Factorisation

Expressions littérales — 4ème · Fiche 3 / 4

Facteur commun Mettre en évidence 5 exercices
📖 Rappel — Factoriser une expression
Étape 1 — Trouver le facteur commun
Chercher ce qui est commun à tous les termes : un nombre, une lettre, ou les deux.

Dans \(4x + 4\), le facteur commun est \(4\).
Dans \(x^2 + 2x\), le facteur commun est \(x\).
Étape 2 — Mettre en facteur
On écrit le facteur commun devant une parenthèse contenant ce qu'il reste de chaque terme.

\(4x + 4 = 4(x + 1)\)
\(x^2 + 2x = x(x + 2)\)
\(ab + ac = a(b + c)\)  —  on factorise par \(a\)
⚠️ Vérification : développer la réponse doit redonner l'expression de départ.
Progression
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Exercice 1 / 5

Facteur numérique visible
✓ Vu
🔍 Le facteur commun est un nombre qui divise tous les termes. Factoriser chaque expression.
\(4x + 4\)
\(2x - 4\)
\(6a + 9\)
\(8a - 4\)

💡 Indice

Pour trouver le facteur commun, cherche le plus grand entier qui divise tous les coefficients. Comment listes-tu les diviseurs d'un nombre pour trouver ceux qu'il partage avec un autre ?
Une fois le facteur commun trouvé, comment le « mettre devant » la parenthèse ? Que reste-t-il dans la parenthèse pour chaque terme ? Comment vérifier que la factorisation est correcte ?
\(4x + 4\)
\(= \)\(4\)\( \times x + \)\(4\)\( \times 1\)
\(= 4(x + 1)\)
\(2x - 4\)
\(= \)\(2\)\( \times x - \)\(2\)\( \times 2\)
\(= 2(x - 2)\)
\(6a + 9\)
\(= \)\(3\)\( \times 2a + \)\(3\)\( \times 3\)
\(= 3(2a + 3)\)
\(8a - 4\)
\(= \)\(4\)\( \times 2a - \)\(4\)\( \times 1\)
\(= 4(2a - 1)\)

💡 En orange : le facteur commun extrait. Vérification rapide : redévelopper doit redonner l'expression de départ.

Exercice 2 / 5

Facteur lettre ou nombre
✓ Vu
🔤 Le facteur commun peut être une lettre (ex : \(x^2+2x\)) ou un nombre (ex : \(2x+8\)). Bien regarder chaque terme avant de décider.
\(x^2 + 2x\)
\(2x + 8\)
\(5a + a^2\)
\(x^2 - 7x\)

💡 Indice

Pour factoriser par une lettre, pose-toi une question : est-ce que cette lettre apparaît dans chaque terme de l'expression ? Que peut-on écrire \(x^2\) comme produit ?
Pour \(2x + 8\) : la lettre n'est pas le facteur commun ici. Y a-t-il un nombre qui divise à la fois 2 et 8 ?
\(x^2 + 2x\)
\(= \)\(x\)\( \times x + \)\(x\)\( \times 2\)
\(= x(x + 2)\)
\(2x + 8\)
\(= \)\(2\)\( \times x + \)\(2\)\( \times 4\)
\(= 2(x + 4)\)
\(5a + a^2\)
\(= \)\(a\)\( \times 5 + \)\(a\)\( \times a\)
\(= a(5 + a)\)
\(x^2 - 7x\)
\(= \)\(x\)\( \times x - \)\(x\)\( \times 7\)
\(= x(x - 7)\)

Exercice 3 / 5

Facteur mixte (nb × lettre)
✓ Vu
🧩 Le facteur commun est ici à la fois un nombre et une lettre. Il faut trouver le plus grand facteur commun possible.
\(3x^2 + 6x\)
\(4x^2 - 8x\)
\(24x^2 + 8x\)

💡 Indices

Pour chaque expression, cherche d'abord le plus grand nombre qui divise tous les coefficients, puis demande-toi si la lettre est présente dans chaque terme. Le facteur commun est leur produit.
Pour \(24x^2 + 8x\) : quel est le plus grand diviseur commun de 24 et 8 ? La lettre est-elle présente dans les deux termes ? Comment combiner ces deux informations ?
Méthode pour trouver le facteur mixte
On cherche : (1) le plus grand nombre qui divise tous les coefficients, (2) la lettre commune à tous les termes. Le facteur commun est leur produit.
\(3x^2 + 6x\)
3 divise 6 et 3 · \(x\) dans les deux termes
Facteur : \(3x\)
\(= 3x \times x + 3x \times 2\)
\(= 3x(x + 2)\)
Vérif : \(3x(x+2) = 3x^2+6x\) ✓
\(4x^2 - 8x\)
4 divise 8 et 4 · \(x\) dans les deux termes
Facteur : \(4x\)
\(= 4x \times x - 4x \times 2\)
\(= 4x(x - 2)\)
Vérif : \(4x(x-2) = 4x^2-8x\) ✓
\(24x^2 + 8x\)
8 divise 24 et 8 · \(x\) dans les deux termes
Facteur : \(8x\)
\(= 8x \times 3x + 8x \times 1\)
\(= 8x(3x + 1)\)
Vérif : \(8x(3x+1) = 24x^2+8x\) ✓

Exercice 4 / 5

Développer pour vérifier
✓ Vu
🔎 Un élève a factorisé ces expressions. Certaines factorisations sont correctes, d'autres contiennent une erreur. Développer chaque expression factorisée pour vérifier.
a.\(3x + 15 = 3(x + 5)\)
b.\(8x + 3 = 2(4x + 3)\)
c.\(x^2 + 6 = x(x + 6)\)
d.\(10a + 5 = 5(2a + 1)\)

💡 Indice

Pour vérifier, développe le membre de droite en distribuant le facteur devant la parenthèse. Si tu retombes sur l'expression de gauche, c'est correct. Sinon, l'élève a fait une erreur — laquelle ?
a. \(3(x + 5) = 3x + 15\) ✓
✅ Correct
b. \(2(4x + 3) = 8x + 6\)
Or le membre gauche vaut \(8x + 3\), pas \(8x + 6\).
❌ Faux — le 3 n'a pas été multiplié par 2
c. \(x(x + 6) = x^2 + 6x\)
Or le membre gauche vaut \(x^2 + 6\), pas \(x^2 + 6x\).
❌ Faux — \(6\) n'est pas divisible par \(x\)
d. \(5(2a + 1) = 10a + 5\) ✓
✅ Correct

💡 Développer est le moyen le plus sûr de vérifier une factorisation : si on ne retombe pas sur l'expression de départ, il y a une erreur !

Exercice 5 / 5

⭐ Bilan Aires & factorisation
✓ Vu
🌟 Un terrain rectangulaire de largeur \(x\) mètres est divisé en deux parcelles côte à côte : une parcelle « potager » de longueur \(x\) et une parcelle « pelouse » de longueur \(4\).
Potager Pelouse x 4 x x + 4
1.Exprimer l'aire du potager et l'aire de la pelouse en fonction de \(x\). En déduire l'aire totale sous forme d'une somme.
2.Les deux parcelles forment un seul grand rectangle. Quelles sont ses dimensions ? En déduire l'aire totale sous forme d'un produit (forme factorisée).
3.Développer l'expression factorisée. Que constate-t-on ?
4.Calculer l'aire totale pour \(x = 6\) en utilisant la forme la plus pratique.

💡 Indice

L'aire totale peut se calculer en additionnant les deux parcelles séparément, ou en considérant le grand rectangle entier. Les deux résultats doivent être égaux — c'est exactement ce que dit la factorisation !
Pour calculer avec une valeur de \(x\), quelle forme est la plus rapide : une somme de deux termes ou un seul produit ?
Question 1 — Aire comme somme
Potager : \(x \times x = x^2\)
Pelouse : \(x \times 4 = 4x\)
\(\mathcal{A}_\text{totale} = x^2 + 4x\)  (forme développée)
Question 2 — Aire comme produit
Le grand rectangle a pour largeur \(x\) et pour longueur \(x + 4\).
\(\mathcal{A}_\text{totale} = x(x + 4)\)  (forme factorisée)
Question 3 — Développer pour vérifier
\(x(x + 4) = x \times x + x \times 4 = x^2 + 4x\)
On retrouve bien la somme de la question 1.
\(x(x + 4) = x^2 + 4x\) ✓
Question 4 — Calcul pour \(x = 6\)
Forme factorisée : \(6 \times (6 + 4) = 6 \times 10\)
\(\mathcal{A} = 60 \text{ m}^2\)
Vérif. avec la somme : \(6^2 + 4 \times 6 = 36 + 24 = 60\) ✓

💡 Factoriser et développer sont deux façons de voir la même aire. La forme factorisée est souvent plus rapide pour calculer !

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