Chapitre – Partie 2

Théorème de Pythagore

Contraposée & Réciproque

I. Montrer qu'un triangle n'est pas rectangle
💡 Rappel

Pour utiliser la contraposée ou la réciproque, il faut d'abord identifier le plus grand côté du triangle. C'est lui qui joue le rôle de l'hypoténuse potentielle.

📙 Contraposée du théorème de Pythagore

Dans un triangle, si le carré du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle n'est pas rectangle.

Dans le triangle ABC où BC est le plus grand côté :
Si \(\textcolor{#2563eb}{BC^2} \neq \textcolor{#1b7a40}{AB^2 + AC^2}\), alors le triangle ABC n'est pas rectangle.
✏️ Exemple – Méthode
Le triangle KJI a pour côtés KJ = 5 cm, JI = 6 cm et KI = 8 cm. Est-il rectangle ?
K J I KJ = 5 cm JI = 6 cm KI = 8 cm
On a : KJ = 5 cm  ;  JI = 6 cm  ;  KI = 8 cm
         Le plus grand côté est KI = 8 cm.
Gauche
Grand côté²\(KI^2 = 8^2\)
\(= \textcolor{#1a6fa0}{64}\)
Droite
Somme carrés\(KJ^2 + JI^2 = 5^2 + 6^2\)
\(= 25 + 36 = \textcolor{#1b7a40}{61}\)
Or : Gauche \(\neq\) Droite, donc \(KI^2 \neq KJ^2 + JI^2\)
Donc : D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle KJI n'est pas rectangle.
🧩 Exercice
Un triangle a pour côtés 5 cm, 8 cm et 10 cm. Est-il rectangle ?
On a : Les trois côtés mesurent 5 cm, 8 cm et 10 cm.
         Le plus grand côté est 10 cm.
Gauche
Grand côté²\(10^2 = \textcolor{#1a6fa0}{100}\)
Droite
Somme carrés\(5^2 + 8^2 = 25 + 64 = \textcolor{#1b7a40}{89}\)
Or : \(100 \neq 89\), donc Gauche \(\neq\) Droite
Donc : D'après la contraposée du théorème de Pythagore, ce triangle n'est pas rectangle.
II. Montrer qu'un triangle est rectangle
📗 Réciproque du théorème de Pythagore

Dans un triangle, si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. L'angle droit est l'angle opposé au plus grand côté.

Dans le triangle ABC où BC est le plus grand côté :
Si \(\textcolor{#2563eb}{BC^2} = \textcolor{#1b7a40}{AB^2 + AC^2}\), alors le triangle ABC est rectangle en A.
✏️ Exemple – Méthode
Le triangle SUT a pour côtés SU = 9 cm, UT = 12 cm et ST = 15 cm. Est-il rectangle ?
S U T SU = 9 cm UT = 12 cm ST = 15 cm
On a : SU = 9 cm  ;  UT = 12 cm  ;  ST = 15 cm
         Le plus grand côté est ST = 15 cm.
Gauche
Grand côté²\(ST^2 = 15^2\)
\(= \textcolor{#1a6fa0}{225}\)
Droite
Somme carrés\(SU^2 + UT^2 = 9^2 + 12^2\)
\(= 81 + 144 = \textcolor{#1b7a40}{225}\)
Or : Gauche \(=\) Droite, donc \(ST^2 = SU^2 + UT^2\)
Donc : D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle SUT est rectangle en U (angle droit opposé à ST).
🧩 Exercice
Un triangle a pour côtés 8 cm, 15 cm et 17 cm. Est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet est l'angle droit ?
On a : Les trois côtés mesurent 8 cm, 15 cm et 17 cm.
         Le plus grand côté est 17 cm.
Gauche
Grand côté²\(17^2 = \textcolor{#1a6fa0}{289}\)
Droite
Somme carrés\(8^2 + 15^2 = 64 + 225 = \textcolor{#1b7a40}{289}\)
Or : \(289 = 289\), donc Gauche \(=\) Droite
Donc : D'après la réciproque du théorème de Pythagore, ce triangle est rectangle. L'angle droit est l'angle opposé au côté de 17 cm.
III. Récapitulatif des 2 méthodes
📗 Les 2 situations
Situation Ce qu'on calcule Résultat
🟠 Contraposée Grand côté² \(\neq\) Somme des deux autres² → triangle pas rectangle
🟢 Réciproque Grand côté² \(=\) Somme des deux autres² → triangle est rectangle
📝 Mémo : Dans les deux cas, on commence toujours par identifier le plus grand côté, puis on compare le carré de ce côté avec la somme des carrés des deux autres.
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