Géométrie · 4ᵉ
Un triangle rectangle, trois carrés sur ses côtés. Calcule leurs aires, fais glisser les cases pour remplir le grand carré, découvre le théorème, puis apprends à retrouver un côté avec la racine carrée.
Étape 1 — Observer
Sur chaque côté du triangle rectangle, on a construit un carré. Ne confonds pas : a, b, c sont les longueurs des côtés (dans les petites étiquettes) ; a², b², c² sont les aires des carrés (au centre des carrés).
La longueur est sur le côté ; l'aire est à l'intérieur du carré.
Étape 2 — Calculer, remplir, conclure
Les longueurs sont b = 3, c = 4, a = 5. Tu connais l'aire d'un carré : côté × côté. Suis les trois temps A, B, C.
A. Commence par calculer les trois aires ci-dessous.
A. Calcule les aires
B. Fais le puzzle
Fais glisser les cases des carrés b et c dans le carré a. Reste-t-il un trou ou un débordement ?
Cases placées dans le carré a : 0 / 25
C. Écris l'égalité que tu viens de découvrir
L'aire du grand carré est égale à la somme des aires des deux petits. Écris-la avec les nombres (le plus grand d'abord).
( aire a = aire b + aire c )
Étape 3 — Formaliser
Les 25 cases des deux petits carrés ont rempli le grand exactement : 9 + 16 = 25. L'aire du carré de l'hypoténuse est la somme des aires des deux autres.
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit (le plus long). On la note a ; b et c sont les côtés de l'angle droit.
L'aire du carré construit sur un côté est le carré de sa longueur. Comme le grand carré se remplit avec les deux petits :
a² = b² + c²
C'est le théorème de Pythagore. Il relie l'aire du carré de l'hypoténuse aux aires des deux autres carrés.
Étape 4 — Un nouvel outil
Le théorème te donne l'aire a². Mais toi, tu veux la longueur a. Il faut donc faire l'inverse de « mettre au carré ». Suis les quatre temps.
1. Mettre au carré (plusieurs fois)
Mettre un nombre au carré, c'est le multiplier par lui-même. Choisis un côté (de 1 à 12) pour le voir, puis calcule.
2. Le problème inverse (plusieurs fois)
On connaît l'aire, on cherche le côté. Quel nombre, mis au carré, donne… ?
3. On tombe sur un os
Et celui-ci ? Quel nombre, mis au carré, donne 2 ?
Aucun nombre entier ne marche : 1² = 1 (trop petit) et 2² = 4 (trop grand). Le nombre cherché est entre 1 et 2, mais ce n'est pas un nombre « simple ».
On lui donne un nom et un symbole : la racine carrée. Le nombre positif dont le carré vaut 2 s'écrit :
on le lit « racine carrée de 2 » · ≈ 1,41
est le nombre positif dont le carré vaut a : c'est l'inverse de « mettre au carré ».
Si a est un carré parfait, la racine est un nombre entier : = 6 car 6² = 36.
Sinon, on laisse le nombre sous le symbole : , …
4. Calculer des racines carrées
La racine carrée donne directement le côté quand l'aire est un carré parfait. Calcule :
Étape 5 — S'entraîner
Exercices réussis : 0 (objectif : 3 pour valider)
—
Schéma non à l'échelle.