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Réciproque et contraposée du théorème de Pythagore — Correction interactive

📊 Progression

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Exercice 1

✓ Vu

On considère la figure ci-contre et les données suivantes :

E est le milieu de [CB]
CE = 7 cm
AC = 7,2 cm
AB = 12 cm
AD = 4 cm
DE = 3 cm
AE = 5 cm
A, D et B sont alignés

1. Le triangle ABC est-il rectangle en A ?

2. Le triangle ADE est-il rectangle en D ?

3. Le triangle DEB est-il rectangle en D ?

🔎 Pour chaque triangle, quel est le côté le plus long ? Quel rôle joue-t-il dans la relation de Pythagore ?

✏️ Quels calculs faut-il comparer pour décider si un triangle est rectangle ou non ? Que conclut-on selon le résultat de cette comparaison ?

🔢 Selon que les deux quantités sont égales ou différentes, quel théorème (ou quelle version) appliques-tu pour conclure ?

Question 1 : Le triangle ABC est-il rectangle en A ?

E est le milieu de [CB], donc CB = 2 × CE = 2 × 7 = 14 cm

On a :

Gauche :
AC² + AB² = 7,2² + 12²
= 51,84 + 144
= 195,84

Droite :
CB² = 14²
= 196

Or : Gauche ≠ Droite, donc AC² + AB² ≠ CB²

Donc : d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ABC n'est pas rectangle en A

Question 2 : Le triangle ADE est-il rectangle en D ?

On a :

Gauche :
AE² = 5²
= 25

Droite :
AD² + DE² = 4² + 3²
= 16 + 9 = 25

Or : Gauche = Droite, donc AE² = AD² + DE²

Donc : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ADE est rectangle en D

Question 3 : Le triangle DEB est-il rectangle en D ?

DB = AB - AD = 12 - 4 = 8 cm

EB = CB - CE = 14 - 7 = 7 cm

On a :

Gauche :
EB² = 7²
= 49

Droite :
DE² + DB² = 3² + 8²
= 9 + 64 = 73

Or : Gauche ≠ Droite, donc EB² ≠ DE² + DB²

Donc : d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle DEB n'est pas rectangle en D

Exercice 2

✓ Vu

Un maçon cherche à construire un mur perpendiculaire au sol. Une fois le mur construit, il effectue les mesures suivantes :

MP = 50 cm ; PN = 120 cm ; MN = 130 cm

Le mur est-il bien perpendiculaire au sol ? Justifier.

🔎 Quel lien y a-t-il entre la perpendicularité du mur et la nature du triangle formé ? Quel angle serait droit si le mur est bien vertical ?

✏️ Quel côté joue le rôle d'hypoténuse si le triangle est rectangle ? Quels calculs faut-il effectuer et comparer ?

🔢 Une fois la comparaison faite, quel théorème te permet de conclure sur la perpendicularité du mur ? Comment formuler la conclusion ?

On a :

Gauche :
MN² = 130²
= 16 900

Droite :
MP² + PN² = 50² + 120²
= 2 500 + 14 400
= 16 900

Or : Gauche = Droite, donc MN² = MP² + PN²

Donc : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle MPN est rectangle en P

Par conséquent, le mur est bien perpendiculaire au sol.

Exercice 3

✓ Vu

On considère la figure ci-contre telle que :

AB = 8 cm ; BC = 7,1 cm et AC = 10,5 cm

(AB) et (BC) sont-elles perpendiculaires ? Justifier.

🔎 Quel lien y a-t-il entre la perpendicularité de (AB) et (BC) et la nature du triangle ABC ? Quel côté serait alors l'hypoténuse ?

✏️ Quels calculs dois-tu effectuer et comparer ? As-tu bien identifié quel côté est le plus grand ?

🔢 Selon le résultat de ta comparaison, quel théorème appliques-tu — et comment formules-tu la conclusion sur la perpendicularité des droites ?

On a :

Gauche :
AC² = 10,5²
= 110,25

Droite :
AB² + BC² = 8² + 7,1²
= 64 + 50,41
= 114,41

Or : Gauche ≠ Droite, donc AC² ≠ AB² + BC²

Donc : d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ABC n'est pas rectangle en B

Par conséquent, (AB) et (BC) ne sont pas perpendiculaires.

Exercice 4

✓ Vu

On considère la figure suivante telle que :

ADB est un triangle rectangle en B
A, D, E alignés et A, B, C alignés
(BD) et (EC) sont parallèles
BD = 1,2 m ; AB = 1,6 m et BC = 18,4 m

1. Calculer AD

2. Calculer AE et EC

3. Montrer que le triangle ACE est rectangle en C.

🔎 Q1 : dans quel triangle vas-tu appliquer Pythagore ? Quel côté est l'hypoténuse ? Q2 : avant d'appliquer Thalès, vérifie les conditions — quelles droites sont parallèles, quel est le sommet commun des sécantes ?

✏️ Q2 : quelle égalité de rapports Thalès permet-il d'écrire ? Quelles valeurs connais-tu déjà, et lesquelles cherches-tu ?

🔢 Q3 : pour montrer que ACE est rectangle en C, quelle relation entre les côtés faut-il vérifier ? Quel théorème (et quelle version) permet de conclure ?

Question 1 : Calculer AD

On a : Le triangle ADB est rectangle en B
         AB = 1,6 m
         BD = 1,2 m
         Hypoténuse : AD

Or : d'après le théorème de Pythagore

AD² = AB² + BD²

AD² = 1,6² + 1,2² = 2,56 + 1,44 = 4

AD = √4 = 2 m

Donc : AD mesure 2 m

Question 2 : Calculer AE et EC

AC = AB + BC = 1,6 + 18,4 = 20 m

📝 Instructions : Colorier le grand triangle EAC en rouge et le petit triangle ADB en vert.

On a : A, D, E alignés
A, B, C alignés
(BD) et (EC) sont parallèles

Or : d'après le théorème de Thalès

AE AD = AC AB = EC BD

AE 2 = 20 1,6

AE = 20 × 2 ÷ 1,6 = 25 m

EC 1,2 = 20 1,6

EC = 20 × 1,2 ÷ 1,6 = 15 m

Donc : AE mesure 25 m et EC mesure 15 m

Question 3 : Montrer que ACE est rectangle en C

On a :

Gauche :
AE² = 25²
= 625

Droite :
AC² + EC² = 20² + 15²
= 400 + 225
= 625

Or : Gauche = Droite, donc AE² = AC² + EC²

Donc : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ACE est rectangle en C

🏆

Bravo, tu as tout vu !

⭐⭐⭐

Tu as consulté toutes les corrections. Refais les exercices seul(e) pour vraiment maîtriser la réciproque et la contraposée du théorème de Pythagore !

✓ 4 exercices 📐 Réciproque maîtrisée 🔄 Contraposée maîtrisée