🎲 Feuille d'exercices

Probabilités (3) — Tableau à double entrée · Correction interactive

📊 Progression

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📚 Ce qu'il faut savoir

Une expérience à deux épreuves

Quand une expérience se déroule en deux étapes (deux lancers, deux tirages, deux choix), chaque résultat est formé de deux informations.

Pour n'oublier aucune issue, on les range dans un tableau à double entrée.

Lire le tableau

Une ligne par résultat de la 1^re épreuve, une colonne par résultat de la 2^e. Chaque case correspond à une issue.

nombre d'issues = nombre de lignes × nombre de colonnes

Calculer — Si toutes les issues ont la même chance, on applique \(p=\dfrac{\text{cases favorables}}{\text{cases du tableau}}\) : on surligne les cases qui conviennent, puis on les compte. Et tout ce qui a été vu avant reste vrai : l'événement contraire \(\big(P(\overline{A})=1-P(A)\big)\) et la somme des probabilités égale à 1.

🖊️ Comment utiliser cette fiche

Les tableaux des exercices 1 à 4 sont à remplir directement ici : clique dans une case et tape ta réponse. Puis « Vérifier » colore tes cases (vert = juste, rose = à revoir), et « Afficher » remplit le tableau correct. Rien à recopier sur le cahier.

Exercice 1Deux pièces

✓ Vu

On lance deux pièces équilibrées. Pour chaque pièce, on obtient Pile (P) ou Face (F).

Compléter le tableau à double entrée pour obtenir toutes les issues.

Dans chaque case, écris les deux résultats, par exemple « P P ».

Pièce 1 → Pièce 2 ↓	P	F
P
F

Quelle est la probabilité d'obtenir deux fois Pile ?

Quelle est la probabilité d'obtenir exactement un Pile et un Face ?

Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un Pile ?

Chaque case du tableau est une issue. Avec 2 lignes et 2 colonnes, il y a 2 × 2 = 4 issues.

Q4 : « au moins un Pile », c'est le contraire de « aucun Pile » (deux Face).

1) Le tableau complété

Pièce 1 → Pièce 2 ↓	P	F
P	P ; P	F ; P
F	P ; F	F ; F

4 issues équiprobables.

2) Deux fois Pile

1 seule case (P ; P) → \(\dfrac{1}{4}\)

\(p=\dfrac{1}{4}\)

3) Exactement un Pile et un Face

2 cases : (F ; P) et (P ; F) → \(\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\)

\(p=\dfrac{1}{2}\)

4) Au moins un Pile

3 cases conviennent : (P ; P), (F ; P), (P ; F) → \(\dfrac{3}{4}\)

On pouvait aussi passer par le contraire « aucun Pile » : \(1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\).

\(p=\dfrac{3}{4}\)

Exercice 2Pièce et dé

✓ Vu

On lance en même temps une pièce équilibrée (P ou F) et un dé équilibré à six faces.

Compléter le tableau des issues (par exemple « P3 » pour Pile et 3), puis donner le nombre total d'issues.

Dé → Pièce ↓	1	2	3	4	5	6
P
F

Quelle est la probabilité d'obtenir Face et le nombre 6 ?

Quelle est la probabilité d'obtenir Pile et un nombre pair ?

Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre strictement supérieur à 4, quelle que soit la pièce ?

2 lignes (pièce) et 6 colonnes (dé) : combien de cases en tout ?

Q4 : les nombres strictement supérieurs à 4 sont 5 et 6, et la pièce peut être P ou F.

1) Nombre d'issues

2 lignes × 6 colonnes = 12 issues, toutes équiprobables.

2) Face et le nombre 6

Dé → Pièce ↓	1	2	3	4	5	6
P	P1	P2	P3	P4	P5	P6
F	F1	F2	F3	F4	F5	F6

1 seule case convient.

\(\dfrac{1}{12}\)

\(p=\dfrac{1}{12}\)

3) Pile et un nombre pair

Ligne P, colonnes 2, 4, 6 → 3 cases → \(\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}\)

\(p=\dfrac{1}{4}\)

4) Un nombre strictement supérieur à 4

Colonnes 5 et 6, lignes P et F → 4 cases → \(\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}\)

\(p=\dfrac{1}{3}\)

Exercice 3Somme de deux dés

✓ Vu

On lance deux dés équilibrés à six faces et on additionne les deux nombres obtenus.

Compléter le tableau des sommes, puis donner le nombre total d'issues.

Dans chaque case, écris la somme des deux dés.

Dé 1 → Dé 2 ↓	1	2	3	4	5	6
1
2
3
4
5
6

Quelle est la probabilité d'obtenir une somme égale à 7 ?

Quelle est la probabilité d'obtenir une somme égale à 12 ?

Quelle est la probabilité d'obtenir une somme supérieure ou égale à 10 ?

Le tableau a 6 lignes et 6 colonnes : il y a 36 cases, donc 36 issues équiprobables.

Attention : ce sont les 36 cases qui ont la même chance, pas les sommes. On compte les cases, pas les sommes différentes.

Q4 : une somme ≥ 10, ce sont les sommes 10, 11 et 12. Compte toutes les cases concernées.

1) Le tableau des sommes

Dé 1 → Dé 2 ↓	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

36 issues équiprobables (les cases surlignées donnent la somme 7).

6 lignes × 6 colonnes = 36 issues.

Attention : ce sont les 36 cases qui ont la même chance, pas les sommes. La somme 7 apparaît souvent, la somme 12 une seule fois : elles n'ont pas la même probabilité.

2) Somme égale à 7

6 cases donnent 7 → \(\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\)

\(p=\dfrac{1}{6}\)

3) Somme égale à 12

1 seule case donne 12 (6 + 6) → \(\dfrac{1}{36}\)

\(p=\dfrac{1}{36}\)

4) Somme supérieure ou égale à 10

Somme 10 : 3 cases — Somme 11 : 2 cases — Somme 12 : 1 case → \(3+2+1=6\) cases

\(\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\)

\(p=\dfrac{1}{6}\)

Exercice 4Deux choix

✓ Vu

Le matin, Jade choisit au hasard un tee-shirt (rouge, vert ou bleu) et un pantalon (noir ou gris). Chaque choix se fait au hasard.

Compléter le tableau des tenues possibles (par exemple « Rouge-Noir »), puis donner leur nombre.

Tee-shirt → Pantalon ↓	Rouge	Vert	Bleu
Noir
Gris

Quelle est la probabilité qu'elle porte le tee-shirt rouge avec le pantalon noir ?

Quelle est la probabilité qu'elle porte un pantalon gris ?

Quelle est la probabilité qu'elle ne porte pas le tee-shirt vert ?

3 tee-shirts et 2 pantalons : le tableau a 3 colonnes et 2 lignes.

Q4 : « pas le tee-shirt vert », ce sont toutes les tenues avec le rouge ou le bleu (l'événement contraire de « tee-shirt vert »).

1) Le tableau des tenues

Tee-shirt → Pantalon ↓	Rouge	Vert	Bleu
Noir	Rouge-Noir	Vert-Noir	Bleu-Noir
Gris	Rouge-Gris	Vert-Gris	Bleu-Gris

3 × 2 = 6 tenues équiprobables.

2) Tee-shirt rouge et pantalon noir

1 seule case (Rouge-Noir) → \(\dfrac{1}{6}\)

\(p=\dfrac{1}{6}\)

3) Un pantalon gris

Ligne « Gris » : 3 cases → \(\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\)

\(p=\dfrac{1}{2}\)

4) Ne pas porter le tee-shirt vert

Tenues sans vert (rouge ou bleu) : 4 cases → \(\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\)

Par le contraire : \(P(\text{vert})=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\), donc \(1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\).

\(p=\dfrac{2}{3}\)

Exercice 5Problème

✓ Vu

Dans un jeu, on lance deux dés équilibrés. On gagne lorsque les deux dés affichent le même nombre (on dit qu'on fait un « double »).

Combien d'issues possède cette expérience ?

Lister tous les doubles, puis calculer la probabilité de gagner.

Calculer la probabilité de ne pas gagner, de deux façons différentes.

Léo affirme : « À ce jeu, j'ai autant de chances de gagner que de perdre. » A-t-il raison ?

Comme pour la somme, il y a 6 × 6 = 36 issues équiprobables.

Les doubles sont sur la diagonale du tableau : (1,1), (2,2), …

Q3 : une méthode par comptage des cases, une méthode avec \(P(\overline{G})=1-P(G)\).

1) Nombre d'issues

6 × 6 = 36 issues équiprobables.

2) Les doubles et la probabilité de gagner

Dé 1 → Dé 2 ↓	1	2	3	4	5	6
1	1,1	·	·	·	·	·
2	·	2,2	·	·	·	·
3	·	·	3,3	·	·	·
4	·	·	·	4,4	·	·
5	·	·	·	·	5,5	·
6	·	·	·	·	·	6,6

Les 6 doubles sont sur la diagonale.

Doubles : (1,1) ; (2,2) ; (3,3) ; (4,4) ; (5,5) ; (6,6) → 6 cases

\(P(G)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\)

\(P(G)=\dfrac{1}{6}\)

3) Probabilité de ne pas gagner

En comptant : \(36-6=30\) cases ne sont pas des doubles → \(\dfrac{30}{36}=\dfrac{5}{6}\).

Avec le contraire : \(P(\overline{G})=1-P(G)=1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}\).

\(P(\overline{G})=\dfrac{5}{6}\)

4) Léo a-t-il raison ?

Gagner : \(\dfrac{1}{6}\) ; perdre : \(\dfrac{5}{6}\). Comme \(\dfrac{5}{6}>\dfrac{1}{6}\), les deux ne sont pas égaux.

Léo a tort : il a bien plus de chances de perdre (5 chances sur 6) que de gagner (1 chance sur 6).

🎉

Bravo, tu as tout vu !

⭐⭐⭐

Tu sais organiser une expérience à deux épreuves dans un tableau et compter les cases favorables. Refais-les seul(e) pour être au point !

✓ 5 exercices 📋 Tableau à double entrée