Proportionnalité n°2 – Valeur manquante — 4ème

Exercice 1 / 7

Coefficient k Tableaux

✓ Vu

Les tableaux suivants sont des tableaux de proportionnalité. En utilisant le coefficient de proportionnalité, trouver toutes les valeurs manquantes (notées ?). Vérifier en calculant tous les quotients à la fin.

Tableau A

x	3	?	18	?
y	7,5	12,5	?	32,5

Tableau B

x	2,4	?	8
y	3,6	6,75	?

💡 Indices – clique sur celui dont tu as besoin

Quelle colonne te donne les deux valeurs connues ? Que peux-tu calculer à partir de cette colonne ?

Une fois le coefficient trouvé, comment s'en sert-on pour calculer une valeur manquante ? La méthode change-t-elle selon si c'est x ou y qui manque ?

Pour le tableau B, lequel des trois couples (x ; y) est complet ? C'est lui qui sert de point de départ pour trouver les autres.

Méthode : Identifier la colonne complète → calculer k = y ÷ x → déduire toutes les valeurs manquantes → vérifier.

Tableau A

Colonne 1 complète : k = 7,5 ÷ 3 = 2,5

x₂ = 12,5 ÷ 2,5 = 5 | y₃ = 2,5 × 18 = 45 | x₄ = 32,5 ÷ 2,5 = 13

x	3	5	18	13
y	7,5	12,5	45	32,5

Vérification : 7,5÷3 = 12,5÷5 = 45÷18 = 32,5÷13 = 2,5 ✓

Tableau B

Colonne 1 complète : k = 3,6 ÷ 2,4 = 1,5

x₂ = 6,75 ÷ 1,5 = 4,5 | y₃ = 1,5 × 8 = 12

x	2,4	4,5	8
y	3,6	6,75	12

Vérification : 3,6÷2,4 = 6,75÷4,5 = 12÷8 = 1,5 ✓

Exercice 2 / 7

Passage à l'unité Problèmes concrets

✓ Vu

Résoudre chaque problème en utilisant la méthode du passage à l'unité. Construire un tableau de proportionnalité et présenter les calculs clairement.

a. Une pompe vide un bassin de 4 500 litres en 2 heures 30 minutes. Combien de litres cette pompe vide-t-elle en 1 heure 40 minutes ?
(Indication : convertis les durées en minutes.)

b. Sur une carte à l'échelle 1/50 000, une forêt mesure 4,8 cm de longueur. Quelle est la longueur réelle de cette forêt, en kilomètres ?
(Rappel : l'échelle 1/50 000 signifie que 1 cm sur la carte = 50 000 cm en réalité.)

c. 14 ouvriers fabriquent 252 pièces en une journée. En supposant que chaque ouvrier produit le même nombre de pièces, combien faut-il d'ouvriers pour produire 360 pièces par jour ?

💡 Indices – clique sur celui dont tu as besoin

Pour a. : les durées sont-elles dans la même unité ? Convertis avant de poser le tableau.

Pour b. : que signifie une échelle de 1/50 000 ? Quelle longueur réelle correspond à 1 cm sur la carte ?

Pour c. : le nombre de pièces produites et le nombre d'ouvriers sont-ils proportionnels ? Comment trouver ce que produit un ouvrier ?

Méthode passage à l'unité : Étape 1 → valeur pour 1. Étape 2 → valeur pour n = (val. pour 1) × n (ou ÷ n selon le sens).

a. — Pompe (conversion de temps)

2 h 30 min = 150 min | 1 h 40 min = 100 min

Temps (min)	150	1	100
Volume vidé (L)	4 500	?	?

Litres en 1 min : 4 500 ÷ 150 = 30 L/min

Litres en 100 min : 30 × 100 = 3 000 litres

La pompe vide 3 000 litres en 1 heure 40 minutes.

b. — Carte à l'échelle 1/50 000

Distance carte (cm)	1	4,8
Distance réelle (cm)	50 000	?

Longueur réelle : 50 000 × 4,8 = 240 000 cm

Conversion : 240 000 cm ÷ 100 000 = 2,4 km

La forêt mesure 2,4 km en réalité.

c. — Ouvriers (sens inverse)

Ouvriers	14	1	?
Pièces/jour	252	?	360

Pièces par ouvrier : 252 ÷ 14 = 18 pièces/ouvrier

Ouvriers nécessaires : 360 ÷ 18 = 20 ouvriers

Il faut 20 ouvriers pour produire 360 pièces par jour.

Exercice 3 / 7

Produit en croix Tableaux — décimaux

✓ Vu

En utilisant uniquement le produit en croix, trouver toutes les valeurs manquantes. Détailler les calculs.

Tableau a

7	?
11,2	19,2

Tableau b

?	13,5
7,6	5,7

Tableau c

0,8	?	3,6
2,6	6,5	?

Tableau d

1,4	3,5	?
?	8,75	12,5

Tableau e

15	?	45
8,4	22,4	?

Tableau f

?	9	21
4,4	?	18,2

💡 Indices – clique sur celui dont tu as besoin

Quelle propriété du produit en croix permet de trouver une valeur manquante ? Comment identifier les valeurs en diagonale ?

Pour le tableau a., quelle valeur est en diagonale de l'inconnue ? Quelles sont les trois valeurs à utiliser dans le produit en croix ?

Pour les tableaux à 3 colonnes : quelle colonne peut servir de référence ? Comment appliquer le produit en croix entre cette colonne et chaque inconnue ?

Tableau a

? = (7 × 19,2) ÷ 11,2 = 134,4 ÷ 11,2 = 12

Tableau b

? = (13,5 × 7,6) ÷ 5,7 = 102,6 ÷ 5,7 = 18

Tableau c

Réf. col.1 (0,8 / 2,6)

Col.2 ? = (0,8 × 6,5) ÷ 2,6 = 5,2 ÷ 2,6 = 2

Col.3 ? = (0,8 × ?) … → ? = (3,6 × 2,6) ÷ 0,8 = 9,36 ÷ 0,8 = 11,7

Tableau d

Réf. col.2 (3,5 / 8,75)

Col.1 ? = (3,5 × ?) → ? lig.2 col.1 = (1,4 × 8,75) ÷ 3,5 = 12,25 ÷ 3,5 = 3,5

Col.3 ? lig.1 = (3,5 × 12,5) ÷ 8,75 = 43,75 ÷ 8,75 = 5

Tableau e

Réf. col.1 (15 / 8,4)

Col.2 ? = (15 × 22,4) ÷ 8,4 = 336 ÷ 8,4 = 40

Col.3 ? = (8,4 × 45) ÷ 15 = 378 ÷ 15 = 25,2

Tableau f

Réf. col.3 (21 / 18,2)

Col.1 ? lig.1 = (21 × 4,4) ÷ 18,2 = 92,4 ÷ 18,2 = ≈ 5,08…

Exact : 92,4 ÷ 18,2 = 462/91 ≈ 5,077 (résultat non entier, laisser sous forme décimale arrondie à 10⁻²)

Col.2 ? lig.2 = (18,2 × 9) ÷ 21 = 163,8 ÷ 21 = 7,8

💡 Tableau f : le résultat de la colonne 1 n'est pas un décimal « agréable ». Cela arrive en 4ème — vérifier par le produit en croix inverse.

Exercice 4 / 7

Produit en croix Grand tableau

✓ Vu

Compléter ce tableau de proportionnalité en utilisant le produit en croix. Il y a 5 valeurs manquantes — trouver l'ordre de résolution le plus efficace.

Ligne 1	1,2	?	4,8	?	12	?
Ligne 2	?	3,5	14	22,75	?	52,5

Conseil : repère d'abord la seule colonne complète, calcule le coefficient, puis complète tout le tableau.

💡 Indices – clique sur celui dont tu as besoin

Parmi toutes les colonnes, laquelle est entièrement connue ? C'est elle qui servira de point de départ.

Le coefficient de ce tableau n'est pas un nombre « rond ». Quelle méthode évite de multiplier les erreurs d'arrondi ?

Pour chaque colonne incomplète, quelles sont les trois valeurs connues à utiliser dans le produit en croix ? Fais-le colonne par colonne.

Colonne de référence : col.3 → (4,8 ; 14). Coefficient k = 14 ÷ 4,8 = 35/12 (fraction exacte). On va utiliser le produit en croix colonne par colonne.

Col. 1 — lg2 manquante : ? = (1,2 × 14) ÷ 4,8 = 16,8 ÷ 4,8 = 3,5

Col. 2 — lg1 manquante : ? = (3,5 × 4,8) ÷ 14 = 16,8 ÷ 14 = 1,2

On pouvait aussi utiliser col.1 complète : lg1 col.2 = (1,2 × 3,5) ÷ 3,5 = 1,2 — en utilisant le coefficient entre col.1 et col.2.

Col. 4 — lg1 manquante : ? = (22,75 × 4,8) ÷ 14 = 109,2 ÷ 14 = 7,8

Col. 5 — lg2 manquante : ? = (12 × 14) ÷ 4,8 = 168 ÷ 4,8 = 35

Col. 6 — lg1 manquante : ? = (52,5 × 4,8) ÷ 14 = 252 ÷ 14 = 18

Ligne 1	1,2	1,2	4,8	7,8	12	18
Ligne 2	3,5	3,5	14	22,75	35	52,5

Vérification : tous les quotients lg2÷lg1 valent 35/12 ≈ 2,917 ✓

Exercice 5 / 7

Coefficient k Passage unité Problèmes

✓ Vu

Résoudre chaque problème par la méthode de ton choix. Construire un tableau et présenter les calculs.

a. [Méthode libre] Une machine remplit 1 320 bouteilles en 1 heure 6 minutes. Combien de bouteilles remplit-elle en 2 heures 45 minutes ?
(Convertir les durées en minutes.)

b. [Produit en croix] Sur une carte à l'échelle 1/25 000, la distance entre deux villages est de 6,4 cm. La distance réelle est de 1,6 km. Vérifier que l'échelle est correcte, puis calculer la distance réelle correspondant à 9,5 cm sur cette même carte.

c. [Passage à l'unité] Un médicament est dosé à raison de 8 mg pour 1 kg de masse corporelle. Un patient pèse 73 kg. Quelle dose doit-il recevoir ? Donner le résultat arrondi au milligramme.

d. [Produit en croix] Un train à grande vitesse parcourt 385 km en 1 h 45 min. Quelle distance parcourt-il en 2 h 20 min à la même vitesse ?
(Convertir les durées en minutes.)

💡 Indices – clique sur celui dont tu as besoin

Pour a. : les durées sont-elles exprimées dans la même unité ? Convertis avant de commencer.

Pour b. : commencer par vérifier que les données de l'énoncé sont cohérentes entre elles. Ensuite, quelle colonne est complète et peut servir de référence ?

Pour d. : convertis les durées en minutes, puis identifie les quatre valeurs du tableau. Laquelle est l'inconnue ? Quelles trois valeurs utiliser dans le produit en croix ?

a. — Machine à bouteilles

1h06 = 66 min | 2h45 = 165 min

Méthode coefficient : k = 1 320 ÷ 66 = 20 bouteilles/min

Bouteilles en 165 min : 20 × 165 = 3 300 bouteilles

En 2h45, la machine remplit 3 300 bouteilles.

b. — Carte (vérification + calcul)

1,6 km = 160 000 cm. Quotient : 160 000 ÷ 6,4 = 25 000. L'échelle est bien 1/25 000 ✓

Distance carte (cm)	6,4	9,5
Distance réelle (km)	1,6	?

? = (9,5 × 1,6) ÷ 6,4 = 15,2 ÷ 6,4 = 2,375 km

9,5 cm sur la carte correspond à 2,375 km en réalité.

c. — Dosage médicament

Masse (kg)	1	73
Dose (mg)	8	?

Dose = 8 × 73 = 584 mg

Le patient doit recevoir 584 mg.

d. — TGV

1h45 = 105 min | 2h20 = 140 min

Distance (km)	385	?
Temps (min)	105	140

? = (385 × 140) ÷ 105 = 53 900 ÷ 105 = ≈ 513,3 km

Exact : 53 900 / 105 = 10 780/21 ≈ 513,33 km

Le train parcourt environ 513,3 km en 2 h 20 min.

Exercice 6 / 7

Produit en croix Recette & Géographie

✓ Vu

Résoudre chaque problème en construisant un tableau, puis en appliquant le produit en croix.

Problème A — Recette de brioche
Une recette de brioche pour 8 personnes demande 350 g de farine, 120 g de beurre et 3 œufs.

1. Quelles quantités de farine et de beurre faut-il pour 14 personnes ?
2. Pour combien de personnes peut-on préparer cette recette avec exactement 200 g de beurre ?
3. Peut-on réaliser cette recette pour exactement 11 personnes avec des ingrédients entiers ? Justifier.

Problème B — Population et superficie
La densité de population d'une région est de 85 habitants par km². La région A a une superficie de 3 200 km². La région B, voisine, compte 374 000 habitants (même densité).

1. Combien d'habitants compte la région A ?
2. Quelle est la superficie de la région B ?

💡 Indices – clique sur celui dont tu as besoin

Comment organiser les données de la recette en tableau(x) de proportionnalité ? Quelles sont les grandeurs qui varient ensemble ?

Pour Q3 : 11 n'est pas un multiple de 8. Qu'est-ce que cela implique pour les quantités d'ingrédients ?

Pour la densité : quelle formule relie la densité, la superficie et le nombre d'habitants ? Laquelle de ces trois grandeurs cherche-t-on ?

Problème A — Recette de brioche

A.1 — Farine et beurre pour 14 personnes

Personnes	8	14
Farine (g)	350	?

Farine : ? = (14 × 350) ÷ 8 = 4 900 ÷ 8 = 612,5 g

Personnes	8	14
Beurre (g)	120	?

Beurre : ? = (14 × 120) ÷ 8 = 1 680 ÷ 8 = 210 g

Pour 14 personnes : 612,5 g de farine et 210 g de beurre.

A.2 — Personnes avec 200 g de beurre

Personnes	8	?
Beurre (g)	120	200

? = (200 × 8) ÷ 120 = 1 600 ÷ 120 = 13,33… personnes

Arrondi à l'entier inférieur : on peut faire la recette pour 13 personnes (en utilisant un peu moins de 200 g de beurre).

A.3 — Recette pour 11 personnes avec ingrédients entiers ?

Personnes	8	11
Farine (g)	350	?

Farine : (11 × 350) ÷ 8 = 3 850 ÷ 8 = 481,25 g → non entier.

Personnes	8	11
Beurre (g)	120	?

Beurre : (11 × 120) ÷ 8 = 1 320 ÷ 8 = 165 g → entier mais...

Personnes	8	11
Œufs	3	?

Œufs : (11 × 3) ÷ 8 = 33 ÷ 8 = 4,125 œufs → non entier.

Non, ce n'est pas possible car la farine et les œufs donnent des quantités non entières pour 11 personnes.

Problème B — Population et superficie

B.1 — Habitants de la région A

Superficie (km²)	1	3 200
Habitants	85	?

? = 85 × 3 200 = 272 000 habitants

La région A compte 272 000 habitants.

B.2 — Superficie de la région B

Superficie (km²)	1	?
Habitants	85	374 000

? = (374 000 × 1) ÷ 85 = 4 400 km²

La région B a une superficie de 4 400 km².

Exercice 7 / 7

Coefficient k Passage unité Produit en croix Synthèse

✓ Vu

Un lycéen organise la vente de gâteaux pour financer un voyage scolaire. Il prépare plusieurs sortes de gâteaux selon des recettes proportionnelles.

a. Sa recette de muffins pour 12 muffins nécessite 180 g de sucre et 240 g de farine. Il veut en préparer 30. Quelles quantités de sucre et de farine lui faut-il ?
b. Il vend les gâteaux 0,80 € pièce. Il en a vendu un certain nombre et a encaissé 28,80 €. Combien de gâteaux a-t-il vendus ? Quel est le coefficient de proportionnalité et que représente-t-il ?
c. Son objectif est de récolter 150 €. Il a déjà vendu les gâteaux correspondant à 28,80 €. Combien doit-il encore vendre de gâteaux pour atteindre son objectif, sachant qu'il lui reste exactement 216 gâteaux ?
d. Pour réaliser les 216 gâteaux restants, sa recette (pour 12 gâteaux) demande 3 œufs. Combien d'œufs lui faut-il au total ? Combien de boîtes de 12 œufs doit-il acheter ?

💡 Indices – clique sur celui dont tu as besoin

Pour a. : les quantités d'ingrédients et le nombre de muffins sont-ils proportionnels ? Quelle méthode utiliser pour passer de 12 à 30 muffins ?

Pour b. : quel est le prix de vente d'un gâteau ? Pour c. : combien lui manque-t-il par rapport à son objectif ? Comment convertir ce manque en nombre de gâteaux ?

Pour d. : combien d'œufs faut-il pour 216 gâteaux ? Peut-on acheter exactement ce nombre d'œufs avec des boîtes de 12 ?

a. — Ingrédients pour 30 muffins

Muffins	12	30
Sucre (g)	180	?

Sucre : ? = (30 × 180) ÷ 12 = 5 400 ÷ 12 = 450 g de sucre

Muffins	12	30
Farine (g)	240	?

Farine : ? = (30 × 240) ÷ 12 = 7 200 ÷ 12 = 600 g de farine

Pour 30 muffins : 450 g de sucre et 600 g de farine.

b. — Nombre de gâteaux vendus et coefficient

Gâteaux	1	?
Prix (€)	0,80	28,80

n = 28,80 ÷ 0,80 = 36 gâteaux

Le coefficient de proportionnalité est k = 0,80. Il représente le prix d'un gâteau (en €/gâteau).

Il a vendu 36 gâteaux. Coefficient : 0,80 €/gâteau.

c. — Combien de gâteaux encore à vendre ?

Recette déjà encaissée : 28,80 €. Manque : 150 − 28,80 = 121,20 €

Gâteaux	1	?
Prix (€)	0,80	121,20

Gâteaux à vendre encore : 121,20 ÷ 0,80 = 151,5 gâteaux

Comme on ne peut vendre qu'un nombre entier, il faut vendre 152 gâteaux (on dépasserait légèrement l'objectif : 152 × 0,80 = 121,60 €).

Vérification : 152 < 216, donc il en a assez. ✓

Il doit encore vendre 152 gâteaux pour dépasser les 150 €.

d. — Œufs nécessaires et boîtes à acheter

Muffins	12	216
Œufs	3	?

Œufs : ? = (216 × 3) ÷ 12 = 648 ÷ 12 = 54 œufs

Boîtes de 12 : 54 ÷ 12 = 4,5 → 5 boîtes à acheter (arrondi au supérieur).

Il lui faut 54 œufs, soit 5 boîtes de 12 (il restera 6 œufs).