clôture
\(81\) m à \(8\) € le mètre : \(81 \times 8 = 648\).
La clôture coûte \(648\) €.
6) Longueur de l'allée en diagonale
L'allée relie deux coins opposés : c'est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont la longueur (\(24\) m) et la largeur (\(18\) m).
D'après le théorème de Pythagore : \(\text{allée}^2 = 24^2 + 18^2\).
\(24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900\).
Donc \(\text{allée} = \sqrt{900} = 30\).
L'allée en diagonale mesure \(30\) m.
Info inutile : l'année d'achat du jardin (il y a \(5\) ans) ne servait à rien.

Problème 4La porte à repeindre — brevet

✓ Vu
Léa veut repeindre une porte rectangulaire, sur ses deux faces (devant et derrière). La porte mesure \(2\) m de hauteur et \(0{,}9\) m de largeur. La peinture est vendue en seaux : un seau permet de peindre \(0{,}3\) m² et coûte \(40{,}5\) €. Le magasin propose une offre : pour \(2\) seaux achetés, le \(3^{\text{e}}\) est offert. Léa a repeint sa fenêtre la semaine dernière.
1
Combien Léa va-t-elle payer pour repeindre sa porte ?
Calcule d'abord l'aire d'une face de la porte (un rectangle), puis n'oublie pas qu'il y a deux faces.
Un seau couvre \(0{,}3\) m² : divise la surface totale par \(0{,}3\) pour trouver le nombre de seaux.
Pour l'offre, regroupe les seaux par \(3\) : dans chaque groupe, Léa ne paie que \(2\) seaux.
1) Nombre de seaux nécessaires
Aire d'une face (rectangle) : \(2 \times 0{,}9 = 1{,}8\) m².
Il y a deux faces à peindre : \(2 \times 1{,}8 = 3{,}6\) m².
Étape 1 — La surface peinte est proportionnelle au nombre de seaux.
Étape 2 — J'utilise le coefficient (\(0{,}3\) m² par seau) : je divise la surface par \(0{,}3\).
Étape 3 — \(3{,}6 \div 0{,}3 = 12\).
Étape 4 — Léa doit se procurer \(12\) seaux.
2) Prix à payer avec l'offre
Offre : pour \(3\) seaux, Léa n'en paie que \(2\). Les \(12\) seaux forment \(12 \div 3 = 4\) groupes de \(3\).
Dans chaque groupe, elle paie \(2\) seaux : \(4 \times 2 = 8\) seaux payés.
Prix : \(8 \times 40{,}5 = 324\) €.
Léa doit payer \(324\) € pour toute la peinture.
Attention : à cause de l'offre, le prix n'est pas proportionnel au nombre de seaux obtenus. Sans l'offre, \(12\) seaux coûteraient \(12 \times 40{,}5 = 486\) €. Info inutile : la fenêtre repeinte la semaine dernière.
🎉
Bravo, tu as tout vu !
⭐⭐⭐

Tu as consulté toutes les corrections. L'essentiel dans un problème : repérer les informations utiles, laisser de côté les autres, et bien répondre à chaque question.

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