📐 Pythagore & Thalès

Feuille d'exercices n°2 — Quatre problèmes qui combinent plusieurs théorèmes · Correction interactive

📐 Progression
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📚 Ce qu'il faut savoir
Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. 👉 pour calculer une longueur.

Réciproque / contraposée de Pythagore

On compare BC2BC^2 (plus grand côté) à AB2+AC2AB^2+AC^2 : égaux → triangle rectangle ; différents → non rectangle. 👉 pour prouver (ou non) un angle droit.

Thalès & sa réciproque — Avec des points alignés et (MN)∥(BC)(MN)\parallel(BC), on a AMAB=ANAC=MNBC\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC} (calcul de longueur). La réciproque / contraposée servent à prouver le parallélisme (ou non).
Sans théorème — Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.
On rédige toujours en trois temps — On a (les données / hypothèses) · Or (le théorème ou la comparaison) · Donc (la conclusion).

Problème 1Toboggan

✓ Vu
Un toboggan est représenté ci-dessous. Le sol [AB][AB] est horizontal et l'échelle [BC][BC] est verticale. La glissière est le segment [AC][AC]. Une barre de sécurité [MN][MN] est plantée verticalement au point MM (dimensions en mètres).
Figure de l'exercice 1
1
Justifier que les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) sont parallèles.
2
Calculer la longueur ACAC de la glissière. Arrondir au centimètre si nécessaire.
3
Calculer la hauteur MNMN de la barre de sécurité.
Question 1 : (MN)(MN) et (BC)(BC) sont perpendiculaires à la même droite (angles droits codés).
Question 2 : le triangle ABCABC est rectangle en BB → Pythagore (avec AB=AM+MBAB=AM+MB).
Question 3 : points alignés et (MN)∥(BC)(MN)\parallel(BC) → théorème de Thalès.
1) (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
On a : sur la figure, (MN)⊥(AB)(MN)\perp(AB) et (BC)⊥(AB)(BC)\perp(AB).
Or : si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.
Donc : les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) sont parallèles.
2) Longueur AC de la glissière
On a : le triangle ABCABC est rectangle en BB, avec AB=AM+MB=6AB=AM+MB=6 m et BC=4,5BC=4{,}5 m.
Or : d'après le théorème de Pythagore : AC2=AB2+BC2=62+4,52=36+20,25=56,25AC^2=AB^2+BC^2=6^2+4{,}5^2=36+20{,}25=56{,}25, donc AC=56,25=7,5AC=\sqrt{56{,}25}=7{,}5 m.
Donc : la glissière mesure 7,57{,}5 m.
3) Hauteur MN de la barre
On a : les points A,M,BA, M, B et A,N,CA, N, C sont alignés, et (MN)∥(BC)(MN)\parallel(BC).
Or : d'après le théorème de Thalès : AMAB=MNBC\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}, donc MN=BC×AMAB=4,5×46=3MN=\dfrac{BC\times AM}{AB}=\dfrac{4{,}5\times4}{6}=3 m.
Donc : la barre de sécurité mesure 33 m.

Problème 2Terrain

✓ Vu
Un géomètre relève un terrain triangulaire ABCABC. Il y trace une allée rectiligne [MN][MN], avec MM sur [AB][AB] et NN sur [AC][AC], telle que les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) soient parallèles (dimensions en mètres).
Figure de l'exercice 2
1
Montrer que le terrain ABCABC est un triangle rectangle, et préciser en quel sommet.
2
Calculer la distance ANAN.
3
Calculer la longueur MNMN de l'allée.
Question 1 : réciproque de Pythagore. Le plus grand côté est [BC][BC] : compare BC2BC^2 et AB2+AC2AB^2+AC^2.
Questions 2 et 3 : (MN)∥(BC)(MN)\parallel(BC) et points alignés → Thalès (avec AB=AM+MBAB=AM+MB).
1) Le terrain ABC est-il rectangle ?
On a : [BC][BC] est le plus grand côté, avec BC=15BC=15 m, AB=9AB=9 m et AC=12AC=12 m.
Or : BC2=152=225BC^2=15^2=225 et AB2+AC2=92+122=81+144=225AB^2+AC^2=9^2+12^2=81+144=225 : on a bien BC2=AB2+AC2BC^2=AB^2+AC^2.
Donc : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABCABC est rectangle en AA.
2) Distance AN
On a : AB=AM+MB=9AB=AM+MB=9 m ; les points sont alignés et (MN)∥(BC)(MN)\parallel(BC).
Or : d'après le théorème de Thalès : AMAB=ANAC\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}, donc AN=AC×AMAB=12×69=8AN=\dfrac{AC\times AM}{AB}=\dfrac{12\times6}{9}=8 m.
Donc : ANAN mesure 88 m.
3) Longueur MN de l'allée
On a : (MN)∥(BC)(MN)\parallel(BC) et les points sont alignés.
Or : d'après le théorème de Thalès : AMAB=MNBC\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}, donc MN=BC×AMAB=15×69=10MN=\dfrac{BC\times AM}{AB}=\dfrac{15\times6}{9}=10 m.
Donc : l'allée mesure 1010 m.

Problème 3Menuiserie

✓ Vu
Un menuisier fabrique un support en forme de triangle ABCABC rectangle en AA. Il y fixe une tige [MN][MN], avec MM sur [AB][AB] et NN sur [AC][AC]. Il voudrait que les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) soient parallèles (dimensions en centimètres).
Figure de l'exercice 3
1
Les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) sont-elles parallèles ? Justifier.
2
Calculer la longueur BCBC.
3
En déduire la longueur MNMN de la tige.
Question 1 : réciproque de Thalès. Retrouve AB=AM+MBAB=AM+MB et AC=AN+NCAC=AN+NC, puis compare ABAM\dfrac{AB}{AM} et ACAN\dfrac{AC}{AN}.
Question 2 : triangle rectangle en AA → Pythagore.
Question 3 : (MN)∥(BC)(MN)\parallel(BC) (question 1) → Thalès.
1) (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
On a : les points A,M,BA, M, B et A,N,CA, N, C sont alignés dans le même ordre. AB=AM+MB=4+6=10AB=AM+MB=4+6=10 cm et AC=AN+NC=3+4,5=7,5AC=AN+NC=3+4{,}5=7{,}5 cm.
Gauche
ABAM=104=2,5\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{10}{4}=2{,}5
Milieu
BCMN\dfrac{BC}{MN}
non calculable
Droite
ACAN=7,53=2,5\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{7{,}5}{3}=2{,}5
Or : ABAM=ACAN\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AN} (car 2,5=2,52{,}5=2{,}5).
Donc : d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) sont parallèles.
2) Longueur BC
On a : le triangle ABCABC est rectangle en AA, avec AB=10AB=10 cm et AC=7,5AC=7{,}5 cm.
Or : d'après le théorème de Pythagore : BC2=AB2+AC2=102+7,52=100+56,25=156,25BC^2=AB^2+AC^2=10^2+7{,}5^2=100+56{,}25=156{,}25, donc BC=156,25=12,5BC=\sqrt{156{,}25}=12{,}5 cm.
Donc : BCBC mesure 12,512{,}5 cm.
3) Longueur MN de la tige
On a : (MN)∥(BC)(MN)\parallel(BC) (question 1) et les points sont alignés.
Or : d'après le théorème de Thalès : AMAB=MNBC\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}, donc MN=BC×AMAB=12,5×410=5MN=\dfrac{BC\times AM}{AB}=\dfrac{12{,}5\times4}{10}=5 cm.
Donc : la tige mesure 55 cm.

Problème 4Papillon · Deux routes

✓ Vu
Deux routes rectilignes se croisent au point AA. Sur la première se trouvent les villages BB et MM, de part et d'autre de AA. Sur la seconde, les villages CC et NN. Les deux routes sont perpendiculaires en AA (distances en kilomètres).
Figure de l'exercice 4
1
Calculer la distance BCBC entre les villages BB et CC.
2
Les droites (BC)(BC) et (MN)(MN) sont-elles parallèles ? Justifier.
Question 1 : routes perpendiculaires en AA → triangle ABCABC rectangle en AA → Pythagore.
Question 2 : configuration « papillon ». Compare AMAB\dfrac{AM}{AB} et ANAC\dfrac{AN}{AC}.
1) Distance BC
On a : les routes sont perpendiculaires en AA, donc le triangle ABCABC est rectangle en AA, avec AB=6AB=6 km et AC=8AC=8 km.
Or : d'après le théorème de Pythagore : BC2=AB2+AC2=62+82=36+64=100BC^2=AB^2+AC^2=6^2+8^2=36+64=100, donc BC=100=10BC=\sqrt{100}=10 km.
Donc : les villages BB et CC sont distants de 1010 km.
2) (BC) et (MN) sont-elles parallèles ?
On a : les points B,A,MB, A, M et C,A,NC, A, N sont alignés. AB=6AB=6 km, AM=9AM=9 km, AC=8AC=8 km et AN=10AN=10 km.
Gauche
AMAB=96=1,5\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{9}{6}=1{,}5
Milieu
MNBC\dfrac{MN}{BC}
non calculable
Droite
ANAC=108=1,25\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{10}{8}=1{,}25
Or : AMAB≠ANAC\dfrac{AM}{AB}\neq\dfrac{AN}{AC} (car 1,5≠1,251{,}5\neq1{,}25).
Donc : d'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (BC)(BC) et (MN)(MN) ne sont pas parallèles.
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Bravo, tu as tout vu !
⭐⭐⭐

Tu as consulté toutes les corrections. L'essentiel : choisir le bon théorème à chaque étape et rédiger « On a / Or / Donc ».

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