🎭 En piste pour le brevet

Fonctions linéaires et affines — Théâtre MODECIA, saison 2008-2009

3ème · Brevet 8 questions Tableau · Fonctions · Graphique · Équation

📖 Ce qu'il faut savoir

Fonctions affine & linéaire

Affine : \(f(x) = ax + b\) avec \(a \neq 0\)

Linéaire : \(f(x) = ax\) (cas \(b = 0\))

\(a\) = coefficient directeur · \(b\) = ordonnée à l'origine

Linéaire ↔ droite passant par l'origine \((0\,;\,0)\)

Tracer une droite sur un repère

Étape 1 — Place le point \((0\,;\,b)\) sur l'axe des ordonnées.

Étape 2 — Depuis ce point, avance d'1 unité vers la droite.

Étape 3 — Monte de \(a\) unités (ou descend si \(a < 0\)). Tu as un 2ème point.

Étape 4 — Trace la droite passant par ces deux points.

📊 Corrections vues :

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Question 1 – Tableau de valeurs

Question 1 / 8

Tableau · Calcul numérique

✓ Vu

🎭 Présentation du problème

Pour la saison 2008-2009, le théâtre MODECIA propose les tarifs suivants :

🎟 Tarif A

150 € la carte permettant d'assister à tous les spectacles de la saison — quel que soit le nombre de représentations.

🎫 Tarif B

75 € l'abonnement annuel + 6 € la place. On paie d'abord l'abonnement, puis chaque spectacle coûte 6 €.

🪑 Tarif C

19 € la place « plein tarif ». Pas d'abonnement, on paye chaque spectacle 19 €.

Compléter le tableau suivant :

Nombre de spectacles	1	2	3	8	14
Tarif A (€)
Tarif B (€)
Tarif C (€)

💡 Indices

Le Tarif A est une carte forfaitaire : peu importe le nombre de spectacles, le coût reste toujours le même. Que vaut-il pour 1 spectacle ? Pour 14 ?

Le Tarif B comporte deux composantes : un montant fixe et un montant qui varie selon le nombre de spectacles. Comment les combiner ?

Le Tarif C est simple : chaque spectacle coûte le même prix. Comment exprimer le coût total pour \(n\) spectacles ?

Rappel des formules : Tarif A = 150 € (constant) · Tarif B = 75 + 6×n · Tarif C = 19×n

Nombre de spectacles	1	2	3	8	14
Tarif A (€)	150	150	150	150	150
Tarif B (€)	81	87	93	123	159
Tarif C (€)	19	38	57	152	266

Détail des calculs

Tarif B pour 1 : 75 + 6×1 = 81 · pour 2 : 75 + 12 = 87 · pour 3 : 75 + 18 = 93

pour 8 : 75 + 48 = 123 · pour 14 : 75 + 84 = 159

Tarif C pour 1 : 19×1 = 19 · pour 2 : 19×2 = 38 · pour 3 : 19×3 = 57

pour 8 : 19×8 = 152 · pour 14 : 19×14 = 266

🔗

Question 2 – Associer fonctions et tarifs

Question 2 / 8

Identification · Fonctions

✓ Vu

On considère les trois fonctions suivantes :

\(f(x) = 19x\)

\(g(x) = 150\)

\(h(x) = 6x + 75\)

→Associer à chaque fonction le tarif correspondant (A, B ou C) et justifier.

💡 Indices

Regarde le tarif qui coûte toujours la même chose, quel que soit le nombre de spectacles. Quelle fonction représente une valeur constante ?

Le Tarif B contient une partie fixe (l'abonnement) et une partie variable (par spectacle). Quelle fonction a la forme \(ax + b\) avec \(b \neq 0\) ? Identifie \(a\) et \(b\) puis compare avec les tarifs.

\(g(x) = 150\) est une constante : quel que soit \(x\) (le nombre de spectacles), le résultat est toujours 150 €.

\(g(x) = 150\) correspond au Tarif A (carte à 150 €, valable pour tous les spectacles)

\(f(x) = 19x\) : pour \(x\) spectacles, on multiplie par 19 € (plein tarif, sans abonnement).

\(f(x) = 19x\) correspond au Tarif C (19 € par place, plein tarif)

\(h(x) = 6x + 75\) : le terme +75 représente l'abonnement fixe, et 6x représente le coût des \(x\) spectacles à 6 € chacun.

\(h(x) = 6x + 75\) correspond au Tarif B (75 € d'abonnement + 6 € par spectacle)

📏

Question 3 – Fonction linéaire ?

Question 3 / 8

Linéaire · Affine · Justification

✓ Vu

→Parmi les fonctions \(f\), \(g\) et \(h\), y a-t-il une fonction linéaire ? Si oui, laquelle ? Justifier.

💡 Indices

Rappelle-toi ce qui distingue une fonction linéaire d'une fonction affine. Regarde la structure de chaque expression.

Une fonction est linéaire si elle s'écrit \(f(x) = ax\) avec \(a \neq 0\), c'est-à-dire si l'ordonnée à l'origine est \(b = 0\) — sa droite passe par l'origine \((0\,;\,0)\).

Analysons chaque fonction :

\(f(x) = 19x\) : s'écrit bien sous la forme \(ax\) avec \(a = 19\) et \(b = 0\). ✅

\(g(x) = 150\) : c'est une constante, pas de la forme \(ax\). ✗

\(h(x) = 6x + 75\) : \(b = 75 \neq 0\), donc ce n'est pas une fonction linéaire. ✗

\(f(x) = 19x\) est la seule fonction linéaire car \(b = 0\) : sa droite passe par l'origine \((0\,;\,0)\).

⚠️ \(h(x) = 6x + 75\) est une fonction affine (pas linéaire) à cause du \(+75\). \(g(x) = 150\) est une fonction constante.

📈

Question 4 – Tracer \(h(x) = 6x + 75\)

Question 4 / 8

Représentation graphique · Méthode

✓ Vu

Sur le graphique ci-dessous, les droites \((T_A)\) et \((T_C)\) sont déjà tracées.

Représenter sur votre cahier la droite \((T_B)\) correspondant à \(h(x) = 6x + 75\).

📐 Comment faire sur votre cahier :

Reproduire le repère ci-dessous avec ses graduations (axe \(x\) de 0 à 15, axe \(y\) de 0 à 300).
Reporter les droites \((T_A)\) et \((T_C)\) déjà données.
Tracer la droite \((T_B)\) en utilisant la méthode des deux points.

\((T_A)\) — \(g(x)=150\) (déjà tracée) \((T_C)\) — \(f(x)=19x\) (déjà tracée) ✏️ À tracer : \((T_B)\) — \(h(x)=6x+75\)

💡 Indices

Pour tracer une droite, deux points suffisent. Le terme constant de la fonction te donne directement un point sur l'axe des ordonnées.

Une fois le premier point placé, le coefficient directeur t'indique comment la droite progresse quand \(x\) augmente d'une unité.

Méthode pas à pas pour tracer \(h(x) = 6x + 75\)

1 Identifier \(b\) et \(a\)
\(h(x) =\) \(6\)\(x +\) \(75\) → coefficient directeur \(a = 6\) et ordonnée à l'origine \(b = 75\)

2 Placer l'ordonnée à l'origine \(b = 75\)
Sur l'axe des ordonnées (\(x = 0\)), repérer la valeur \(y = 75\) et placer le point \(P_0 = (0\,;\,75)\).
C'est là que la droite coupe l'axe vertical.

3 Utiliser le coefficient directeur \(a = 6\)
Depuis \(P_0 = (0\,;\,75)\) :

Avancer d'1 unité vers la droite → on est à \(x = 1\)
Monter de 6 unités (car \(a = 6 > 0\)) → on arrive à \(y = 75 + 6 = 81\)
Placer le point \(P_1 = (1\,;\,81)\)

4 Tracer et prolonger la droite
Relier \(P_0\) et \(P_1\) avec une règle, puis prolonger dans les deux sens jusqu'aux bords du repère.
Vérification : \(h(5) = 6 \times 5 + 75 = 105\) → le point \((5\,;\,105)\) doit être sur la droite. ✓

Graphique complété

\((T_A)\) — \(g(x)=150\) \((T_C)\) — \(f(x)=19x\) \((T_B)\) — \(h(x)=6x+75\) ← tracée

La droite \((T_B)\) passe par \(P_0(0\,;\,75)\) et \(P_1(1\,;\,81)\) — elle est croissante car \(a = 6 > 0\).

💡 Vérifications supplémentaires : \(h(5) = 30 + 75 = 105\) → \((5\,;\,105)\) ✓ · \(h(10) = 60 + 75 = 135\) → \((10\,;\,135)\) ✓

🔍

Question 5 – Lecture graphique : 100 €

Question 5 / 8

Lecture graphique · Tarif C

✓ Vu

→Si on dispose de 100 euros, lire graphiquement le nombre de spectacles auxquels on peut assister avec le Tarif C.

📐 Méthode de lecture graphique : Repère la valeur 100 sur l'axe des ordonnées (axe \(y\)), trace une droite horizontale jusqu'à rencontrer la courbe du tarif concerné, puis lis la valeur de \(x\) en descendant vers l'axe des abscisses.

💡 Indices

Sur le graphique, un budget correspond à une valeur sur l'axe vertical. Cherche à quelle valeur de \(x\) la droite concernée atteint ce niveau.

Si la lecture graphique ne tombe pas exactement sur un entier, rappelle-toi qu'on ne peut pas assister à une fraction de spectacle. Avec un budget de 100 €, combien de spectacles entiers peut-on payer ?

1 Repérer \(y = 100\) sur l'axe des ordonnées et tracer une ligne horizontale jusqu'à la droite \((T_C)\).

2 Descendre verticalement jusqu'à l'axe des abscisses : on lit approximativement \(x \approx 5{,}26\).

On peut aussi retrouver ce résultat par le calcul (vérification) :

19x = 100

÷ 19

x = ¹⁰⁰⁄₁₉ ≈ 5,26

Avec 100 €, on peut assister à 5 spectacles en Tarif C (car \(5 \times 19 = 95 \leq 100\) mais \(6 \times 19 = 114 > 100\)).

⚠️ On arrondit à l'inférieur car on ne peut pas payer un 6ème spectacle : le 6ème coûterait 114 € au total, ce qui dépasse le budget de 100 €.

💰

Question 6 – Tarif le plus avantageux pour 8 spectacles

Question 6 / 8

Comparaison · Tableau · Raisonnement

✓ Vu

→Quel est le tarif le plus avantageux pour regarder 8 spectacles ?

💡 Le tarif « le plus avantageux » est celui qui coûte le moins cher. Tu peux utiliser les résultats du tableau de la question 1.

💡 Indices

Relis la colonne « 8 spectacles » dans le tableau de la question 1. Tu as déjà les trois coûts : compare-les simplement pour trouver le minimum.

Coûts pour 8 spectacles (d'après le tableau Q1)

Tarif A : \(g(8) = 150\) € (carte forfaitaire)

Tarif B : \(h(8) = 6 \times 8 + 75 = 48 + 75 = 123\) €

Tarif C : \(f(8) = 19 \times 8 = 152\) €

Comparaison : 123 € < 150 € < 152 €

Pour 8 spectacles, le Tarif B est le plus avantageux avec 123 €.

⚖️

Question 7 – Résoudre \(f(x) = h(x)\)

Question 7 / 8

Équation · Résolution algébrique

✓ Vu

→Résoudre l'équation \(f(x) = h(x)\), c'est-à-dire \(19x = 6x + 75\).

🔍 Rappel : Résoudre une équation, c'est trouver la valeur de \(x\) qui rend l'égalité vraie. Ici, les termes en \(x\) sont des deux côtés de l'égalité.

💡 Indices

Pour résoudre une équation avec des termes en \(x\) des deux côtés, cherche à les regrouper d'un seul côté en utilisant les opérations inverses.

Une fois les termes en \(x\) regroupés d'un côté et les constantes de l'autre, il ne reste plus qu'une simple opération pour isoler \(x\).

Résolution de \(19x = 6x + 75\)

19x = 6x + 75

− 6x

13x = 75

÷ 13

x = ⁷⁵⁄₁₃ ≈ 5,77

La solution est \(x = \dfrac{75}{13} \approx 5{,}77\).

✅ Vérification : \(f\!\left(\tfrac{75}{13}\right) = 19 \times \tfrac{75}{13} = \tfrac{1425}{13}\) · \(h\!\left(\tfrac{75}{13}\right) = 6 \times \tfrac{75}{13} + 75 = \tfrac{450}{13} + \tfrac{975}{13} = \tfrac{1425}{13}\) ✓

💬

Question 8 – Interprétation de la solution

Question 8 / 8

Interprétation · Contexte

✓ Vu

→Que représente la solution de l'équation \(f(x) = h(x)\) dans le contexte de ce problème ?

🔍 Relis les fonctions : \(f(x)\) représente le coût en Tarif C et \(h(x)\) celui en Tarif B. Que signifie qu'elles soient égales ?

💡 Indices

L'intersection des deux droites sur le graphique correspond au nombre de spectacles pour lequel les deux tarifs sont identiques. En deçà et au-delà de cette valeur, compare les positions relatives des deux droites pour conclure.

La solution \(x = \dfrac{75}{13} \approx 5{,}77\) est le nombre de spectacles pour lequel le Tarif C et le Tarif B reviennent exactement au même prix.

La solution représente le point d'équilibre entre le Tarif B et le Tarif C :
à \(x \approx 5{,}77\) spectacles, les deux tarifs coûtent la même somme.

Conséquences pratiques :
• Pour moins de 6 spectacles : le Tarif C est plus avantageux (on ne paie pas les 75 € d'abonnement).
• Pour plus de 6 spectacles : le Tarif B devient plus avantageux (l'abonnement est « amorti »).
• Sur le graphique, la solution correspond à l'intersection des droites \((T_B)\) et \((T_C)\).

⚠️ Puisqu'on ne peut pas assister à 5,77 spectacles, en pratique : pour 1 à 5 spectacles → préférer le Tarif C ; à partir de 6 spectacles → préférer le Tarif B.