Multiplier et
diviser

Nombres relatifs · Partie 2 : le monde multiplicatif · Fiche n°2 · 4^ème

× et ÷ : même méthode Le signe, puis la valeur

📌 Ce qu'il faut savoir

La méthode : le signe, puis la valeur

① Le signe. Je compte les « − ». Chaque « − » retourne le résultat, comme un interrupteur. Un nombre pair de « − » → résultat positif ; un nombre impair → résultat négatif.
② La valeur. Je multiplie (ou divise) les nombres sans leurs signes.
👉 Jamais les deux en même temps. Et $\times$ et $\div$ se traitent exactement pareil.

⚠️ Deux mondes, deux rôles du « − »

Dans une somme, chaque « − » est une quantité (une dette) : on fait le bilan.
Dans un produit, chaque « − » est un retournement : on compte s'il y en a un nombre pair ou impair.
👉 Ne mélange pas les deux méthodes !

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Exercice 1 / 5

Multiplier 2 facteurs

✓ Vu

Calcule.

a)$(+4)\times(-3)$

b)$(-5)\times(-2)$

c)$(-6)\times(+7)$

💡 De quoi ai-je besoin ici ?

Dans le monde multiplicatif, rien à griser : les deux étapes servent toujours, et dans cet ordre — jamais en même temps.

①LE SIGNE : je compte les « − ». Pair → + (bleu), impair → − (rouge).★ d'abord

②LA VALEUR : je multiplie les nombres sans leurs signes.★ ensuite

Pour le a) : un seul « − ». Un interrupteur → le résultat est retourné une fois → il sera négatif (rouge). Ensuite seulement, je calcule $4\times3$.

Chaque « − » est un interrupteur qui retourne le résultat. Pair → on revient à l'endroit (positif, bleu). Impair → à l'envers (négatif, rouge).

$(+4)\times(\colorbox{#ffe9a6}{$-$}3)$1 interrupteur

① Le signe

1 fois « − » → impair → négatif

② La valeur

$4\times3=12$

$=\textcolor{#c0283f}{-12}$

$(\colorbox{#ffe9a6}{$-$}5)\times(\colorbox{#ffe9a6}{$-$}2)$2 interrupteurs

① Le signe

2 fois « − » → pair → positif

② La valeur

$5\times2=10$

$=\textcolor{#1d5fa8}{+10}$

$(\colorbox{#ffe9a6}{$-$}6)\times(+7)$1 interrupteur

① Le signe

1 fois « − » → impair → négatif

② La valeur

$6\times7=42$

$=\textcolor{#c0283f}{-42}$

Exercice 2 / 5

Diviser Même méthode que ×

✓ Vu

Calcule.

a)$(-12)\div(+3)$

b)$(+20)\div(-4)$

c)$(-18)\div(-6)$

💡 De quoi ai-je besoin ici ?

La division marche exactement comme la multiplication : rien ne change.

①LE SIGNE : je compte les « − ». Pair → + (bleu), impair → − (rouge).★ d'abord

②LA VALEUR : je divise les nombres sans leurs signes.★ ensuite

Ne change rien à tes habitudes de la multiplication : compte les « − » pour le signe, puis divise les nombres. Pour le c) : deux « − » → pair → positif.

$(\colorbox{#ffe9a6}{$-$}12)\div(+3)$1 interrupteur

① Le signe

1 fois « − » → impair → négatif

② La valeur

$12\div3=4$

$=\textcolor{#c0283f}{-4}$

$(+20)\div(\colorbox{#ffe9a6}{$-$}4)$1 interrupteur

① Le signe

1 fois « − » → impair → négatif

② La valeur

$20\div4=5$

$=\textcolor{#c0283f}{-5}$

$(\colorbox{#ffe9a6}{$-$}18)\div(\colorbox{#ffe9a6}{$-$}6)$2 interrupteurs

① Le signe

2 fois « − » → pair → positif

② La valeur

$18\div6=3$

$=\textcolor{#1d5fa8}{+3}$

Exercice 3 / 5

Multiplier Plusieurs facteurs

✓ Vu

Calcule.

a)$(-2)\times(+3)\times(-4)$

b)$(-1)\times(-2)\times(-5)$

c)$(+2)\times(-3)\times(-1)\times(-5)$

💡 De quoi ai-je besoin ici ?

Beaucoup de facteurs, mais la même méthode : compter les « − » suffit, même avec 3 ou 4 nombres.

①LE SIGNE : je compte TOUS les « − ». Pair → + (bleu), impair → − (rouge).★ d'abord

②LA VALEUR : je multiplie tous les nombres sans leurs signes.★ ensuite

Chaque « − » retourne le résultat. Deux « − » se neutralisent (on revient à l'endroit). Il suffit donc de savoir s'il reste un retournement « en trop » → c'est la parité : pair ou impair.

$(\colorbox{#ffe9a6}{$-$}2)\times(+3)\times(\colorbox{#ffe9a6}{$-$}4)$2 interrupteurs

① Le signe

2 fois « − » → pair → positif

② La valeur

$2\times3\times4=24$

$=\textcolor{#1d5fa8}{+24}$

$(\colorbox{#ffe9a6}{$-$}1)\times(\colorbox{#ffe9a6}{$-$}2)\times(\colorbox{#ffe9a6}{$-$}5)$3 interrupteurs

① Le signe

3 fois « − » → impair → négatif

② La valeur

$1\times2\times5=10$

$=\textcolor{#c0283f}{-10}$

$(+2)\times(\colorbox{#ffe9a6}{$-$}3)\times(\colorbox{#ffe9a6}{$-$}1)\times(\colorbox{#ffe9a6}{$-$}5)$3 interrupteurs

① Le signe

3 fois « − » → impair → négatif

② La valeur

$2\times3\times1\times5=30$

$=\textcolor{#c0283f}{-30}$

Exercice 4 / 5

Mélanger × et ÷ Même méthode

✓ Vu

Calcule.

a)$(-24)\div(+4)\times(-2)$

b)$(+30)\div(-5)\div(-2)$

c)$(-8)\times(-3)\div(-6)$

💡 De quoi ai-je besoin ici ?

× et ÷ mélangés : aucune règle nouvelle. On compte les « − » sur tout le calcul.

①LE SIGNE : je compte les « − » de tout le calcul (× comme ÷). Pair → + , impair → −.★ d'abord

②LA VALEUR : je calcule de gauche à droite avec les nombres sans signes.★ ensuite

Pour la valeur, calcule dans l'ordre d'écriture. Ex a) : $24\div4=6$, puis $6\times2=12$. Le signe, lui, se décide à part, en comptant les « − ».

$(\colorbox{#ffe9a6}{$-$}24)\div(+4)\times(\colorbox{#ffe9a6}{$-$}2)$2 interrupteurs

① Le signe

2 fois « − » → pair → positif

② La valeur

$24\div4=6$, puis $6\times2=12$

$=\textcolor{#1d5fa8}{+12}$

$(+30)\div(\colorbox{#ffe9a6}{$-$}5)\div(\colorbox{#ffe9a6}{$-$}2)$2 interrupteurs

① Le signe

2 fois « − » → pair → positif

② La valeur

$30\div5=6$, puis $6\div2=3$

$=\textcolor{#1d5fa8}{+3}$

$(\colorbox{#ffe9a6}{$-$}8)\times(\colorbox{#ffe9a6}{$-$}3)\div(\colorbox{#ffe9a6}{$-$}6)$3 interrupteurs

① Le signe

3 fois « − » → impair → négatif

② La valeur

$8\times3=24$, puis $24\div6=4$

$=\textcolor{#c0283f}{-4}$

Exercice 5 / 5

Juste le signe Produits géants

✓ Vu

On ne peut pas tout calculer : trouve seulement le SIGNE du résultat.

a)$(-1)\times(-1)\times\cdots\times(-1)$ avec 473 facteurs tous égaux à $-1$. Combien vaut ce produit ?

b)On multiplie 43 nombres relatifs (aucun nul), dont 15 sont positifs. Quel est le signe du résultat ?

c)On multiplie 60 nombres relatifs (aucun nul), dont 7 sont négatifs. Quel est le signe du résultat ?

💡 De quoi ai-je besoin ici ?

Ici, seul le signe est demandé : inutile (ou impossible) de calculer la valeur. Tout se joue sur la parité du nombre de « − ».

①LE SIGNE : je compte les « − » et je regarde s'il y en a un nombre pair ou impair.★ tout est là

②LA VALEUR : je multiplie les nombres sans leurs signes.— pas demandée ici

Un nombre est pair s'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 ; impair s'il se termine par 1, 3, 5, 7 ou 9. Pour b), commence par trouver combien il y a de négatifs : $43-15$.

Pour le signe, seuls les « − » comptent — et seule leur parité compte. Les retournements s'annulent deux par deux : s'il en reste un « en trop » (impair), le résultat est négatif ; sinon (pair), il est positif. Pas besoin de la valeur.

① Le signe

473 fois « − » → 473 est impair → négatif

② La valeur

$1\times1\times\cdots\times1=1$

$=\textcolor{#c0283f}{-1}$

473 se termine par 3 : c'est impair. Il reste un retournement « en trop » → résultat négatif.

① Le signe

négatifs : $43-15=28$ → 28 est pair → positif

② La valeur

non demandée

→ le produit est positif

Seuls les négatifs décident du signe : 28, c'est pair → les retournements se neutralisent deux par deux.

① Le signe

7 négatifs → 7 est impair → négatif

② La valeur

non demandée

→ le produit est négatif

Les 53 nombres positifs ne changent rien au signe : seuls les « − » comptent.