Théorème de Thalès – Partie 2 (Leçon)

I. Contraposée du théorème de Thalès

📙 Théorème (contraposée)

Si les points $A, B, M$ d'une part et $A, C, N$ d'autre part sont alignés dans le même ordre, et si

\dfrac{AM}{AB} \neq \dfrac{AN}{AC}

alors les droites $(BC)$ et $(MN)$ ne sont pas parallèles.

💡 Remarque

Pour conclure, il suffit de comparer deux quotients. S'ils sont égaux, les droites sont parallèles ; s'ils sont différents, elles ne le sont pas.

✏️ Exemple

Dans la figure ci-contre, on a

AB=4

cm,

AD=7{,}2

cm,

AC=4{,}4

cm et

AE=8{,}8

cm.
Les droites

(BC)

et

(DE)

sont-elles parallèles ?

Petit triangle ABCGrand triangle ADE

On a : les points

A, B, D

d'une part et

A, C, E

d'autre part sont alignés dans le même ordre. De plus

AB=4

cm,

AD=7{,}2

cm,

AC=4{,}4

cm et

AE=8{,}8

cm.

Gauche

\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{7{,}2}{4}=1{,}8

Milieu

\dfrac{DE}{BC}

non calculable

Droite

\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{8{,}8}{4{,}4}=2

Or :

\dfrac{AD}{AB}\neq\dfrac{AE}{AC}

(car

1{,}8\neq2

).

Donc : d'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites

(BC)

et

(DE)

ne sont pas parallèles.

II. Réciproque du théorème de Thalès

📗 Théorème (réciproque)

Si les points $A, B, M$ d'une part et $A, C, N$ d'autre part sont alignés dans le même ordre, et si

\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}

alors les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles.

✏️ Exemple

Dans la figure ci-contre, on a

AB=3{,}6

cm,

CD=7{,}2

cm,

AE=4{,}4

cm et

DE=8{,}8

cm.
Les droites

(BA)

et

(DC)

sont-elles parallèles ?

Petit triangle EABGrand triangle ECD

On a : les points

A, E, D

d'une part et

B, E, C

d'autre part sont alignés dans le même ordre. De plus

EA=4{,}4

cm,

ED=8{,}8

cm,

AB=3{,}6

cm et

DC=7{,}2

cm.

Gauche

\dfrac{ED}{EA}=\dfrac{8{,}8}{4{,}4}=2

Milieu

\dfrac{EC}{EB}

non calculable

Droite

\dfrac{DC}{AB}=\dfrac{7{,}2}{3{,}6}=2

Or :

\dfrac{ED}{EA}=\dfrac{DC}{AB}

(car

2=2

).

Donc : d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites

(BA)

et

(DC)

sont parallèles.

III. Récapitulatif

📗 Les deux situations

Situation	Condition	Conclusion
Contraposée	$\dfrac{AM}{AB} \neq \dfrac{AN}{AC}$	$(BC)$ et $(MN)$ non parallèles
Réciproque	$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$	$(BC)$ et $(MN)$ parallèles

📝 À retenir : on calcule uniquement deux quotients et on les compare. On vérifie toujours que les points sont alignés dans le même ordre sur chaque droite. On rédige en trois temps : On a (les données) · Or (le calcul des quotients) · Donc (la conclusion).