📐 Feuille d'exercices

Mélange de théorèmes – Correction interactive

4ème 3 exercices Pythagore · Thalès · Réciproques · Contraposées

📖 Ce qu'il faut savoir

Théorème de Pythagore
Si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse égale la somme des carrés des deux autres côtés.

Réciproque du théorème de Pythagore
Si le carré du plus grand côté = somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle.

Théorème de Thalès
Si (DE) ∥ (BC) et A est le sommet, alors les rapports AD/AB = AE/AC = DE/BC sont tous égaux.

Réciproque du théorème de Thalès
Si deux rapports de longueurs correspondants sont égaux, alors les droites associées sont parallèles.

Corrections vues :

0 / 3

Exercice 1 / 3

Réciproque et Contraposée du théorème de Thalès

✓ Vu

La figure n'est pas à l'échelle.

D'après le codage de la figure : ON = NS = 6 cm
On donne aussi : SU = 5 cm · UD = 6 cm

Les droites (NU) et (OD) sont-elles parallèles ?

💡 Indices – débloque-les un par un

Observe la figure : quel est le point commun aux deux droites (SN) et (SD) ? C'est lui qui sera le sommet dans ta configuration de Thalès.

Le sommet est S. Identifie les deux droites sécantes issues de S. Quelles longueurs te permettraient de former des rapports à comparer ?

Tu dois calculer et comparer les rapports SD/SU et SO/SN. Pour trouver SD et SO, sers-toi des données : que vaut SN d'après le codage ? Que vaut SD = SU + UD ?

Les droites (NU) et (OD) sont-elles parallèles ?

On a : S, N, O alignés (N entre S et O) · S, U, D alignés (U entre S et D)
SN = ON = 6 cm (codage) · SO = SN + NO = 6 + 6 = 12 cm
SU = 5 cm · SD = SU + UD = 5 + 6 = 11 cm

Gauche :
SDSU = 115 = 2,2

Milieu :
SOSN = 126 = 2

Droite :
ODNU
(non calculé)

Or : Gauche ≠ Milieu, donc SDSU ≠ SOSN

Donc, d'après la contraposée de la réciproque du théorème de Thalès, les droites (NU) et (OD) ne sont pas parallèles.

Exercice 2 / 3

Pythagore · Réciproque et Contraposée du théorème de Thalès

✓ Vu

Tracer un triangle CDE rectangle en D tel que CD = 6,8 cm et DE = 3,4 cm.

Calculer CE au dixième de centimètre près.

Placer le point F sur [CD] tel que CF = 2 cm.

Placer le point G sur [CE] tel que FG = 1 cm.

Les droites (FG) et (DE) sont-elles parallèles ?

💡 Indices – débloque-les un par un

Question 1b : le triangle CDE est rectangle. Quels sont ses deux côtés perpendiculaires ? Quel est donc le côté dont tu dois calculer la longueur en appliquant le théorème de Pythagore ?

Question 2c : C est le sommet commun. Tu as F sur [CD] et G sur [CE]. Quels rapports faut-il comparer pour décider si (FG) ∥ (DE) ?

Pour la question 2c, tu devras utiliser CG. Or G est sur [CE] et FG = 1 cm. Ce n'est pas CG directement : réfléchis à comment trouver CG à partir des données. Es-tu sûr de la position de G sur [CE] ?

Question 1a – Schéma du triangle CDE

Question 1b – Longueur CE

On a : Le triangle CDE est rectangle en D, donc CD ⊥ DE
L'hypoténuse est CE

Or : d'après le théorème de Pythagore

CE² = CD² + DE²

CE² = 6,8² + 3,4²

CE² = 46,24 + 11,56 = 57,80

CE = √57,80 ≈ 7,6 cm

Donc CE mesure environ 7,6 cm.

Question 2a et 2b – Schéma complété

Question 2c – Les droites (FG) et (DE) sont-elles parallèles ?

On a : C, F, D alignés · C, G, E alignés
CF = 2 cm · CD = 6,8 cm · FG = 1 cm · DE = 3,4 cm

Gauche :
CDCF = 6,82 = 3,4

Milieu :
DEFG = 3,41 = 3,4

Droite :
CECG
(non calculé)

Or : Gauche = Milieu, donc CDCF = DEFG

Donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (FG) et (DE) sont parallèles. ✓

Exercice 3 / 3

Théorème de Thalès · Théorème de Pythagore · Application concrète

✓ Vu

Les figures ne sont pas à l'échelle.

OC = 48 cm · OD = 64 cm · OB = 27 cm · OA = 36 cm · CD = 80 cm
Les droites (AC) et (CD) sont perpendiculaires.

Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Montrer par le calcul que AB = 45 cm.

Calculer la hauteur totale du meuble de rangement.

💡 Indices – débloque-les un par un

Question 1 : O est le point d'intersection des diagonales de la figure 2. Quels points sont alignés avec O ? Forme-t-on bien une configuration de Thalès ? Quels rapports faut-il calculer pour conclure ?

Question 2 : puisque (AB) ∥ (CD) et que O est le sommet commun, on peut appliquer le théorème de Thalès. Écris l'égalité des rapports, puis isole AB.
Question 3 : commence par trouver AC à l'aide du théorème de Pythagore dans un triangle rectangle, puis réfléchis à combien il y a d'étages.

Question 3 : le meuble a 4 étages de hauteur AC chacun, plus les plateaux en bois. Combien y a-t-il de plateaux au total (compte bien sur la figure 1) ? Quelle épaisseur a chacun ?

Question 1 – Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?

On a : C, O, B alignés (O entre C et B) · D, O, A alignés (O entre D et A)
OC = 48 cm · OB = 27 cm · OD = 64 cm · OA = 36 cm

Gauche :
COOB = 4827 = 169

Milieu :
DOOA = 6436 = 169

Droite :
CDAB
(non calculé)

Or : Gauche = Milieu, donc COOB = DOOA

Donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. ✓

Question 2 – Calculer AB

On a : (AB) ∥ (CD) · C, O, B alignés · D, O, A alignés

Or : d'après le théorème de Thalès

COOB = DOOA = CDAB

169 = 80AB

16 × AB = 80 × 9

AB = 80 × 9 ÷ 16 = 45 cm

Donc AB = 45 cm. ✓

Question 3 – Hauteur totale du meuble

On a : Le triangle ACD est rectangle en C (droites (AC) et (CD) perpendiculaires)
AC est inconnu · CD = 80 cm · AD = OA + OD = 36 + 64 = 100 cm

Or : d'après le théorème de Pythagore

AD² = AC² + CD²

100² = AC² + 80²

10 000 = AC² + 6 400

AC² = 10 000 − 6 400 = 3 600

AC = √3 600 = 60 cm

Or : La figure 1 montre 4 étages de hauteur AC et 5 plateaux de bois de 2 cm chacun

Hauteur des étages = 4 × AC = 4 × 60 = 240 cm

Épaisseur des plateaux = 5 × 2 = 10 cm

Hauteur totale = 240 + 10 = 250 cm

Donc la hauteur totale du meuble de rangement est 250 cm.