Probabilités

I. Modéliser une expérience aléatoire

📘 Définition

Une expérience aléatoire est une expérience où intervient le hasard.
On ne peut pas prévoir le résultat à l'avance mais on peut lister les différentes possibilités, que l'on appelle « issues ».

✏️ Exemple

On lance un dé équilibré à 6 faces et on note le nombre obtenu.
1) Lister les issues de cette expérience.

Les issues sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6.

On ne sait pas à l'avance quelle face va apparaître : c'est bien une expérience aléatoire.

📘 Vocabulaire & Propriété

La probabilité d'une issue peut s'interpréter comme la « proportion de chances » d'obtenir cette issue lors de l'expérience aléatoire.

C'est un nombre compris entre 0 et 1.
La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience aléatoire est égale à 1.

✏️ Exemples — Lancer d'un dé à 6 faces

Compléter le tableau des probabilités :

Faces	1	2	3	4	5	6	Total
Probabilité	…\(\dfrac{1}{6}\)	…\(\dfrac{1}{6}\)	…\(\dfrac{1}{6}\)	…\(\dfrac{1}{6}\)	…\(\dfrac{1}{6}\)	…\(\dfrac{1}{6}\)	…1

💡 Il y a 6 issues et la somme vaut bien \(6 \times \dfrac{1}{6} = 1\). ✓

📗 Définition & Propriété — Équiprobabilité

Lorsque toutes les issues d'une expérience aléatoire ont la même probabilité, on dit que les issues sont équiprobables.

Exemple : Grâce au tableau précédent, on en déduit que les issues d'un lancer de dé à 6 faces sont équiprobables.

II. Déterminer la probabilité d'un évènement

📘 Définition

Selon le résultat d'une expérience aléatoire, on dit qu'un évènement est réalisé ou non.

✏️ Exemple

On peut poser A l'évènement : « Obtenir un 6 » sur un lancer de dé à 6 faces.

📘 Définition

La probabilité d'un évènement est égale à la somme des probabilités des issues qui le réalisent. Si A est l'évènement, alors la probabilité de réaliser l'évènement A se note P(A).

✏️ Exemple

Calculer P(A) où A est l'évènement « Obtenir un 6 » sur un lancer de dé à 6 faces.

La seule issue qui réalise A est le 6, dont la probabilité est \(\dfrac{1}{6}\).

\(\mathrm{P(A)} = \dfrac{1}{6}\)

📗 Définition — Cas équiprobable

Dans une expérience d'équiprobabilité, la probabilité d'un évènement A vaut :

\(\mathrm{P(A)} = \dfrac{\text{nombre d'issues qui le réalisent}}{\text{nombre total d'issues}}\)

✏️ Exemple

On lance un dé à 6 faces. Soit B : « Obtenir un nombre pair ». Calculer P(B).

Les issues qui réalisent B sont : 2, 4 et 6. Il y en a 3 sur 6 issues au total.

\(\mathrm{P(B)} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)

📘 Définitions & Propriétés

Un évènement impossible est un évènement qui ne peut jamais se réaliser. Sa probabilité est égale à 0.
Un évènement certain est un évènement qui se réalise toujours. Sa probabilité est égale à 1.

✏️ Exemple

Sur un lancer de dé à 6 faces, donner un exemple d'évènement impossible et d'évènement certain.

Évènement impossible : « Obtenir un 7 ».

Un dé à 6 faces ne peut jamais donner 7, donc P(« obtenir un 7 ») = 0.

Évènement certain : « Obtenir un nombre inférieur ou égal à 6 ».

Toutes les faces (1, 2, 3, 4, 5, 6) vérifient cette condition, donc P(« obtenir un nombre ≤ 6 ») = 1.

III. L'évènement contraire

📘 Définition — Évènement contraire

L'évènement contraire d'un évènement A est l'évènement qui se réalise lorsque A ne se réalise pas. On le note \(\overline{\mathrm{A}}\).

✏️ Exemple

On lance un dé à 6 faces. Soit A : « Obtenir un nombre pair ».
1) Décrire par une phrase l'évènement contraire \(\overline{\mathrm{A}}\).

A : « Obtenir un nombre pair », c'est-à-dire obtenir 2, 4 ou 6.

\(\overline{\mathrm{A}}\) : « Obtenir un nombre impair », c'est-à-dire obtenir 1, 3 ou 5.

📗 Propriété — Évènement contraire

\(\mathrm{P(A)} + \mathrm{P(\overline{A})} = 1 \qquad \text{donc} \qquad \mathrm{P(\overline{A})} = 1 - \mathrm{P(A)}\)

✏️ Exemple

On lance un dé à 6 faces. Soit E : « Obtenir au moins 2 ».
1) Décrire l'évènement contraire \(\overline{\mathrm{E}}\).
2) Calculer \(\mathrm{P(\overline{E})}\).
3) En déduire \(\mathrm{P(E)}\).

1) \(\overline{\mathrm{E}}\) : « Obtenir moins de 2 », c'est-à-dire « Obtenir 1 ».

2) Une seule issue réalise \(\overline{\mathrm{E}}\) (le 1), sur 6 issues au total.

\(\mathrm{P(\overline{E})} = \dfrac{1}{6}\)

3) On utilise la propriété de l'évènement contraire :

\(\mathrm{P(E)} = 1 - \mathrm{P(\overline{E})} = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}\)

✅ Vérification : \(\dfrac{1}{6} + \dfrac{5}{6} = 1\) ✓

🧩 Exercice

On tire au hasard une carte parmi 10 cartes numérotées de 1 à 10.
Soit A : « Obtenir un multiple de 4 ».
Calculer P(A) puis P(\(\overline{\mathrm{A}}\)).

Les multiples de 4 entre 1 et 10 sont : 4 et 8. Il y en a 2 sur 10 cartes.

\(\mathrm{P(A)} = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}\)

\(\overline{\mathrm{A}}\) est l'évènement « Ne pas obtenir un multiple de 4 ».

\(\mathrm{P(\overline{A})} = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}\)

✅ Vérification : \(\dfrac{1}{5} + \dfrac{4}{5} = 1\) ✓

IV. Expériences répétées

📘 Méthode

Lorsqu'une expérience est répétée avec deux épreuves qui s'enchaînent, on peut traiter le problème à l'aide d'un tableau à double entrée.

✏️ Exemple — Deux lancers d'une pièce

On lance deux fois une pièce de monnaie équilibrée (Pile ou Face). On construit un tableau à double entrée : le premier lancer sur les lignes, le deuxième lancer sur les colonnes.

1) Remplir le tableau en écrivant OUI si l'issue réalise l'évènement « Obtenir deux fois Pile » et NON sinon.
2) Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois Pile ?

1ᵉʳ \ 2ᵉ	Pile	Face
Pile	…OUI	…NON
Face	…NON	…NON

Il y a 4 issues possibles : (P ; P), (P ; F), (F ; P), (F ; F). Une seule réalise « deux fois Pile », donc \(\mathrm{P(\text{deux fois Pile})} = \dfrac{1}{4}\).

💡 2) « Obtenir au moins une fois Pile » est réalisé par (P ; P), (P ; F) et (F ; P), soit 3 issues sur 4 :

\(\mathrm{P(\text{au moins un Pile})} = \dfrac{3}{4}\)