Dire qu'un tableau de nombres à deux lignes est un tableau de proportionnalité signifie que l'on obtient les nombres d'une ligne en multipliant ceux de l'autre ligne par un même nombre non nul, que l'on appelle coefficient de proportionnalité.
| Grandeur | Colonne 1 | Colonne 2 |
|---|---|---|
| Nombre de roses | 2 | 5 |
| Prix (en €) | 1,5 | 3,75 |
Pour vérifier qu'il s'agit d'un tableau de proportionnalité, on calcule les quotients Prix ÷ Nombre de roses pour chaque colonne :
💡 Cela signifie que chaque rose coûte 0,75 € = 75 centimes.
Pour vérifier qu'un tableau est un tableau de proportionnalité, on calcule les quotients de chaque colonne (valeur de la 2ᵉ ligne ÷ valeur de la 1ʳᵉ ligne). Si tous les quotients sont égaux, c'est un tableau de proportionnalité et ce quotient commun est le coefficient de proportionnalité.
Il faut aussi être capable dans des cas simples de reconnaître, sans calcul, des situations de proportionnalité.
Pour 5 fois plus de personnes, on utilise 5 fois plus de chaque ingrédient. C'est bien une situation de proportionnalité.
On ne grandit pas de façon régulière tout au long de sa vie : on grandit vite enfant, puis on s'arrête. Ce n'est pas proportionnel.
À vitesse constante, la distance parcourue est proportionnelle au temps : 2 fois plus de temps = 2 fois plus de distance.
Avec la promo « 1 acheté, 1 offert », acheter 1 livre coûte 7 € mais acheter 2 livres coûte aussi 7 €. Le prix n'est pas proportionnel au nombre de livres.
| Grandeur | ÷ 2 | 1 + 2 | 2 + 3 | × 2 | |
|---|---|---|---|---|---|
| Masse (en kg) | 1 | 2 | 3 | 5 | 10 |
| Prix (en €) | 1,2 | 2,4 | ? | ? | ? |
Prix pour 3 kg — colonne 3 = colonne 1 + colonne 2 :
Prix pour 5 kg — colonne 4 = colonne 2 + colonne 3 :
Prix pour 10 kg — colonne 5 = colonne 4 × 2 :
| Grandeur | 1 | 2 | 3 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| Masse (en kg) | 1 | 2 | 3 | 5 | 10 |
| Prix (en €) | 1,2 | 2,4 | 3,6 | 6 | 12 |
Dans un tableau de proportionnalité, si l'on connaît trois valeurs, alors on peut calculer la valeur manquante, appelée la quatrième proportionnelle.
Clarisse réalise une recette de cuisine et utilise les données d'un magazine. Il manque malheureusement une partie de la page. Aidez-la à compléter le tableau.
| Grandeur | Colonne 1 | Colonne 2 |
|---|---|---|
| Masse de sucre (en g) | 25 | ? |
| Masse de farine (en g) | 150 | 450 |
On connaît 25 g de sucre pour 150 g de farine. On cherche la masse de sucre nécessaire pour 450 g de farine. Voici 4 méthodes pour y arriver.
On calcule d'abord la masse de sucre pour 1 g de farine, puis on multiplie par 450.
| Grandeur | Colonne 1 | → pour 1 g de sucre | → pour 450 g de farine |
|---|---|---|---|
| Masse de sucre (en g) | 25 | 1 | 75 |
| Masse de farine (en g) | 150 | \(\dfrac{150}{25} = 6\) | 450 |
| Opération | ÷ 25 | × 75 |
Pour 1 g de sucre, on a besoin de :
On cherche combien de sucre pour 450 g de farine. On divise 450 par 6 :
On calcule le coefficient de proportionnalité (sucre ÷ farine), puis on l'applique à 450.
| Grandeur | Colonne 1 | Colonne 2 |
|---|---|---|
| Masse de sucre (en g) | 25 | 75 |
| Masse de farine (en g) | 150 | 450 |
| Coefficient (farine ÷ sucre) | × 6 sur toute la ligne | |
Le coefficient de proportionnalité (de la ligne sucre vers la ligne farine) est :
Pour trouver la masse de sucre à partir de 450 g de farine, on divise par 6 :
On cherche une opération simple reliant les deux colonnes connues, puis on l'applique à la valeur manquante.
| Grandeur | Colonne 1 | Colonne 2 |
|---|---|---|
| Masse de sucre (en g) | 25 | 75 |
| Masse de farine (en g) | 150 | 450 |
| Opération (colonne 1 → colonne 2) | × 3 | |
On remarque que \(150 \times 3 = 450\), donc on passe de la colonne 1 à la colonne 2 en multipliant par 3.
On multiplie les deux valeurs en diagonale, puis on divise par la troisième valeur connue.
| Grandeur | Colonne 1 | Colonne 2 |
|---|---|---|
| Masse de sucre (en g) | 25 | ? |
| Masse de farine (en g) | 150 | 450 |
| Sucre | 25 | ? |
| Farine | 150 | 450 |
Lorsqu'on représente graphiquement une situation de proportionnalité, les points sont alignés et la droite qui les relie passe par l'origine (le point (0 ; 0)).
Réciproquement, si les points sont alignés et que la droite passe par l'origine, alors la situation est une situation de proportionnalité.
Pour lire une valeur sur un graphique de proportionnalité, on part d'une valeur sur un axe, on trace une ligne jusqu'à la droite, puis on lit la valeur correspondante sur l'autre axe.