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Fonctions linéaires et affines — Les Peintres

3ème · Brevet 10 questions Calcul · Fonctions · Graphique · Équation · Algorithme

📖 Ce qu'il faut savoir

Fonctions affine & linéaire

Affine : \(f(x) = ax + b\) avec \(a \neq 0\)

Linéaire : \(f(x) = ax\) (cas \(b = 0\))

\(a\) = coefficient directeur · \(b\) = ordonnée à l'origine

Linéaire ↔ droite passant par l'origine \((0\,;\,0)\)

Tracer une droite sur un repère

Étape 1 — Place le point \((0\,;\,b)\) sur l'axe des ordonnées.

Étape 2 — Depuis ce point, avance d'1 unité vers la droite.

Étape 3 — Monte de \(a\) unités (ou descend si \(a < 0\)). Tu as un 2ème point.

Étape 4 — Trace la droite passant par ces deux points.

📊 Corrections vues :

0 / 10

🏠 Présentation du problème

On veut peindre des murs d'aire inférieure à 100 m². Voici les tarifs proposés par trois peintres en fonction de l'aire des murs à peindre en m² :

🟡 Peintre A

15 € par m². Pas de frais fixe : on paie uniquement en fonction de la surface à peindre.

🔵 Peintre B

10 € par m² + 70 € de frais d'installation de chantier (forfait fixe).

🟣 Peintre C

350 € quelle que soit l'aire (inférieure à 100 m²). Prix unique forfaitaire.

Dans la suite de l'exercice, \(x\) désigne l'aire des murs à peindre en m². Les fonctions \(a(x)\), \(b(x)\) et \(c(x)\) donnent le prix proposé, en euros, respectivement par les peintres A, B et C.

🧮

Question 1 – Vérification pour 40 m²

Question 1 / 10

Calcul numérique · Vérification

✓ Vu

→Montrer que pour 40 m², le tarif du Peintre A est de 600 €, le tarif du Peintre B est de 470 € et le tarif du Peintre C est de 350 €.

💡 Montrer signifie ici écrire le calcul complet, pas seulement l'affirmation.

💡 Indices

Pour le Peintre A, son tarif est de 15 € par m². Combien coûte 40 m² à ce tarif ? Réfléchis à ce que tu dois multiplier.

Pour le Peintre B, son tarif comporte deux parties : une fixe et une qui dépend de la surface. Réfléchis à comment les combiner pour obtenir le coût total.

Peintre A — 15 € par m², donc pour 40 m² :

\(a(40) = 15 \times 40 = \mathbf{600}\) €

Peintre B — 70 € de frais fixes + 10 € par m², donc pour 40 m² :

\(b(40) = 10 \times 40 + 70 = 400 + 70 = \mathbf{470}\) €

Peintre C — Forfait fixe quel que soit le nombre de m² :

\(c(40) = \mathbf{350}\) €

Les trois valeurs sont bien vérifiées : 600 € · 470 € · 350 €.

✍️

Question 2 – Écrire \(b(x)\)

Question 2 / 10

Expression · Fonction

✓ Vu

→Écrire l'expression de la fonction \(b(x)\) donnant le prix proposé par le Peintre B pour \(x\) m².

On rappelle que : \(a(x) = 15x\) et \(c(x) = 350\). À vous d'exprimer \(b(x)\).

💡 Indices

Le Peintre B a deux types de frais dans son tarif. Comment les exprimer ensemble pour une surface quelconque \(x\) m² ?

Le Peintre B coûte : 10 € par m² (partie variable) + 70 € (frais fixes, partie constante).

\(b(x) = \underbrace{10x}_{\text{partie variable}} + \underbrace{70}_{\text{frais fixes}}\)

\(b(x) = 10x + 70\)

📏

Question 3 – Nature de \(a\), image et antécédent

Question 3 / 10

Linéaire · Affine · Image · Antécédent

✓ Vu

On rappelle que \(a(x) = 15x\) et \(c(x) = 350\).

aQuelle est la nature de la fonction \(a\) ? Justifier et donner en plus le coefficient directeur ainsi que l'ordonnée à l'origine de \(a\).

bCalculer l'image de 60 par \(a\).

cCalculer l'antécédent de 300 par \(a\).

💡 Indices

Compare les formes générales des fonctions affines et linéaires. Qu'est-ce qui distingue une fonction linéaire d'une fonction affine ?

L'image d'un nombre s'obtient en remplaçant \(x\) par ce nombre dans la formule. L'antécédent d'un nombre s'obtient en résolvant une équation.

a. Nature de la fonction \(a\)

Une fonction est linéaire si elle s'écrit \(f(x) = ax\) (sans terme constant, \(b = 0\)). Sa courbe est une droite passant par l'origine \((0\,;\,0)\).

\(a(x) = 15x\) s'écrit bien sous la forme \(f(x) = ax\) avec :

Coefficient directeur : \(a = 15\)
Ordonnée à l'origine : \(b = 0\)

\(a\) est une fonction linéaire de coefficient directeur \(15\) et d'ordonnée à l'origine \(0\).

⚠️ Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine (avec \(b = 0\)). Sa droite passe obligatoirement par l'origine.

b. Image de 60 par \(a\)

\(a(60) = 15 \times 60 = \mathbf{900}\)

L'image de 60 par \(a\) est 900. (Peindre 60 m² avec le Peintre A coûte 900 €.)

c. Antécédent de 300 par \(a\)

On cherche \(x\) tel que \(a(x) = 300\), soit :

15x = 300

÷ 15

x = 300 ÷ 15 = 20

L'antécédent de 300 par \(a\) est 20. (Pour payer 300 €, le Peintre A peint 20 m².)

📈

Question 4 – Représenter \(a(x)\) et \(b(x)\)

Question 4 / 10

Représentation graphique · Méthode

✓ Vu

Représenter graphiquement les fonctions \(a(x) = 15x\) et \(b(x) = 10x + 70\) dans le repère ci-dessous.

📐 Rappel de méthode : Pour tracer une droite, tu n'as besoin que de deux points. Commence par placer l'ordonnée à l'origine \(b\), puis utilise le coefficient directeur \(a\) pour trouver un deuxième point (avancer de 1 vers la droite, monter de \(a\) vers le haut).

\((D_A)\) — \(a(x)=15x\) (à tracer) \((D_B)\) — \(b(x)=10x+70\) (à tracer)

Axe des abscisses : surface en m² (de 0 à 10) · Axe des ordonnées : prix en € (de 0 à 200)

💡 Indices

Pour tracer une droite, deux points suffisent. Le terme constant \(b\) te donne directement un point sur l'axe des ordonnées.

Une fois le premier point placé, le coefficient directeur \(a\) t'indique comment la droite progresse. Il exprime la variation de \(y\) pour chaque unité ajoutée à \(x\).

Méthode pas à pas pour tracer \(a(x) = 15x\)

1 Identifier \(a\) et \(b\) pour \(a(x) = 15x\)
\(a(x) =\) \(15\)\(x +\) \(0\) → coefficient directeur \(a = 15\) · ordonnée à l'origine \(b = 0\)

2 Placer le premier point : \(b = 0\)
Placer le point \(P_0 = (0\,;\,0)\) : la droite part de l'origine du repère. C'est un signe qu'il s'agit d'une fonction linéaire.

3 Utiliser le coefficient directeur \(a = 15\)
Depuis \(P_0 = (0\,;\,0)\) : avancer d'1 unité à droite → monter de 15 unités → point \(P_1 = (1\,;\,15)\).

Méthode pas à pas pour tracer \(b(x) = 10x + 70\)

1 Identifier \(a\) et \(b\) pour \(b(x) = 10x + 70\)
\(b(x) =\) \(10\)\(x +\) \(70\) → coefficient directeur \(a = 10\) · ordonnée à l'origine \(b = 70\)

2 Placer l'ordonnée à l'origine \(b = 70\)
Sur l'axe des ordonnées (\(x = 0\)), repérer \(y = 70\) et placer \(Q_0 = (0\,;\,70)\).
C'est là que la droite coupe l'axe vertical — les 70 € de frais fixes.

3 Utiliser le coefficient directeur \(a = 10\)
Depuis \(Q_0 = (0\,;\,70)\) : avancer d'1 unité à droite → monter de 10 unités → point \(Q_1 = (1\,;\,80)\).

Graphique complété

\((D_A)\) — \(a(x)=15x\) (tracée) \((D_B)\) — \(b(x)=10x+70\) (tracée)

\((D_A)\) passe par \(P_0(0\,;\,0)\) et \(P_1(1\,;\,15)\) · \((D_B)\) passe par \(Q_0(0\,;\,70)\) et \(Q_1(1\,;\,80)\).

💡 Vérifications : \(a(2) = 30\) → \((2\,;\,30)\) ✓ · \(b(2) = 90\) → \((2\,;\,90)\) ✓

🔍

Question 5 – Lecture graphique : 180 €

Question 5 / 10

Lecture graphique · Comparaison

✓ Vu

→Avec 180 €, quel peintre est le plus intéressant ? Justifier en s'aidant du graphique.

📐 Méthode de lecture graphique : Repère la valeur 180 sur l'axe des ordonnées (axe \(y\)), trace une droite horizontale jusqu'à rencontrer chaque droite, puis lis les valeurs de \(x\) correspondantes en descendant vers l'axe des abscisses.

💡 Indices

Sur le graphique, le budget correspond à une valeur sur l'axe vertical. Cherche à quelles valeurs de \(x\) les droites atteignent ce niveau.

Le peintre le plus « intéressant » est celui qui te permet de peindre la plus grande surface pour le même budget. Parmi les valeurs de \(x\) lues sur le graphique pour \(y = 180\), laquelle est la plus grande ?

1 Repérer \(y = 180\) sur l'axe des ordonnées et tracer une ligne horizontale imaginaire.

2 Lire les intersections avec chaque droite et descendre vers l'axe des abscisses pour lire \(x\).

Peintre A — \(a(x) = 180\) :

\(15x = 180\) ⟹ \(x = 180 \div 15 = 12\) m²

Peintre B — \(b(x) = 180\) :

\(10x + 70 = 180\) ⟹ \(10x = 110\) ⟹ \(x = 11\) m²

Peintre C — Prix fixe de 350 € : avec 180 €, le Peintre C n'est pas accessible (350 > 180).

Comparaison : 12 m² (Peintre A) > 11 m² (Peintre B) > inaccessible (Peintre C)

Avec 180 €, le Peintre A est le plus intéressant : on peut lui faire peindre 12 m² contre seulement 11 m² pour le Peintre B.

💰

Question 6 – Quel peintre pour 8 m² ?

Question 6 / 10

Lecture graphique · Tarifs

✓ Vu

→Si on veut peindre une surface de 8 m², quel peintre coûtera le moins cher ? Justifier en s'aidant du graphique.

📐 Méthode : Repère la valeur \(x = 8\) sur l'axe des abscisses, trace une droite verticale et lis les valeurs de \(y\) (le prix) sur chaque droite.

💡 Indices

Pour 8 m², tu veux comparer les prix. Repère \(x = 8\) sur l'axe des abscisses et lis la hauteur (\(y\)) de chaque droite à cet endroit. Laquelle est la plus basse ?

Si la lecture graphique est difficile, tu peux calculer directement le coût chez chaque peintre pour 8 m².

Prix pour 8 m² (lecture graphique et calcul)

Peintre A : \(a(8) = 15 \times 8 = \mathbf{120}\) €

Peintre B : \(b(8) = 10 \times 8 + 70 = 80 + 70 = \mathbf{150}\) €

Peintre C : \(c(8) = \mathbf{350}\) € (forfait fixe)

Comparaison : 120 € < 150 € < 350 €

Pour 8 m², le Peintre A est le moins cher avec 120 €.

📈 Sur le graphique, c'est la droite \((D_A)\) qui est la plus basse pour \(x = 8\), ce qui confirme que le Peintre A est le moins cher.

⚖️

Question 7 – Résoudre \(15x = 10x + 70\)

Question 7 / 10

Équation · Résolution algébrique

✓ Vu

→Résoudre l'équation \(15x = 10x + 70\), c'est-à-dire l'équation \(a(x) = b(x)\).

🔍 Rappel : Il faut regrouper tous les termes en \(x\) d'un côté de l'égalité et les constantes de l'autre.

💡 Indices

Il y a des termes en \(x\) des deux côtés. Pour les regrouper à gauche, que peut-on soustraire des deux membres pour faire disparaître le \(10x\) du côté droit ?

Une fois les termes en \(x\) regroupés d'un côté, il ne reste plus qu'une simple opération pour isoler \(x\).

Résolution de \(15x = 10x + 70\)

15x = 10x + 70

− 10x

5x = 70

÷ 5

x = 70 ÷ 5 = 14

La solution est \(x = 14\).

✅ Vérification : \(a(14) = 15 \times 14 = 210\) · \(b(14) = 10 \times 14 + 70 = 140 + 70 = 210\) → Les deux donnent bien 210 € ✓

💬

Question 8 – Interprétation de la solution

Question 8 / 10

Interprétation · Contexte

✓ Vu

→Que représente la solution de l'équation \(a(x) = b(x)\) dans le contexte de ce problème ?

🔍 Relis les fonctions : \(a(x)\) est le coût du Peintre A et \(b(x)\) celui du Peintre B. Que signifie qu'elles soient égales ? Et sur le graphique, à quoi correspond cette valeur ?

💡 Indices

L'intersection des deux droites sur le graphique correspond à la surface pour laquelle les deux tarifs sont identiques. En deçà et au-delà de cette valeur, compare les positions relatives des deux droites.

La solution \(x = 14\) est la surface pour laquelle le Peintre A et le Peintre B coûtent exactement le même prix : 210 €.

La solution représente le point d'équilibre entre le Peintre A et le Peintre B :
pour 14 m², les deux peintres coûtent la même somme (210 €).

Conséquences pratiques :
• Pour moins de 14 m² : le Peintre A est moins cher (pas de frais fixes).
• Pour plus de 14 m² : le Peintre B devient moins cher (les 70 € de frais fixes sont « amortis » par le tarif à 10 €/m² au lieu de 15 €/m²).
• Sur le graphique, la solution correspond à l'intersection des droites \((D_A)\) et \((D_B)\).

⚠️ Le Peintre C (forfait 350 €) n'est jamais le moins cher sur [0 ; 100 m²] car le Peintre A coûte 350 € pour \(\frac{350}{15} \approx 23{,}3\) m², bien moins que 100 m².

🤖

Exercice 2 – Programme de calcul

📋 Le programme de calcul

Variables : x, résultat

Début :

Lire x

résultat ← x × 2

résultat ← résultat + 1

Afficher résultat

Fin

🐱 Version Scratch

Quand 🚩 cliqué

demander [Choisir un nombre] et attendre

mettre [résultat] à (réponse × 2)

mettre [résultat] à (résultat + 1)

dire [résultat]

Question 9 / 10

Algorithme · Exécution · Fonction

✓ Vu

aSi on choisit le nombre 8 au départ, quel sera le résultat ?

bOn note \(g\) la fonction qui, au nombre \(x\) choisi au départ, associe le résultat obtenu avec ce programme. Montrer que \(g(x) = 2x + 1\).

cQuel nombre doit-on choisir au départ pour obtenir 6 ?

💡 Indices

Suis le programme étape par étape avec \(x = 8\) : d'abord on multiplie 8 par 2, puis on ajoute 1 au résultat. Quel nombre obtient-on à la fin ?

Pour montrer que \(g(x) = 2x + 1\), remplace le nombre particulier par un nombre quelconque \(x\) dans le programme. Pour (c), « trouver l'antécédent de 6 » signifie résoudre une équation.

a. Exécution du programme pour \(x = 8\)

Étape 1 : résultat ← \(8 \times 2 = 16\)

Étape 2 : résultat ← \(16 + 1 = 17\)

Pour \(x = 8\), le programme affiche 17.

b. Montrer que \(g(x) = 2x + 1\)

On remplace le nombre fixe 8 par un nombre quelconque \(x\) :

Étape 1 : résultat ← \(x \times 2 = 2x\)

Étape 2 : résultat ← \(2x + 1\)

Le programme calcule bien \(g(x) = 2x + 1\). ✓

c. Antécédent de 6 par \(g\)

On cherche \(x\) tel que \(g(x) = 6\), soit :

2x + 1 = 6

− 1

2x = 5

÷ 2

x = ⁵⁄₂ = 2,5

Pour obtenir 6, on doit choisir \(x = 2{,}5\) au départ.

✅ Vérification : \(g(2{,}5) = 2 \times 2{,}5 + 1 = 5 + 1 = 6\) ✓

📐

Question 10 – Nature et propriétés de \(g\)

Question 10 / 10

Affine · Croissance · Proportionnalité

✓ Vu

On rappelle que \(g(x) = 2x + 1\).

dDe quelle nature est la fonction \(g\) ?

eDonner le coefficient directeur ainsi que l'ordonnée à l'origine de \(g\).

fLa fonction \(g\) est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.

gLa fonction \(g\) est-elle associée à une situation de proportionnalité ? Justifier.

💡 Indices

Compare \(g(x) = 2x + 1\) avec la forme générale \(f(x) = ax + b\). Identifie \(a\) et \(b\). Un terme constant \(b \neq 0\) est-il présent ?

Pour (f) : réfléchis à ce que le signe du coefficient directeur indique sur le comportement de la droite. Pour (g) : rappelle-toi quelle propriété caractérise une situation de proportionnalité du point de vue graphique.

d. Nature de la fonction \(g\)

\(g(x) = 2x + 1\) s'écrit sous la forme \(f(x) = ax + b\) avec \(a = 2 \neq 0\) et \(b = 1 \neq 0\).

\(g\) est une fonction affine.

⚠️ \(g\) n'est pas linéaire car \(b = 1 \neq 0\) : sa droite ne passe pas par l'origine.

e. Coefficient directeur et ordonnée à l'origine

\(g(x) =\) \(2\) \(x +\) \(1\)

• Coefficient directeur : \(a = 2\)

• Ordonnée à l'origine : \(b = 1\)

f. Sens de variation

Une fonction affine \(f(x) = ax + b\) est croissante si \(a > 0\) et décroissante si \(a < 0\).

Ici, le coefficient directeur est \(a = 2 > 0\).

\(g\) est une fonction croissante car son coefficient directeur \(a = 2 > 0\).

g. Proportionnalité

Une situation de proportionnalité correspond à une fonction linéaire : \(f(x) = ax\), dont la représentation graphique passe par l'origine \((0\,;\,0)\).

\(g(0) = 2 \times 0 + 1 = 1 \neq 0\)

La droite ne passe pas par l'origine : \(g\) n'est pas une fonction linéaire.

\(g\) n'est pas associée à une situation de proportionnalité car ce n'est pas une fonction linéaire (\(b = 1 \neq 0\)).