📏 Fonctions affines et linéaires

Feuille n°1 – Reconnaître, lire \(a\) et \(b\)

3ème 3 exercices Affine · Linéaire · Coefficient directeur · Ordonnée à l'origine

📖 Ce qu'il faut savoir

Forme générale

Une fonction affine s'écrit \(f(x) =\) \(a\)\(x +\) \(b\) avec \(a \neq 0\).

\(a\) est le coefficient directeur : le nombre devant \(x\).

\(b\) est l'ordonnée à l'origine : la valeur de \(f(0)\).

Si \(b = 0\), la fonction est linéaire : \(f(x) =\) \(a\)\(x\). La droite passe par \((0\,;\,0)\).

Lire \(a\) et \(b\) sur un graphique

\(b\) : repère où la droite coupe l'axe des ordonnées. Cette valeur de \(y\) est \(b\).

\(a\) : depuis le point \((0\,;\,b)\), décale-toi d'1 unité vers la droite. Regarde de combien d'unités la droite monte ou descend : c'est \(a\) (positif si elle monte, négatif si elle descend).

Si \(a > 0\) : droite croissante · Si \(a < 0\) : droite décroissante.

Corrections vues :

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Exercice 1 – Identifier \(a\) et \(b\) dans une formule

Exercice 1 / 3

Affine · Linéaire · Lecture algébrique

✓ Vu

Pour chacune des fonctions suivantes, indiquer si elle est affine ou linéaire, puis donner le coefficient directeur \(a\) et l'ordonnée à l'origine \(b\).

\(f(x) = 3x + 5\)

\(g(x) = -2x\)

\(h(x) = \dfrac{1}{2}x - 4\)

\(k(x) = 7x\)

\(p(x) = -x + 3\)

\(q(x) = 4 - 5x\)

💡 Indices

Compare chaque fonction avec \(f(x) =\) \(a\)\(x +\) \(b\). Le nombre devant \(x\) est \(a\), et le nombre seul (sans \(x\)) est \(b\).

Certaines fonctions n'ont pas de terme constant visible, d'autres ont leurs termes dans un ordre inhabituel. Cherche ce qui joue le rôle de \(a\) et de \(b\) dans chaque cas.

La différence entre affine et linéaire tient à \(b\) : si \(b = 0\), c'est linéaire. Sinon, c'est affine.

Tableau de synthèse

Rappel : \(a\) = coefficient de \(x\) · \(b\) = terme constant · linéaire si \(b = 0\)

Fonction	\(a\)	\(b\)	Type
\(f(x) =\) \(3\)\(x\) \(+\,5\)	\(3\)	\(5\)	Affine
\(g(x) =\) \(-2\)\(x\)	\(-2\)	\(0\)	Linéaire
\(h(x) =\) \(\tfrac{1}{2}\)\(x\) \(-\,4\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(-4\)	Affine
\(k(x) =\) \(7\)\(x\)	\(7\)	\(0\)	Linéaire
\(p(x) =\) \(-1\)\(x\) \(+\,3\)	\(-1\)	\(3\)	Affine
\(q(x) =\) \(-5\)\(x\) \(+\,4\)	\(-5\)	\(4\)	Affine

⚠️ \(q(x) = 4 - 5x\) se réécrit \(-5x + 4\) : le coefficient directeur est \(-5\), pas \(4\). Le nombre devant \(x\) est toujours \(a\).

⚠️ \(p(x) = -x + 3\) : \(-x\) signifie \(-1 \times x\), donc \(a = -1\).

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Exercice 2 – Lire \(a\) et \(b\) sur un graphique

Exercice 2 / 3

Lecture graphique · Coefficient directeur · Ordonnée à l'origine

✓ Vu

Trois droites sont tracées dans le repère ci-dessous : droite \(f\), droite \(g\) et droite \(h\).
Pour chacune, lire le coefficient \(b\) puis le coefficient \(a\), et en déduire son expression.

📐 Méthode pour lire \(a\) et \(b\) :

Repère où la droite coupe l'axe des ordonnées → lis \(y\) : c'est \(b\).
Depuis ce point \((0\,;\,b)\), décale-toi d'1 unité vers la droite.
Regarde de combien d'unités la droite monte ou descend : c'est \(a\).

Droite \(f\) Droite \(g\) Droite \(h\)

1Lire \(a\) et \(b\) pour la droite \(f\), puis écrire son expression.

2Lire \(a\) et \(b\) pour la droite \(g\), puis écrire son expression.

3Lire \(a\) et \(b\) pour la droite \(h\), puis écrire son expression. Est-elle linéaire ?

💡 Indices

Les points colorés sur l'axe des ordonnées indiquent où chaque droite le coupe. La valeur de \(y\) à ce point, c'est \(b\). Exemple : si le point est à \(y = 3\), alors \(b = 3\).

Le coefficient directeur \(a\) traduit comment \(y\) varie quand \(x\) augmente d'une unité. Observe deux points de la droite pour le retrouver.

Droite \(f\) (violette)

La droite coupe l'axe des ordonnées en \(y = 1\) → \(b = 1\).

Depuis \((0\,;\,1)\), on décale de 1 unité vers la droite : la droite monte de 2 unités → \(a = 2\).

\(f(x) =\) \(2\)\(x\) \(+\,1\) — fonction affine

Droite \(g\) (rouge)

La droite coupe l'axe des ordonnées en \(y = 3\) → \(b = 3\).

Depuis \((0\,;\,3)\), on décale de 1 unité vers la droite : la droite descend de 1 unité → \(a = -1\).

\(g(x) =\) \(-1\)\(x\) \(+\,3\) — fonction affine

Droite \(h\) (verte)

La droite passe par l'origine : elle coupe l'axe des ordonnées en \(y = 0\) → \(b = 0\).

Depuis \((0\,;\,0)\), on décale de 1 unité vers la droite : la droite monte de 1 unité → \(a = 1\).

\(h(x) =\) \(1\)\(x = x\) — fonction linéaire car \(b = 0\)

📋

Exercice 3 – Tableau de synthèse

Exercice 3 / 3

Synthèse · Affine · Linéaire

✓ Vu

Compléter le tableau suivant.

Expression	\(a\)	\(b\)	Affine ou Linéaire ?	Passe par \((0\,;\,0)\) ?
\(f(x) = 5x - 2\)
\(g(x) = -3x\)
\(h(x) = \dfrac{2}{3}x + 1\)
\(k(x) = -4x + 7\)
\(p(x) = 6x\)

💡 Indices

Le nombre devant \(x\) est \(a\), le nombre seul est \(b\). S'il n'y a pas de terme seul, \(b = 0\).

Relie la condition « passe par l'origine » à l'une des valeurs que tu viens de trouver pour chaque droite.

Tableau complété

Expression	\(a\)	\(b\)	Type	Passe par \((0\,;\,0)\) ?
\(f(x) =\) \(5\)\(x\) \(-\,2\)	\(5\)	\(-2\)	Affine	Non
\(g(x) =\) \(-3\)\(x\)	\(-3\)	\(0\)	Linéaire	Oui
\(h(x) =\) \(\tfrac{2}{3}\)\(x\) \(+\,1\)	\(\dfrac{2}{3}\)	\(1\)	Affine	Non
\(k(x) =\) \(-4\)\(x\) \(+\,7\)	\(-4\)	\(7\)	Affine	Non
\(p(x) =\) \(6\)\(x\)	\(6\)	\(0\)	Linéaire	Oui

💡 À retenir : linéaire ⟺ \(b = 0\) ⟺ la droite passe par l'origine \((0\,;\,0)\). Ces trois formulations disent exactement la même chose.