Chapitre

Constructions et transformations de figures

Translations · Frises · Pavages · Triangles égaux
I. Translations
📘 Définition

Transformer une figure par translation, c'est la faire glisser sans la tourner.

Une translation est définie par :

  • Une direction
  • Un sens
  • Une longueur
💡 Représentation : Sur une figure, on schématise ce glissement par une flèche (un vecteur) qui indique la direction, le sens et la longueur du déplacement.
✏️ Exemple
Le triangle ABC est translaté selon le vecteur DE. Construire l'image A'B'C'.
Triangle ABC et vecteur DE
Triangle ABC et vecteur DE
Triangle ABC et son image A'B'C'
Image A'B'C' par la translation
Construction du translaté
📐 Méthode — Construire l'image d'un point par translation
  1. Identifier le vecteur de translation (ici, le vecteur DE).
  2. À partir du point à translater (ex. A), reporter la même direction, le même sens et la même longueur que le vecteur.
  3. Au compas : régler sur DE, poser la pointe en A et tracer un arc dans la bonne direction.
  4. Le point obtenu est A', l'image de A.
  5. Répéter pour B et C, puis relier A', B', C' pour obtenir le triangle image.
💡 Clé : AA', BB' et CC' sont parallèles, de même sens et de même longueur que le vecteur.
Vecteur départ-arrivée et triangle à translater
Données initiales
Construction au compas
Construction au compas
II. Motifs et reproduction de motifs
a) Frises
📘 Définition

Une frise est constituée d'un motif qui est reproduit dans une seule direction par translation.

✏️ Exemple
Compléter la frise suivante en rajoutant deux motifs par la translation qui transforme A en B.
Frise avec un seul motif et points A, B
Frise initiale — motif + vecteur AB
Frise complétée avec trois motifs
Frise complétée — 3 motifs
📐 Méthode — Compléter une frise
  1. Identifier la translation : ici, le vecteur AB (de A vers B).
  2. Repérer chaque point du motif original sur le quadrillage.
  3. Pour chaque point, appliquer le même déplacement que AB (même nombre de carreaux horizontalement et verticalement).
  4. Relier les points images dans le même ordre que le motif original.
  5. Répéter une deuxième fois pour obtenir le 3ème motif.
✓ Vérification : Chaque motif doit être identique en forme et orientation au motif d'origine — aucune rotation, aucun retournement.
b) Pavages
📘 Définition

Un pavage est constitué d'un motif reproduit par des translations qui recouvrent le plan sans trou ni superposition.

✏️ Exemple
Identifier le motif élémentaire du pavage ci-dessous.
Exemple de pavage avec triangles colorés et motif élémentaire
Pavage par translation — motif indiqué à droite
💡 Remarque : Les flèches rouges indiquent les deux directions des translations utilisées pour reproduire le motif dans tout le plan.
III. Triangles égaux
📘 Définition

Dire que deux triangles sont égaux signifie qu'ils sont superposables (même forme et même taille).

📗 Propriété 1

Si deux triangles ont leurs trois côtés deux à deux de mêmes longueurs, alors ces deux triangles sont égaux.

📗 Propriété 2

Si deux triangles ont deux côtés de mêmes longueurs et l'angle compris entre ces deux côtés de même mesure, alors ces deux triangles sont égaux.

📗 Propriété 3

Si deux triangles ont un côté de même longueur et les deux angles adjacents à ce côté deux à deux de même mesure, alors ces deux triangles sont égaux.

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