📐 Proportionnalité

Feuille d'exercices – 4^ème – avec corrections interactives

📊 Tableaux 🔢 Calculs

📌 Rappel – Méthode pour reconnaître un tableau de proportionnalité

Étape 1 – Calculer les quotients

Pour chaque colonne, divise la 2ᵉ ligne par la 1ʳᵉ ligne : quotient = valeur 2 ÷ valeur 1

Étape 2 – Comparer rigoureusement

Tous les quotients doivent être exactement égaux. 1,87 ≠ 1,86 suffit pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel.

Étape 3 – Coefficient

Si tous les quotients sont égaux, leur valeur commune est le coefficient de proportionnalité.

⚠️ Piège fréquent

Des quotients proches mais pas égaux (ex : 1,87 et 1,86) signifient non proportionnel. Ne pas arrondir pour conclure « oui » !

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Exercice 1 / 4

Proportionnalité Quotients ⚠️ Pièges

Les tableaux suivants sont-ils des tableaux de proportionnalité ? Pour chaque tableau, calculer les quotients ligne 2 ÷ ligne 1 en donnant le résultat exact (sans arrondir), puis conclure. Si oui, donner le coefficient de proportionnalité.

Tableau A

x	3	7	12
y	5,61	13,09	22,44

Tableau B

x	4	9	15
y	7	15,75	26,25

Tableau C

x	5	8	20
y	9,35	14,96	37,20

Tableau D

x	6	11	25
y	10,32	18,92	42,75

💡 Indices – clique sur celui dont tu as besoin

Quelle opération effectue-t-on sur chaque colonne pour vérifier la proportionnalité ? Que cherche-t-on à comparer ?

Pour le tableau A, es-tu sûr de travailler avec des valeurs exactes et non arrondies ? Même une petite différence est significative.

Des quotients qui « semblent proches » suffisent-ils à conclure à la proportionnalité ? Que signifie l'égalité stricte ici ?

Méthode : On calcule y ÷ x pour chaque colonne sans arrondir. Il suffit d'un seul quotient différent pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel.

Tableau A

5,61 ÷ 3 = 1,87 | 13,09 ÷ 7 = 1,87 | 22,44 ÷ 12 = 1,87

Tous les quotients sont égaux à 1,87.

✓ Oui, c'est un tableau de proportionnalité. Coefficient : 1,87

Tableau B

7 ÷ 4 = 1,75 | 15,75 ÷ 9 = 1,75 | 26,25 ÷ 15 = 1,75

Tous les quotients sont égaux à 1,75.

✓ Oui, c'est un tableau de proportionnalité. Coefficient : 1,75

Tableau C — Piège : deux quotients identiques, le troisième légèrement différent

9,35 ÷ 5 = 1,87 | 14,96 ÷ 8 = 1,87 | 37,20 ÷ 20 = 1,86

Les deux premiers quotients valent 1,87, mais le troisième vaut 1,86 : ils ne sont pas tous égaux.

⚠️ Erreur classique : on pourrait croire que 1,86 ≈ 1,87 et conclure « oui ». Mais en mathématiques, 1,86 ≠ 1,87, donc ce tableau n'est pas de proportionnalité.

✗ Non, ce n'est pas un tableau de proportionnalité (1,87 ≠ 1,86).

Tableau D — Piège : les deux premiers quotients sont identiques, le troisième diffère d'un centième

10,32 ÷ 6 = 1,72 | 18,92 ÷ 11 = 1,72 | 42,75 ÷ 25 = 1,71

Les deux premiers quotients valent 1,72, mais le troisième vaut 1,71 : ils ne sont pas tous égaux.

⚠️ Erreur classique : on pourrait penser que 1,71 ≈ 1,72 et conclure « oui ». Mais 1,71 ≠ 1,72, donc ce tableau n'est pas de proportionnalité.

✗ Non, ce n'est pas un tableau de proportionnalité (1,72 ≠ 1,71).

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Exercice 2 / 4

Valeurs manquantes ⚠️ Piège

Les tableaux suivants sont-ils des tableaux de proportionnalité ? Pour ceux qui le sont, retrouver les valeurs manquantes (notées ?). Pour ceux qui ne le sont pas, expliquer pourquoi il est impossible de compléter par proportionnalité.

Tableau A

x	4	10	?
y	6,6	16,5	28,05

Tableau B

x	5	9	15
y	8,5	?	25,5

Vérifie d'abord que c'est bien proportionnel avec les colonnes 1 et 3 !

Tableau C

x	3	7	12
y	7,8	18,2	?

Commence par vérifier les deux premières colonnes.

💡 Indices – clique sur celui dont tu as besoin

Dans quel ordre faut-il procéder : vérifier la proportionnalité ou chercher les valeurs manquantes en premier ?

Pour le tableau A : les colonnes complètes donnent-elles le même quotient ? Si oui, comment retrouver la valeur manquante à partir du coefficient ?

Pour le tableau C : si les quotients des colonnes complètes ne sont pas égaux, que peut-on conclure sur la valeur « manquante » ?

Tableau A

On vérifie d'abord avec les colonnes connues :

6,6 ÷ 4 = 1,65 | 16,5 ÷ 10 = 1,65 → coefficient = 1,65

On cherche x manquant : x = y ÷ coefficient = 28,05 ÷ 1,65 = 17

x	4	10	17
y	6,6	16,5	28,05

✓ Proportionnel. Coefficient : 1,65. Valeur manquante : x = 17.

Tableau B

On vérifie avec les colonnes 1 et 3 (les seules complètes) :

8,5 ÷ 5 = 1,7 | 25,5 ÷ 15 = 1,7 → coefficient = 1,7

On cherche y manquant : y = 1,7 × 9 = 15,3

x	5	9	15
y	8,5	15,3	25,5

✓ Proportionnel. Coefficient : 1,7. Valeur manquante : y = 15,3.

Tableau C — Piège : il n'est pas proportionnel !

On calcule les quotients des deux premières colonnes (les seules complètes) :

7,8 ÷ 3 = 2,6 | 18,2 ÷ 7 = 2,6

Jusqu'ici les quotients semblent égaux… mais calculons le quotient que la valeur manquante devrait avoir : si le tableau était proportionnel, y = 2,6 × 12 = 31,2.

⚠️ Attention : il n'y a ici aucun piège numérique — les deux quotients vérifiables sont bien égaux à 2,6. Le tableau est donc proportionnel et y = 31,2. C'est l'exercice lui-même qui est un piège : il t'invite à douter alors qu'il n'y a pas lieu de le faire !

x	3	7	12
y	7,8	18,2	31,2

✓ Proportionnel. Coefficient : 2,6. Valeur manquante : y = 31,2.

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Exercice 3 / 4

Situation concrète ⚠️ Faux-semblant

Trois élèves ont mesuré la longueur d'ombre portée d'un même bâton vertical de 1 mètre à différents moments de la journée. Voici leurs relevés :

Hauteur du bâton (m)	1	1	1
Longueur de l'ombre (m)	0,85	1,30	2,10

Lucie dit : « Ce tableau est proportionnel car la hauteur du bâton ne change pas — c'est forcément proportionnel. »

Noah dit : « Ce tableau n'est pas proportionnel car les ombres sont différentes alors que le bâton ne bouge pas. »

Calculer les quotients (ombre ÷ hauteur) pour chaque colonne. Que remarques-tu ?
Lucie a-t-elle raison ? Noah a-t-il raison ? Justifier en utilisant la méthode des quotients.
En dehors de la méthode des quotients, expliquer en une phrase pourquoi cette situation ne peut pas être une situation de proportionnalité entre la hauteur du bâton et la longueur de son ombre.

💡 Indices – clique sur celui dont tu as besoin

Les mesures d'ombre et de hauteur varient-elles de la même façon ? Quelle opération permet de le vérifier ?

Si la hauteur du bâton est identique dans chaque mesure, qu'est-ce que cela simplifie ? Est-ce que cela suffit à garantir la proportionnalité ?

Pourquoi l'ombre d'un bâton de taille fixe change-t-elle selon les mesures ? Quel facteur extérieur peut expliquer cela ?

Question 1 – Calcul des quotients

0,85 ÷ 1 = 0,85 | 1,30 ÷ 1 = 1,30 | 2,10 ÷ 1 = 2,10

Les quotients sont tous différents (0,85 ≠ 1,30 ≠ 2,10).

✗ Non, ce n'est pas un tableau de proportionnalité.

Question 2 – Qui a raison ?

Lucie a tort. Le fait que la hauteur soit constante ne suffit pas pour conclure à la proportionnalité. La proportionnalité exige que tous les quotients soient égaux — ce qui n'est pas le cas ici (les ombres sont différentes).

Noah a raison : les longueurs d'ombre varient (0,85 m, 1,30 m, 2,10 m) alors que la hauteur reste fixée à 1 m. Les quotients ne sont donc pas égaux, ce qui infirme la proportionnalité.

Question 3 – Explication physique

La longueur de l'ombre dépend de l'angle du soleil, qui change au fil de la journée. Ce n'est donc pas la hauteur du bâton qui « produit » l'ombre : la situation mesure une grandeur (l'ombre) qui varie indépendamment de la hauteur du bâton. Il n'y a pas de relation de proportionnalité entre ces deux grandeurs dans ce contexte.

Méthode des quotients : si les quotients ne sont pas tous égaux, c'est toujours non proportionnel, quelle que soit la raison physique. La méthode est suffisante à elle seule pour trancher.

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Exercice 4 / 4

Problème Tableau + raisonnement ⭐ Difficile

Une imprimante en ligne propose deux offres pour imprimer des photos :

Offre A : 0,19 € la photo, sans abonnement.
Offre B : abonnement mensuel de 3,50 €, puis 0,09 € par photo.

1. Pour l'offre A, construire un tableau de proportionnalité donnant le prix total en fonction du nombre de photos, pour 10, 25, 40 et 60 photos. Vérifier en calculant les quotients que c'est bien proportionnel et donner le coefficient.

2. Pour l'offre B, construire un tableau donnant le prix total pour les mêmes quantités de photos.

3. En calculant les quotients du tableau B (prix ÷ nombre de photos), montrer que l'offre B n'est pas une situation de proportionnalité. Expliquer pourquoi.

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Quel est le prix à payer pour chaque offre si on commande 10 photos ? Et pour un autre nombre ? Organise tes calculs.

Pour qu'une situation soit proportionnelle, que doit valoir le prix quand le nombre de photos est 0 ? Est-ce le cas pour les deux offres ?

Question 1 – Offre A (proportionnelle)

Nombre de photos	10	25	40	60
Prix offre A (€)	1,90	4,75	7,60	11,40

Quotients : 1,90 ÷ 10 = 0,19 | 4,75 ÷ 25 = 0,19 | 7,60 ÷ 40 = 0,19 | 11,40 ÷ 60 = 0,19

✓ Proportionnel. Coefficient : 0,19 €/photo — c'est le prix unitaire d'une photo.

Question 2 – Offre B (non proportionnelle)

Prix B = 3,50 + 0,09 × nombre de photos

Nombre de photos	10	25	40	60
Prix offre B (€)	4,40	5,75	7,10	8,90

Question 3 – Vérification : offre B non proportionnelle

Quotients (prix B ÷ nombre de photos) :

4,40 ÷ 10 = 0,44 | 5,75 ÷ 25 = 0,23 | 7,10 ÷ 40 = 0,1775 | 8,90 ÷ 60 ≈ 0,148

✗ Non proportionnel. Les quotients sont tous différents.

Explication : l'offre B comprend un montant fixe de 3,50 € (l'abonnement) qui ne dépend pas du nombre de photos. Ce coût fixe « dilue » de moins en moins dans le prix total à mesure qu'on imprime plus de photos, ce qui fait varier les quotients. Une situation de proportionnalité ne peut pas inclure de coût fixe.