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Probabilités (2) — Utiliser le vocabulaire · Correction interactive

📊 Progression
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📚 Ce qu'il faut savoir
Les mots à connaître

Une issue est un résultat possible de l'expérience.

Un événement est un ou plusieurs résultats qui nous intéressent ; on le désigne par une lettre, par exemple \(A\).

On note \(P(A)\) la probabilité de l'événement \(A\).

L'événement contraire

L'événement contraire de \(A\), noté \(\overline{A}\), se réalise quand \(A\) ne se réalise pas.

\(P(A)+P(\overline{A})=1\)

donc \(P(\overline{A})=1-P(A)\).

Trois repères — Un événement certain a pour probabilité 1 ; un événement impossible a pour probabilité 0 ; et la somme des probabilités de toutes les issues vaut toujours 1.  Au passage : ce que vous calculiez à la fiche 1 en comptant « les cas qui ne conviennent pas » porte maintenant un nom — c'est l'événement contraire.

Exercice 1Vocabulaire & notation

✓ Vu

On lance un dé équilibré à six faces. On considère les événements :

\(A\) : « obtenir le nombre 4 »
\(B\) : « obtenir un nombre pair »
\(C\) : « obtenir un nombre supérieur à 6 »
\(D\) : « obtenir un nombre compris entre 1 et 6 »
1
Donner toutes les issues de cette expérience.
2
Calculer \(P(A)\) et \(P(B)\).
3
Parmi \(C\) et \(D\), lequel est un événement certain ? lequel est un événement impossible ? Donner leur probabilité.
4
Décrire par une phrase l'événement contraire \(\overline{B}\), puis calculer \(P(\overline{B})\).
Les issues sont les 6 résultats possibles du dé.
Un événement certain se produit à tous les coups ; un événement impossible ne se produit jamais.
Q4 : tu peux utiliser \(P(\overline{B})=1-P(B)\), puis vérifier en comptant.
1) Les issues
Les issues sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 — soit 6 issues, toutes équiprobables.
2) \(P(A)\) et \(P(B)\)
\(P(A)=\dfrac{1}{6}\) (1 face porte le 4)
\(P(B)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\) (faces 2, 4, 6)
3) Certain ? Impossible ?
\(C\) « supérieur à 6 » : aucune issue ne convient → événement impossible, \(P(C)=0\).
\(D\) « entre 1 et 6 » : toutes les issues conviennent → événement certain, \(P(D)=1\).
4) L'événement contraire \(\overline{B}\)
\(\overline{B}\) : « obtenir un nombre impair ».
\(P(\overline{B})=1-P(B)=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\)
Vérification en comptant : faces impaires 1, 3, 5 → \(\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\). ✓
\(P(\overline{B})=\dfrac{1}{2}\)

Exercice 2Événement contraire

✓ Vu

Dans une loterie, la probabilité de gagner un lot est \(P(L)=\dfrac{7}{20}\), où :

\(L\) : « gagner un lot »
1
Décrire par une phrase l'événement contraire \(\overline{L}\).
2
Calculer \(P(\overline{L})\) à l'aide d'une formule.
3
Sur une autre loterie, la probabilité de gagner est \(0{,}25\). Quelle est la probabilité de ne rien gagner ?
\(\overline{L}\) se réalise exactement quand \(L\) ne se réalise pas.
Utilise \(P(\overline{L})=1-P(L)\). Pour la Q3, \(1=\dfrac{20}{20}\) ou \(1=1{,}00\) selon l'écriture.
1) L'événement contraire
\(\overline{L}\) : « ne pas gagner de lot » (c'est-à-dire perdre).
2) \(P(\overline{L})\)
\(P(\overline{L})=1-P(L)=\dfrac{20}{20}-\dfrac{7}{20}=\dfrac{13}{20}\)
\(P(\overline{L})=\dfrac{13}{20}\)
3) Autre loterie
\(P(\text{ne rien gagner})=1-0{,}25=0{,}75\)
\(P(\overline{L})=0{,}75\)

Exercice 3Deux méthodes

✓ Vu

Un sac contient 50 jetons identiques au toucher : 7 jetons gagnants, les autres perdants. On tire un jeton au hasard.

\(G\) : « le jeton est gagnant »
1
Calculer \(P(G)\).
2
Décrire l'événement contraire \(\overline{G}\).
3
Calculer \(P(\overline{G})\) de deux façons : d'abord en comptant les jetons, puis à l'aide de la formule. Vérifier que l'on trouve le même résultat.
Combien de jetons sont perdants ? (50 au total, 7 gagnants.)
La formule \(P(\overline{G})=1-P(G)\) évite de recompter tous les perdants.
1) \(P(G)\)
7 jetons gagnants sur 50 → \(P(G)=\dfrac{7}{50}\)
2) L'événement contraire
\(\overline{G}\) : « le jeton est perdant ».
3) \(P(\overline{G})\) de deux façons
En comptant : il y a \(50-7=43\) jetons perdants → \(P(\overline{G})=\dfrac{43}{50}\).
Avec la formule : \(P(\overline{G})=1-P(G)=\dfrac{50}{50}-\dfrac{7}{50}=\dfrac{43}{50}\).
Le bon réflexe : les deux méthodes donnent \(\dfrac{43}{50}\). Mais la formule est bien plus rapide dès qu'il y a beaucoup de cas à recompter.
\(P(\overline{G})=\dfrac{43}{50}\)

Exercice 4Somme = 1

✓ Vu

Une roue truquée est partagée en secteurs de trois couleurs, de tailles différentes. On connaît :

\(P(\text{rouge})=0{,}5\)  ;  \(P(\text{bleu})=0{,}2\)  ;  \(P(\text{vert})= \;?\)
1
Expliquer pourquoi \(P(\text{rouge})+P(\text{bleu})+P(\text{vert})=1\).
2
Calculer \(P(\text{vert})\).
3
On considère l'événement \(V\) : « obtenir vert ». Décrire \(\overline{V}\), puis calculer \(P(\overline{V})\).
La somme des probabilités de toutes les issues vaut toujours 1.
Q3 : \(\overline{V}\) (« ne pas obtenir vert ») se calcule avec la formule, ou en ajoutant rouge et bleu.
1) Pourquoi la somme vaut 1
À chaque tour, la roue s'arrête forcément sur l'une des trois couleurs : la somme des probabilités de toutes les issues est égale à 1.
2) \(P(\text{vert})\)
\(P(\text{vert})=1-0{,}5-0{,}2=0{,}3\)
\(P(\text{vert})=0{,}3\)
3) L'événement contraire de \(V\)
\(\overline{V}\) : « obtenir rouge ou bleu » (tout sauf vert).
\(P(\overline{V})=1-P(\text{vert})=1-0{,}3=0{,}7\)
On retrouve bien \(0{,}5+0{,}2=0{,}7\), car les couleurs ne peuvent pas sortir en même temps.
\(P(\overline{V})=0{,}7\)

Exercice 5Problème

✓ Vu

Dans une tombola, 200 billets sont vendus : 1 gros lot, 9 lots moyens et 40 petits lots ; les autres billets sont perdants. On achète un billet au hasard.

1
Calculer la probabilité d'obtenir un gros lot, puis un lot moyen, puis un petit lot.
2
On considère l'événement \(R\) : « le billet est gagnant ». Calculer \(P(R)\).
3
Décrire l'événement contraire \(\overline{R}\), puis calculer \(P(\overline{R})\) de deux façons.
4
L'organisateur affirme : « Plus d'un billet sur deux est gagnant. » A-t-il raison ?
Il y a 200 billets, tous avec la même chance d'être tirés.
Q2 : un billet gagnant, c'est un gros lot, un lot moyen ou un petit lot : compte-les tous.
Q4 : « plus d'un billet sur deux » correspond à une probabilité supérieure à \(\dfrac{1}{2}\) (soit 0,5).
Avant de commencer : 200 billets, tous avec la même chance → 200 issues équiprobables.
1) Chaque type de lot
\(P(\text{gros lot})=\dfrac{1}{200}\)
\(P(\text{lot moyen})=\dfrac{9}{200}\)
\(P(\text{petit lot})=\dfrac{40}{200}=\dfrac{1}{5}\)
2) \(P(R)\) : billet gagnant
Billets gagnants : \(1+9+40=50\) → \(P(R)=\dfrac{50}{200}=\dfrac{1}{4}\)
\(P(R)=\dfrac{1}{4}=0{,}25\)
3) \(\overline{R}\) : billet perdant
En comptant : \(200-50=150\) perdants → \(P(\overline{R})=\dfrac{150}{200}=\dfrac{3}{4}\).
Avec la formule : \(P(\overline{R})=1-P(R)=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\).
\(P(\overline{R})=\dfrac{3}{4}\)
4) L'organisateur a-t-il raison ?
\(P(R)=\dfrac{1}{4}=0{,}25\), et \(0{,}25<0{,}5\).
L'organisateur a tort : moins d'un billet sur quatre est gagnant, donc bien moins d'un sur deux.
🎉
Bravo, tu as tout vu !
⭐⭐⭐

Tu maîtrises le vocabulaire des probabilités. Refais les exercices seul(e) en utilisant à chaque fois la bonne notation !

✓ 5 exercices P(A) + P(Ā) = 1
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