📐 Réciproque & contraposée de Thalès

Feuille d'exercices n°1 — Montrer que deux droites sont parallèles… ou non · Correction interactive

📐 Progression
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📚 Ce qu'il faut savoir
Réciproque du théorème de Thalès

Si les points A,M,BA, M, B et A,N,CA, N, C sont alignés dans le même ordre et si ABAM=ACAN\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AN}, alors les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) sont parallèles.

Contraposée du théorème de Thalès

Si les points sont alignés et si ABAM≠ACAN\dfrac{AB}{AM}\neq\dfrac{AC}{AN}, alors les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) ne sont pas parallèles.

La rédaction — On a : on écrit les alignements et on calcule les deux quotients (Gauche et Droite ; le Milieu n'est pas calculable). Or : on compare les deux quotients. Donc : on conclut avec la réciproque (égaux → parallèles) ou la contraposée (différents → non parallèles).

Exercice 1Triangle

✓ Vu
On considère la figure ci-dessous. Les longueurs sont données en centimètres.
Figure de l'exercice 1
1
Les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) sont-elles parallèles ? Justifier la réponse.
Retrouve d'abord AB=AM+MBAB=AM+MB et AC=AN+NCAC=AN+NC à partir de la figure.
Calcule les deux quotients ABAM\dfrac{AB}{AM} et ACAN\dfrac{AC}{AN}.
Les points sont alignés dans le même ordre : compare les deux quotients, puis conclus.
On a : Les points A,M,BA, M, B d'une part et A,N,CA, N, C d'autre part sont alignés dans le même ordre. De plus AB=AM+MB=3+4,5=7,5AB=AM+MB=3+4{,}5=7{,}5 cm et AC=AN+NC=4+6=10AC=AN+NC=4+6=10 cm.
Gauche
ABAM=7,53=2,5\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{7{,}5}{3}=2{,}5
Milieu
BCMN\dfrac{BC}{MN}
non calculable
Droite
ACAN=104=2,5\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{10}{4}=2{,}5
Or : ABAM=ACAN\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AN} (car 2,5=2,52{,}5=2{,}5).
Donc : d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) sont parallèles.

Exercice 2Configuration papillon

✓ Vu
Les droites (BM)(BM) et (CN)(CN) se coupent au point AA. On donne : AB=5AB=5 cm, AM=8AM=8 cm, AC=3AC=3 cm et AN=4AN=4 cm.
Figure de l'exercice 2
1
Les droites (BC)(BC) et (MN)(MN) sont-elles parallèles ? Justifier la réponse.
En configuration « papillon », compare AMAB\dfrac{AM}{AB} et ANAC\dfrac{AN}{AC}.
Les points B,A,MB, A, M sont alignés sur une droite, et C,A,NC, A, N sur l'autre.
Si les deux quotients sont différents, que peut-on conclure ?
On a : Les points B,A,MB, A, M d'une part et C,A,NC, A, N d'autre part sont alignés. On donne AB=5AB=5 cm, AM=8AM=8 cm, AC=3AC=3 cm et AN=4AN=4 cm.
Gauche
AMAB=85=1,6\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{8}{5}=1{,}6
Milieu
MNBC\dfrac{MN}{BC}
non calculable
Droite
ANAC=43≈1,33\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{4}{3}\approx1{,}33
Or : AMAB≠ANAC\dfrac{AM}{AB}\neq\dfrac{AN}{AC} (car 1,6≠1,331{,}6\neq1{,}33).
Donc : d'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (BC)(BC) et (MN)(MN) ne sont pas parallèles.

Exercice 3Configuration papillon

✓ Vu
Pour consolider une structure métallique, un soudeur assemble quatre barres [AB][AB], [AC][AC], [AM][AM] et [AN][AN] qui se croisent au point AA, comme sur le schéma ci-contre (longueurs en centimètres).
Figure de l'exercice 3
1
Les barres (BC)(BC) et (MN)(MN) sont-elles parallèles ? Justifier par le calcul.
2
Le soudeur affirme : « Si j'allonge la barre [AM][AM] jusqu'à AM=10AM=10 cm sans rien changer d'autre, les barres (BC)(BC) et (MN)(MN) resteront parallèles. » A-t-il raison ? Justifier.
Question 1 : compare AMAB\dfrac{AM}{AB} et ANAC\dfrac{AN}{AC}.
Question 2 : recalcule seulement AMAB\dfrac{AM}{AB} avec AM=10AM=10, puis compare de nouveau.
1) Les barres (BC) et (MN) sont-elles parallèles ?
On a : Les points B,A,MB, A, M et C,A,NC, A, N sont alignés. On a AB=6AB=6 cm, AM=9AM=9 cm, AC=4AC=4 cm et AN=6AN=6 cm.
Gauche
AMAB=96=1,5\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{9}{6}=1{,}5
Milieu
MNBC\dfrac{MN}{BC}
non calculable
Droite
ANAC=64=1,5\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{6}{4}=1{,}5
Or : AMAB=ANAC\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC} (car 1,5=1,51{,}5=1{,}5).
Donc : d'après la réciproque du théorème de Thalès, les barres (BC)(BC) et (MN)(MN) sont parallèles.
2) Le soudeur a-t-il raison ?
On a : On remplace seulement AMAM par 1010 cm (le reste est inchangé).
Gauche
AMAB=106≈1,67\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{10}{6}\approx1{,}67
Milieu
MNBC\dfrac{MN}{BC}
non calculable
Droite
ANAC=64=1,5\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{6}{4}=1{,}5
Or : AMAB≠ANAC\dfrac{AM}{AB}\neq\dfrac{AN}{AC} (car 1,67≠1,51{,}67\neq1{,}5).
Donc : d'après la contraposée du théorème de Thalès, les barres (BC)(BC) et (MN)(MN) ne seraient plus parallèles : le soudeur a tort.

Exercice 4Triangle

✓ Vu
Un jardinier dessine le plan d'un parterre triangulaire ABCABC. Il place un point MM sur le côté [AB][AB] et un point NN sur le côté [AC][AC] pour tracer une bordure [MN][MN]. Sur son plan : AB=12AB=12 m, AM=8AM=8 m, AC=9AC=9 m et AN=5AN=5 m.
Figure de l'exercice 4
1
Les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) sont-elles parallèles ? Justifier la réponse.
2
Le jardinier décide de déplacer le point NN. À quelle distance ANAN doit-il le placer pour que les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) soient parallèles ? Justifier.
Question 1 : compare ABAM\dfrac{AB}{AM} et ACAN\dfrac{AC}{AN}.
Question 2 : pour (MN)∥(BC)(MN)\parallel(BC), il faut ACAN=ABAM\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{AB}{AM}. Cherche ANAN.
1) Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
On a : Les points A,M,BA, M, B et A,N,CA, N, C sont alignés dans le même ordre. On a AB=12AB=12 m, AM=8AM=8 m, AC=9AC=9 m et AN=5AN=5 m.
Gauche
ABAM=128=1,5\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{12}{8}=1{,}5
Milieu
BCMN\dfrac{BC}{MN}
non calculable
Droite
ACAN=95=1,8\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{9}{5}=1{,}8
Or : ABAM≠ACAN\dfrac{AB}{AM}\neq\dfrac{AC}{AN} (car 1,5≠1,81{,}5\neq1{,}8).
Donc : d'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) ne sont pas parallèles.
2) Où placer le point N ?
On a : Pour que (MN)∥(BC)(MN)\parallel(BC), les points étant alignés, il faut ACAN=ABAM\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{AB}{AM} (réciproque de Thalès).
Or : ABAM=128=1,5\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{12}{8}=1{,}5, donc 9AN=1,5\dfrac{9}{AN}=1{,}5, c'est-à-dire AN=91,5=6AN=\dfrac{9}{1{,}5}=6.
Donc : le jardinier doit placer NN à 66 m de AA.
🎉
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⭐⭐⭐

Tu as consulté toutes les corrections. Refais les exercices seul(e) en rédigeant « On a / Or / Donc » : les alignements, les deux quotients, la comparaison, puis la conclusion.

✓ 4 exercices 📐 Thalès
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