Équations 4ème : cours et exercices corrigés

I. Définitions

📘 Définition 1 — Inconnue

Une inconnue est une lettre qui désigne un nombre inconnu.

💡 Remarque

On utilisera en général la lettre \(x\) pour désigner une inconnue, mais il est possible d'utiliser d'autres lettres.

📘 Définition 2 — Équation

Une équation est une égalité qui comporte au moins une inconnue. Cette égalité peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres.

📘 Définition 3 — Solution

Une solution d'une équation est une valeur de l'inconnue pour laquelle l'égalité est vraie.

II. Tester si une valeur est solution

📋 Méthode

Pour tester si un nombre est solution d'une équation d'inconnue \(x\) :

1On calcule le membre de gauche en remplaçant \(x\) par cette valeur
2On calcule le membre de droite en remplaçant \(x\) par cette valeur
3On compare les deux résultats et on conclut

✏️ Exemple

Tester si \(8\) est solution des équations suivantes :

Équation 1 : \(3x + 2 = 4x - 5\)

Équation 2 : \(8x - 1 = 4x + 31\)

Équation 1 : \(3x + 2 = 4x - 5\)

Membre gauche

\(3 \times 8 + 2\)

\(= 24 + 2\)

\(= \mathbf{26}\)

Membre droit

\(4 \times 8 - 5\)

\(= 32 - 5\)

\(= \mathbf{27}\)

✗ Conclusion \(26 \neq 27\), donc 8 n'est pas solution de l'équation \(3x + 2 = 4x - 5\).

Équation 2 : \(8x - 1 = 4x + 31\)

Membre gauche

\(8 \times 8 - 1\)

\(= 64 - 1\)

\(= \mathbf{63}\)

Membre droit

\(4 \times 8 + 31\)

\(= 32 + 31\)

\(= \mathbf{63}\)

✓ Conclusion \(63 = 63\), donc 8 est bien solution de l'équation \(8x - 1 = 4x + 31\).

III. Résoudre une équation

📘 Définition

Résoudre une équation, c'est trouver toutes les solutions de cette équation.

💡 Remarque

Une équation peut ne pas avoir de solution.

📗 Propriété

Une égalité reste vraie lorsque l'on ajoute (ou soustrait) un même nombre à chacun de ses membres.

Si \(c = d\), alors \(c + k = d + k\) et \(c - k = d - k\)

✏️ Exemples — Addition / Soustraction

Résoudre les équations suivantes :

(a) \(x + 5{,}4 = 2{,}6\)

On veut isoler \(x\). Il faut supprimer le \(+5{,}4\) en soustrayant \(5{,}4\) des deux membres.

\(x \;+\;\) \(5{,}4\) \(\;=\; 2{,}6\)

\(-5{,}4\)

\(x \;=\; 2{,}6 \;-\; 5{,}4\)

\(x \;=\; -2{,}8\)

La solution est \(x = -2{,}8\)

✅ Vérification : \(-2{,}8 + 5{,}4 = 2{,}6\) ✓

(b) \(3x = 2x + 5\)

On regroupe les termes en \(x\) en soustrayant \(2x\) des deux membres.

\(3x \;=\;\) \(2x\) \(\;+\; 5\)

\(-2x\)

\(x \;=\; 5\)

La solution est \(x = 5\)

✅ Vérification : \(3 \times 5 = 15\) et \(2 \times 5 + 5 = 15\) ✓

📗 Propriété

Une égalité reste vraie lorsque l'on multiplie (ou divise) chacun de ses membres par un même nombre non nul.

Si \(c = d\), alors \(c \times k = d \times k\) et \(c \div k = d \div k\)

✏️ Exemples — Multiplication / Division

Résoudre les équations suivantes :

(a) \(2x = 5\)

On divise les deux membres par \(2\) pour isoler \(x\).

\(2\)\(x \;=\; 5\)

\(\div 2\)

\(x \;=\; \dfrac{5}{2} \;=\; 2{,}5\)

La solution est \(x = 2{,}5\)

✅ Vérification : \(2 \times 2{,}5 = 5\) ✓

(b) \(\dfrac{x}{4} = 8\)

On multiplie les deux membres par \(4\) pour isoler \(x\).

x4 \(\;=\; 8\)

\(\times 4\)

\(x \;=\; 8 \times 4 \;=\; 32\)

La solution est \(x = 32\)

✅ Vérification : \(\dfrac{32}{4} = 8\) ✓

Équations combinées

💡 Méthode générale

Pour résoudre une équation du type \(ax + b = cx + d\) :

1Regrouper les termes en \(x\) d'un même côté (en ajoutant/soustrayant)
2Regrouper les nombres de l'autre côté
3Diviser les deux membres par le coefficient de \(x\)

✏️ Exemples — Équations combinées

(a) \(4x + 2 = 2x - 3\)

\(4x \;+\; 2 \;=\;\) \(2x\) \(\;-\; 3\)

\(-2x\)

\(2x \;+\;\) \(2\) \(\;=\; -3\)

\(-2\)

\(2\)\(x \;=\; -5\)

\(\div 2\)

\(x \;=\; -\dfrac{5}{2} \;=\; -2{,}5\)

La solution est \(x = -2{,}5\)

✅ Vérif. : gauche : \(4\times(-2{,}5)+2 = -8\) | droite : \(2\times(-2{,}5)-3 = -8\) ✓

(b) \(5x - 3 = -2x + 5\)

\(5x \;-\; 3 \;=\;\) \(-2x\) \(\;+\; 5\)

\(+2x\)

\(7x \;-\;\) \(3\) \(\;=\; 5\)

\(+3\)

\(7\)\(x \;=\; 8\)

\(\div 7\)

\(x \;=\; \dfrac{8}{7} \;\approx\; 1{,}14\)

La solution est \(x = \dfrac{8}{7}\)

✅ Vérif. : gauche : \(5\times\tfrac{8}{7}-3=\tfrac{40}{7}-\tfrac{21}{7}=\tfrac{19}{7}\) | droite : \(-2\times\tfrac{8}{7}+5=-\tfrac{16}{7}+\tfrac{35}{7}=\tfrac{19}{7}\) ✓

IV. Modéliser une situation

📋 Méthode

Pour modéliser une situation à l'aide d'une équation :

1On choisit l'inconnue \(x\) en fonction de ce que l'on cherche
2On traduit les données du problème par une équation
3On résout l'équation
4On interprète le résultat (réponse dans le contexte du problème)

✏️ Exemple

Léa a acheté 19 bonbons de 3 parfums différents : à la fraise, à la réglisse et à la menthe. Elle constate qu'elle a 4 bonbons à la menthe, et deux fois plus de bonbons à la réglisse que de bonbons à la fraise. Combien a-t-elle de bonbons à la fraise ?

Étape 1 — Inconnue : On pose \(x\) = nombre de bonbons à la fraise.

Étape 2 — Traduction :
• Bonbons à la fraise : \(x\)
• Bonbons à la réglisse : \(2x\) (deux fois plus)
• Bonbons à la menthe : \(4\)
• Total : \(x + 2x + 4 = 19\)

Étape 3 — Résolution :

\(3x \;+\;\) \(4\) \(\;=\; 19\)

\(-4\)

\(3\)\(x \;=\; 15\)

\(\div 3\)

\(x \;=\; 5\)

La solution est \(x = 5\)

Étape 4 — Interprétation :

\(x = 5\) donc Léa a 5 bonbons à la fraise, \(2 \times 5 = 10\) bonbons à la réglisse et 4 à la menthe.

Vérification : \(5 + 10 + 4 = 19\) bonbons au total. ✓

🧩 Exercice

Dans une classe, il y a 32 élèves. Le nombre de filles est le double du nombre de garçons. Combien y a-t-il de garçons dans cette classe ?

Inconnue : \(x\) = nombre de garçons

Traduction : filles = \(2x\), total = \(x + 2x = 32\)

\(3\)\(x \;=\; 32\)

\(\div 3\)

\(x \;=\; \dfrac{32}{3} \;\approx\; 10{,}67\)

⚠️ Comme \(\frac{32}{3}\) n'est pas un entier, cet énoncé n'a pas de solution entière. Si l'énoncé disait 33 élèves, on aurait \(x = 11\) garçons et \(22\) filles.