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Théorème de Pythagore n°3 — Correction interactive

📊 Progression
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📚 Ce qu'il faut savoir
Théorème de Pythagore

Si le triangle ABC est rectangle en A, alors :

BC2 = AB2 + AC2

L'hypoténuse (BC) est le côté opposé à l'angle droit — c'est toujours le plus grand côté.

Rédaction à respecter

On a : le triangle, l'angle droit, les données, l'hypoténuse

Or : d'après le théorème de Pythagore → lignes de calcul

Donc : la valeur (exacte et/ou approchée) + l'unité + la réponse

Deux triangles accolés — si un triangle est rectangle en un point et que trois points sont alignés en ce point, alors l'angle « de l'autre côté » vaut aussi 90° (angle plat 180° − 90°) : le second triangle est rectangle au même point. Pas besoin de la réciproque.

Exercice 1Deux triangles

✓ Vu

Les points A, B et C sont alignés et le triangle ABD est rectangle en B.

figure
1
Calculer la longueur BD.
2
Expliquer pourquoi le triangle BCD est lui aussi rectangle en B.
3
Calculer la longueur DC.
Q1 : dans ABD rectangle en B, l'hypoténuse est [AD] (opposée à B). Tu cherches un côté de l'angle droit → soustraction.
Q2 : si l'angle ABD = 90° et que A, B, C sont alignés, que vaut l'angle DBC ?
Q3 : une fois BD trouvé, le triangle BCD est rectangle en B avec les côtés BD et BC : tu cherches l'hypoténuse [DC].
1) Longueur BD
On a : Le triangle ABD est rectangle en B.
AB = 9 cm ;  AD = 15 cm ;  Hypoténuse : [AD] — On cherche : BD
Or : d'après le théorème de Pythagore
AD2 = AB2 + BD2
BD2 = AD2 − AB2
BD2 = 152 − 92
BD2 = 225 − 81 = 144
BD = 144 = 12
Donc : BD = 12 cm.
La longueur BD mesure 12 cm.
2) Pourquoi BCD est rectangle en B
On sait : le triangle ABD est rectangle en B, donc l'angle de sommet B vaut 90°.
Or : les points A, B et C sont alignés, donc l'angle qu'ils forment en B est un angle plat (180°).
90° + 90° = 180° → le second angle en B vaut aussi 90°
Donc : le triangle BCD est lui aussi rectangle en B. ∎
3) Longueur DC
On a : Le triangle BCD est rectangle en B.
BD = 12 cm ;  BC = 5 cm ;  Hypoténuse : [DC] — On cherche : DC
Or : d'après le théorème de Pythagore
DC2 = BD2 + BC2
DC2 = 122 + 52
DC2 = 144 + 25 = 169
DC = 169 = 13
Donc : DC = 13 cm.
La longueur DC mesure 13 cm.

Exercice 2Deux triangles

✓ Vu

Les points R, S et T sont alignés et le triangle RSU est rectangle en S.

figure
1
Calculer la longueur SU.
2
Expliquer pourquoi le triangle STU est lui aussi rectangle en S.
3
Calculer la longueur ST.
Q1 : dans RSU rectangle en S, l'hypoténuse est [RU]. Tu cherches le côté SU → soustraction.
Q2 : même raisonnement qu'à l'exercice 1 avec l'angle plot en S (R, S, T alignés).
Q3 : STU est rectangle en S, hypoténuse [UT] = 15 cm, tu cherches le côté ST → soustraction.
1) Longueur SU
On a : Le triangle RSU est rectangle en S.
RS = 5 cm ;  RU = 13 cm ;  Hypoténuse : [RU] — On cherche : SU
Or : d'après le théorème de Pythagore
RU2 = RS2 + SU2
SU2 = RU2 − RS2
SU2 = 132 − 52
SU2 = 169 − 25 = 144
SU = 144 = 12
Donc : SU = 12 cm.
La longueur SU mesure 12 cm.
2) Pourquoi STU est rectangle en S
On sait : le triangle RSU est rectangle en S, donc l'angle de sommet S vaut 90°.
Or : les points R, S et T sont alignés, donc l'angle qu'ils forment en S est un angle plat (180°).
90° + 90° = 180° → le second angle en S vaut aussi 90°
Donc : le triangle STU est lui aussi rectangle en S. ∎
3) Longueur ST
On a : Le triangle STU est rectangle en S.
SU = 12 cm ;  UT = 15 cm ;  Hypoténuse : [UT] — On cherche : ST
Or : d'après le théorème de Pythagore
UT2 = SU2 + ST2
ST2 = UT2 − SU2
ST2 = 152 − 122
ST2 = 225 − 144 = 81
ST = 81 = 9
Donc : ST = 9 cm.
La longueur ST mesure 9 cm.

Exercice 3Problème

✓ Vu

Un parcours sportif relie les points M, Q et P. Les points M, N et P sont alignés et le poteau [QN] est planté perpendiculairement au sol : le triangle MNQ est rectangle en N.

figure
1
Calculer la longueur QN.
2
Expliquer pourquoi le triangle NPQ est lui aussi rectangle en N.
3
Calculer la longueur QP.
4
Un coureur part de M, passe par Q, puis rejoint P. Calculer la longueur totale de son trajet.
Q1 : MNQ rectangle en N, hypoténuse [MQ] = 17 m, tu cherches QN → soustraction.
Q3 : il faut d'abord trouver NP. Les données donnent MN et MP : comment obtenir NP ?
Q4 : le trajet M→Q→P, c'est MQ + QP (deux segments).
1) Longueur QN
On a : Le triangle MNQ est rectangle en N.
MN = 8 m ;  MQ = 17 m ;  Hypoténuse : [MQ] — On cherche : QN
Or : d'après le théorème de Pythagore
MQ2 = MN2 + QN2
QN2 = MQ2 − MN2
QN2 = 172 − 82
QN2 = 289 − 64 = 225
QN = 225 = 15
Donc : QN = 15 m.
La hauteur QN mesure 15 m.
2) Pourquoi NPQ est rectangle en N
On sait : le triangle MNQ est rectangle en N, donc l'angle de sommet N vaut 90°.
Or : les points M, N et P sont alignés, donc l'angle qu'ils forment en N est un angle plat (180°).
90° + 90° = 180° → le second angle en N vaut aussi 90°
Donc : le triangle NPQ est lui aussi rectangle en N. ∎
3) Longueur QP
D'abord : comme M, N, P sont alignés, NP = MP − MN = 28 − 8 = 20 m.
On a : Le triangle NPQ est rectangle en N.
QN = 15 m ;  NP = 20 m ;  Hypoténuse : [QP] — On cherche : QP
Or : d'après le théorème de Pythagore
QP2 = QN2 + NP2
QP2 = 152 + 202
QP2 = 225 + 400 = 625
QP = 625 = 25
Donc : QP = 25 m.
La longueur QP mesure 25 m.
4) Longueur totale du trajet M → Q → P
MQ + QP = 17 + 25 = 42 m
Le trajet du coureur mesure 42 m.

Exercice 4Losange

✓ Vu

ABCD est un losange de centre O. Ses diagonales mesurent AC = 16 cm et BD = 12 cm.

figure
1
Calculer la longueur d'un côté du losange.
2
En déduire le périmètre du losange.
Dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu O.
Donc OA = AC ÷ 2 = 8 cm et OB = BD ÷ 2 = 6 cm, et le triangle AOB est rectangle en O.
Le côté du losange, c'est [AB] : c'est l'hypoténuse du triangle AOB.
1) Longueur d'un côté
Propriété : les diagonales d'un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu O.
Donc OA = 16 ÷ 2 = 8 cm et OB = 12 ÷ 2 = 6 cm, et le triangle AOB est rectangle en O.
On a : Le triangle AOB est rectangle en O.
OA = 8 cm ;  OB = 6 cm ;  Hypoténuse : [AB] (le côté) — On cherche : AB
Or : d'après le théorème de Pythagore
AB2 = OA2 + OB2
AB2 = 82 + 62
AB2 = 64 + 36 = 100
AB = 100 = 10
Donc : le côté AB mesure 10 cm.
Chaque côté du losange mesure 10 cm.
2) Périmètre du losange
P = 4 × côté = 4 × 10 = 40 cm
Le périmètre du losange est de 40 cm.

Exercice 5Problème

✓ Vu

Un randonneur part du point A. Il marche d'abord 5 km vers le nord jusqu'au point B, puis 12 km vers l'est jusqu'au point C.

Calculer la distance AC qui sépare le randonneur, à vol d'oiseau, de son point de départ.

Fais un schéma : nord puis est, ça forme un angle droit en B.
Le triangle ABC est rectangle en B, avec AB = 5 km et BC = 12 km.
La distance « à vol d'oiseau » AC est l'hypoténuse → on additionne les carrés.
On a : Le nord et l'est sont perpendiculaires, donc le triangle ABC est rectangle en B.
AB = 5 km ;  BC = 12 km ;  Hypoténuse : [AC] — On cherche : AC
Or : d'après le théorème de Pythagore
AC2 = AB2 + BC2
AC2 = 52 + 122
AC2 = 25 + 144 = 169
AC = 169 = 13
Donc : AC = 13 km.
Le randonneur se trouve à 13 km de son point de départ (à vol d'oiseau).

Exercice 6Problème

✓ Vu

Un portail rectangulaire ABCD mesure 2 m de longueur et 1,5 m de hauteur. Pour le renforcer, un menuisier fixe une barre rigide le long de la diagonale [AC].

figure

Calculer la longueur de la barre [AC].

Dans un rectangle, tous les angles sont droits : le triangle ABC est rectangle en B.
La barre [AC] est une diagonale : c'est l'hypoténuse du triangle ABC.
On additionne les carrés de la longueur (2 m) et de la hauteur (1,5 m).
On a : ABCD est un rectangle, donc le triangle ABC est rectangle en B.
AB = 2 m ;  BC = 1,5 m ;  Hypoténuse : [AC] (la barre) — On cherche : AC
Or : d'après le théorème de Pythagore
AC2 = AB2 + BC2
AC2 = 22 + 1,52
AC2 = 4 + 2,25 = 6,25
AC = 6,25 = 2,5
Donc : AC = 2,5 m (la valeur tombe juste).
La barre [AC] mesure 2,5 m.
🏆
Bravo, tu as tout vu !
⭐⭐⭐

Tu as consulté toutes les corrections. Refais les exercices seul(e) pour vraiment maîtriser le théorème de Pythagore !

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