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Théorème de Pythagore n°2 — Correction interactive

📊 Progression
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📚 Ce qu'il faut savoir
Théorème de Pythagore

Si le triangle ABC est rectangle en A, alors :

BC2 = AB2 + AC2

L'hypoténuse (BC) est le côté opposé à l'angle droit — c'est toujours le plus grand côté.

Rédaction à respecter

On a : le triangle, l'angle droit, les données, l'hypoténuse

Or : d'après le théorème de Pythagore → lignes de calcul

Donc : la valeur (exacte et/ou approchée) + l'unité + la réponse

Hypoténuse ou côté de l'angle droit ? — Pour trouver l'hypoténuse, on additionne les carrés. Pour trouver un côté de l'angle droit, on soustrait (hypoténuse² − côté connu²).

Exercice 1Hypoténuse

✓ Vu

Le triangle ABC est rectangle en A.

Calculer la longueur [BC].

figure
[BC] est opposé à l'angle droit (en A) : c'est l'hypoténuse.
On cherche l'hypoténuse → on additionne les carrés des deux côtés de l'angle droit.
Ici la réponse tombe juste : c'est un triangle « 6 – 8 – 10 ».
On a : Le triangle ABC est rectangle en A.
AB = 6 cm ;  AC = 8 cm ;  Hypoténuse : [BC] — On cherche : BC
Or : d'après le théorème de Pythagore
BC2 = AB2 + AC2
BC2 = 62 + 82
BC2 = 36 + 64 = 100
BC = 100 = 10
Donc : BC a pour valeur exacte 10 cm.
La longueur BC mesure 10 cm.

Exercice 2Côté de l'angle droit

✓ Vu

Le triangle KLM est rectangle en L. On donne LM = 4 cm et KM = 9 cm.

Calculer la longueur [KL]. Arrondir le résultat au dixième.

figure
Repère d'abord l'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit (en L), donc [KM].
On cherche un côté de l'angle droit (pas l'hypoténuse) : on soustrait les carrés.
KL² = KM² − LM². Attention à bien mettre l'hypoténuse (KM) en premier.
On a : Le triangle KLM est rectangle en L.
LM = 4 cm ;  KM = 9 cm ;  Hypoténuse : [KM] — On cherche : KL
Or : d'après le théorème de Pythagore
KM2 = KL2 + LM2
KL2 = KM2 − LM2
KL2 = 92 − 42
KL2 = 81 − 16 = 65
KL = 65 ≈ 8,1
Donc : KL a pour valeur exacte 65 cm, soit environ 8,1 cm au dixième.
La longueur KL mesure environ 8,1 cm.
⚠️ Comme on cherche un côté de l'angle droit, on soustrait les carrés (et l'hypoténuse KM est au carré en premier).

Exercice 3Problème

✓ Vu

Un mât vertical est maintenu par un câble tendu. Le câble relie le sommet du mât à un piquet planté dans le sol. Le câble mesure 6,5 m et le piquet est planté à 2,5 m du pied du mât.

Calculer la hauteur du mât.

figure
Le mât est vertical et le sol horizontal : l'angle droit est au pied du mât.
Le câble relie le sommet au piquet : c'est le plus grand côté, donc l'hypoténuse.
On cherche un côté de l'angle droit (la hauteur) → on soustrait les carrés.
On a : Le triangle est rectangle au pied du mât (mât ⊥ sol).
Câble = 6,5 m (hypoténuse) ;  distance au piquet = 2,5 m — On cherche : la hauteur h
Or : d'après le théorème de Pythagore
câble2 = h2 + 2,52
h2 = 6,52 − 2,52
h2 = 42,25 − 6,25 = 36
h = 36 = 6
Donc : la hauteur du mât est 6 m (la valeur tombe juste).
Le mât mesure 6 m de haut.

Exercice 4Problème

✓ Vu

Léa veut attraper un ballon posé au bord d'un toit, à 2,4 m du sol. Elle installe le pied d'une échelle à 1,8 m du mur. L'échelle mesure 2,8 m.

figure

L'échelle est-elle assez longue pour atteindre le ballon ? Justifier.

Fais d'abord un schéma : le mur (2,4 m) et le sol (1,8 m) forment l'angle droit.
Calcule la longueur dont Léa a besoin : c'est l'hypoténuse (du pied de l'échelle jusqu'au ballon).
Compare ensuite cette longueur nécessaire avec la longueur réelle de l'échelle (2,8 m).
Longueur nécessaire pour atteindre le ballon
On a : Le triangle est rectangle (mur ⊥ sol).
Côtés de l'angle droit : 1,8 m et 2,4 m ;  Hypoténuse : la distance d à parcourir
Or : d'après le théorème de Pythagore
d2 = 1,82 + 2,42
d2 = 3,24 + 5,76 = 9
d = 9 = 3
Donc : il faut une échelle d'au moins 3 m.
Il faudrait une échelle de 3 m, or elle ne mesure que 2,8 m.
Conclusion : 2,8 m < 3 m, donc non, l'échelle est trop courte : il manque 20 cm pour atteindre le ballon.
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