Révisions — Calcul littéral

Expressions littérales — 4ème · Fiche de révisions

⚙️ Programmes 📐 Périmètres 5 exercices
📖 L'essentiel à retenir
1 · Simplifier
On enlève les signes \(\times\) inutiles et on écrit le nombre devant.
\(3 \times x \times 2 = 6x\)  ·  \(x \times x = x^2\)
2 · Réduire
On regroupe les termes semblables : les \(x\) ensemble, les \(x^2\) ensemble, les nombres ensemble.
\(5x + 3 - 2x + 1 = 3x + 4\)
3 · Développer
On multiplie le facteur par chaque terme de la parenthèse.
\(k(a + b) = ka + kb\)  ·  \(4(x - 3) = 4x - 12\)
4 · Factoriser
C'est le contraire : on met le facteur commun devant la parenthèse.
\(ka + kb = k(a + b)\)  ·  \(6x + 9 = 3(2x + 3)\)
⚙️ 5 · Programme de calcul → expression
  1. On part de \(x\) et on écrit l'expression après chaque étape.
  2. « Multiplier le résultat » → on met tout ce qu'on a déjà entre parenthèses.
  3. On développe, puis on réduit.
  4. On vérifie avec un nombre : le programme et l'expression doivent donner le même résultat.
\(x \;\to\; x + 4 \;\to\; 3(x + 4) \;\to\; 3(x+4) - x = 2x + 12\)
📐 6 · Périmètre d'une figure
Le périmètre, c'est la somme des longueurs de tous les côtés. On écrit chaque côté entre parenthèses, puis on réduit. Attention aux côtés codés (même longueur) et aux côtés non marqués qu'il faut déduire.
Rectangle : \(P = 2 \times \text{longueur} + 2 \times \text{largeur}\)  ·  Carré : \(P = 4 \times \text{côté}\)
⚠️ Les pièges classiques
  • \(x + x = 2x\) mais \(x \times x = x^2\).
  • \(3x + 2\) ne se réduit pas : un terme en \(x\) et un nombre restent séparés. Pareil pour \(x\) et \(x^2\).
  • Oublier les parenthèses : \(2x + 5 \times 3\) n'est pas « ajouter 5 puis multiplier par 3 ».
  • Pour prouver que deux expressions sont toujours égales : on les réduit. Pour prouver que c'est faux : un seul contre-exemple suffit.
Progression
0 / 5
1Les automatismes

Exercice 1 / 5

SimplifierRéduire
✓ Vu

Simplifier, puis réduire si possible :

a.\(3 \times x \times 4\)
b.\(x \times x \times 5\)
c.\(7x + 2 - 3x + 5\)
d.\(2x^2 + x - x^2 + 4x\)
e.\(6a - 2b + a + 5b\)
f.\(3 \times x + 2 \times x \times x - x\)

💡 Indices

Dans un produit, on peut changer l'ordre des facteurs. Où place-t-on le nombre ? Et combien de fois la lettre apparaît-elle dans le produit ?
Avant d'additionner, trie les termes par « famille ». Est-ce que \(x\) et \(x^2\) sont de la même famille ? Et \(a\) et \(b\) ?
a. \(3 \times 4 \times x = 12x\)
b. \(5 \times x \times x = 5x^2\)
c. \(7x\) \(+\) \(2\) \(-\) \(3x\) \(+\) \(5\)
\(= 4x + 7\)
d. \(2x^2\) \(+\) \(x\) \(-\) \(x^2\) \(+\) \(4x\)
\(= x^2 + 5x\)
e. \(6a + a - 2b + 5b\)
\(= 7a + 3b\)
f. \(3x\) \(+\) \(2x^2\) \(-\) \(x\)
\(= 2x^2 + 2x\)

💡 On simplifie d'abord chaque produit, ensuite seulement on regroupe les termes semblables.

Exercice 2 / 5

DévelopperFactoriser
✓ Vu

Développer :

a.\(5(x + 2)\)
b.\(x(2x - 3)\)
c.\(4(3a - 1)\)

Factoriser :

d.\(6x + 18\)
e.\(x^2 + 5x\)
f.\(10x - 15\)

💡 Indices

Combien de termes y a-t-il dans la parenthèse ? Le facteur de devant doit multiplier chacun d'eux.
Qu'est-ce qui se trouve dans tous les termes : un nombre qui les divise, une lettre, ou les deux ? Pour vérifier, redéveloppe ta réponse.
a. \(5(x+2) = 5x + 10\)
b. \(x(2x-3) = 2x^2 - 3x\)
c. \(4(3a-1) = 12a - 4\)
d. \(6x + 18 = 6 \times x + 6 \times 3\)
\(= 6(x + 3)\)
e. \(x^2 + 5x = x \times x + x \times 5\)
\(= x(x + 5)\)
f. \(10x - 15 = 5 \times 2x - 5 \times 3\)
\(= 5(2x - 3)\)

💡 Développer et factoriser sont deux chemins inverses : développer une factorisation doit redonner l'expression de départ.

2Programmes de calcul

Exercice 3 / 5

Programmes comparésContre-exemple
✓ Vu
Programme A
1Choisir un nombre
2Ajouter 2
3Multiplier le résultat par 5
4Soustraire 10
Programme B
1Choisir un nombre
2Multiplier par 4
3Ajouter le nombre de départ
1.Quel résultat obtient-on avec 3 au départ, pour chacun des deux programmes ?
2.Les programmes A et B donnent-ils toujours le même résultat ? Justifier.
3.Malik invente le programme C : « Choisir un nombre, multiplier par 5, ajouter 10 ». Il affirme que C donne toujours le même résultat que A. A-t-il raison ?

💡 Indices

Un seul test avec 3 ne prouve pas que c'est vrai pour tous les nombres. Comment écrire le résultat de chaque programme pour n'importe quel nombre de départ ?
Écris l'expression du programme C et compare-la à celle de A. Si tu penses que Malik a tort, que suffit-il de trouver pour le lui prouver ?
Question 1 — Avec 3 au départ
Programme A
\(3 + 2 = 5\)
\(5 \times 5 = 25\)
\(25 - 10 = \mathbf{15}\)
Programme B
\(3 \times 4 = 12\)
\(12 + 3 = \mathbf{15}\)
Question 2 — Toujours le même résultat ?
On appelle \(x\) le nombre de départ.
A : \(x \to x + 2 \to 5(x + 2) \to 5(x + 2) - 10 = 5x + 10 - 10\)
\(A = 5x\)
B : \(x \to 4x \to 4x + x\)
\(B = 5x\)
Les deux expressions réduites sont identiques → les programmes A et B donnent toujours le même résultat.
Question 3 — L'affirmation de Malik
C : \(x \to 5x \to 5x + 10\), donc \(C = 5x + 10\), alors que \(A = 5x\).
Contre-exemple avec 0 au départ : A donne \(0\) et C donne \(10\).
❌ Malik a tort : \(0 \neq 10\)

💡 Pour montrer que c'est toujours vrai : calcul littéral. Pour montrer que c'est faux : un seul contre-exemple suffit.

3Périmètres & figures

Exercice 4 / 5

PérimètreCodage
✓ Vu
📐 Les longueurs sont en cm. Lire attentivement les figures : certaines longueurs ne sont données que par le codage.
2x + 3 x

Rectangle

x + 4 2x − 1

Triangle isocèle

1.Exprimer le périmètre du rectangle en fonction de \(x\), puis réduire.
2.Exprimer le périmètre du triangle en fonction de \(x\), puis réduire.
3.Calculer ces deux périmètres pour \(x = 3\) cm.

💡 Indices

Un rectangle a 4 côtés, mais on ne voit que 2 longueurs écrites. Que sais-tu des côtés opposés d'un rectangle ? Pour le triangle, que signifient les petits traits sur deux côtés ?
Quelle forme est la plus rapide pour calculer : la somme de tous les côtés, ou l'expression réduite ? Tu peux faire les deux pour vérifier.
Question 1 — Rectangle
Les côtés opposés d'un rectangle ont la même longueur.
\(P = 2(2x + 3) + 2 \times x\)
\(= \) \(4x\) \(+\) \(6\) \(+\) \(2x\)
\(P_\text{rect} = 6x + 6\)
Question 2 — Triangle isocèle
Le codage indique que les deux côtés obliques mesurent \(x + 4\).
\(P = (x + 4) + (x + 4) + (2x - 1)\)
\(= \) \(x\) \(+\) \(4\) \(+\) \(x\) \(+\) \(4\) \(+\) \(2x\) \(-\) \(1\)
\(P_\triangle = 4x + 7\)
Question 3 — Pour \(x = 3\)
Rectangle : \(6 \times 3 + 6 = 24\) cm
Vérif : côtés 9 et 3 → \(9+3+9+3 = 24\) ✓
Triangle : \(4 \times 3 + 7 = 19\) cm
Vérif : côtés 7, 7 et 5 → \(7+7+5 = 19\) ✓

Exercice 5 / 5

⭐ BilanProgramme de calculPérimètre
✓ Vu
🌟 Nour a dessiné le triangle ABC ci-dessous et inventé un programme de calcul. Les longueurs sont en cm.
A B C x + 3 x + 1 2x − 2

Triangle ABC

Programme de Nour
1Choisir un nombre
2Ajouter 1
3Multiplier le résultat par 4
4Soustraire 2
1.Avec le programme de calcul, quel résultat obtient-on avec 3 au départ ?
2.Calculer le périmètre du triangle ABC lorsque \(x = 3\). Que remarque-t-on ?
3.Nour affirme : « Mon programme donne toujours le périmètre du triangle. » A-t-elle raison ? Justifier.

💡 Indices

Commence par calculer la longueur de chaque côté en remplaçant \(x\) par 3. Que faut-il faire ensuite avec ces trois longueurs ?
Une seule valeur ne suffit pas pour dire « toujours ». Il y a deux expressions à écrire avec \(x\) : lesquelles ? Une fois réduites, que faut-il comparer ?
Question 1 — Avec 3 au départ
\(3 + 1 = 4\)  →  \(4 \times 4 = 16\)  →  \(16 - 2 = \mathbf{14}\)
Question 2 — Périmètre pour \(x = 3\)
AB \(= 3 + 3 = 6\)  ·  AC \(= 3 + 1 = 4\)  ·  BC \(= 2 \times 3 - 2 = 4\)
\(P = 6 + 4 + 4 = 14\) cm
On retrouve 14 : le même résultat que le programme !
Question 3 — L'affirmation de Nour
Programme
\(x \to x + 1\)
\(\to 4(x + 1)\)
\(\to 4(x + 1) - 2\)
\(= 4x + 4 - 2\)
\(= 4x + 2\)
Périmètre
\((x + 3) + (x + 1) + (2x - 2)\)
\(= \) \(x\) \(+\) \(3\) \(+\) \(x\) \(+\) \(1\) \(+\) \(2x\) \(-\) \(2\)
\(= 4x + 2\)
\(4x + 2 = 4x + 2\) — Nour a raison : le programme donne toujours le périmètre du triangle. ✓

💡 Pour relier un programme et une figure, on écrit les deux avec \(x\), on réduit, puis on compare.

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