Simplifier · Réduire · Développer · Factoriser · Substituer
Dans une expression littérale, on peut supprimer le signe × lorsqu'il est placé devant une lettre ou une parenthèse.
Pour simplifier un produit de plusieurs facteurs, on peut modifier l'ordre des facteurs : on regroupe d'abord les nombres, puis les lettres.
Simplifier les expressions suivantes :
| 1) | \(2 \times b\) | \(2 \times b\) | . . . . . .\(= 2b\) |
| 2) | \(a \times b\) | \(a \times b\) | . . . . . .\(= ab\) |
| 3) | \(1 \times x\) | \(1 \times x\) | . . . . . .\(= x\) (multiplier par 1 ne change rien) |
| 4) | \(4 \times (7a + 3)\) | \(4 \times (7a + 3)\) | . . . . . .\(= 4(7a+3)\) |
| 5) | \(2x \times 3x\) | \((\textcolor{#b85c0b}{2} \times \textcolor{#b85c0b}{3}) \times (\textcolor{#6b3fa0}{x} \times \textcolor{#6b3fa0}{x})\) | . . . . . .\(= 6x^2\) |
| 6) | \(x \times x\) | \(\textcolor{#6b3fa0}{x} \times \textcolor{#6b3fa0}{x}\) | . . . . . .\(= x^2\) |
| 7) | \(x \times x \times x\) | \(\textcolor{#6b3fa0}{x} \times \textcolor{#6b3fa0}{x} \times \textcolor{#6b3fa0}{x}\) | . . . . . .\(= x^3\) |
| 8) | \(3x \times 2x \times 2x\) | \((\textcolor{#b85c0b}{3 \times 2 \times 2}) \times (\textcolor{#6b3fa0}{x \times x \times x})\) | . . . . . .\(= 12x^3\) |
| 9) | \(2x \times 3y \times 2x\) | \((\textcolor{#b85c0b}{2 \times 3 \times 2}) \times (\textcolor{#6b3fa0}{x \times x}) \times \textcolor{#1b7a40}{y}\) | . . . . . .\(= 12x^2y\) |
On peut regrouper les termes semblables, c'est-à-dire les termes qui contiennent la même lettre avec le même exposant.
La lettre \(x\) toute seule cache un coefficient 1 invisible :
Donc \(x + x = \textcolor{#2563eb}{1}x + \textcolor{#2563eb}{1}x = (\textcolor{#2563eb}{1}+\textcolor{#2563eb}{1})x = \textcolor{#1b7a40}{\mathbf{2x}}\).
Réduire, si possible, les expressions suivantes :
| 1) | \(2x + 3x\) | \(2x\) \(+\) \(3x\) | . . . . . .\(= (2+3)x = 5x\) |
| 2) | \(5x - 3x\) | \(5x\) \(-\) \(3x\) | . . . . . .\(= (5-3)x = 2x\) |
| 3) | \(2x + 2y\) | \(2x\) \(+\) \(2y\) | . . . . . .Non réductible \(x\) et \(y\) sont des lettres différentes |
| 4) | \(3x + 10\) | \(3x\) \(+\) \(10\) | . . . . . .Non réductible \(3x\) a une lettre, \(10\) n'en a pas |
| 5) | \(x + x\) | \(\underbrace{1x}_{x=1x}\) \(+\) \(\underbrace{1x}_{x=1x}\) | . . . . . .\(= (1+1)x = 2x\) |
| 6) | \(3x + 2y + x\) | \(3x\) \(+\) \(2y\) \(+\) \(\underbrace{1x}_{x=1x}\) | . . . . . .\(4x\) \(+\) \(2y\) |
| 7) | \(4x + 12 - 3x + 8\) | \(4x\) \(+\) \(12\) \(-\) \(3x\) \(+\) \(8\) | . . . . . .\(x\) \(+\) \(20\) |
Développer, c'est transformer un produit en somme ou en différence.
\(\textcolor{#c0392b}{k}\), \(\textcolor{#1a6fa0}{a}\) et \(\textcolor{#1b7a40}{b}\) désignent des nombres. Le facteur extérieur \(\textcolor{#c0392b}{k}\) se distribue sur chaque terme :
Développer : \(A = \textcolor{#c0392b}{7}(\textcolor{#1a6fa0}{4} + \textcolor{#1b7a40}{x})\)
Développer : \(B = \textcolor{#c0392b}{2}(\textcolor{#1a6fa0}{x} - \textcolor{#1b7a40}{1})\)
Développer et réduire :
\(C = 3(2x - 5)\) \(D = 2x(x + 4)\) \(E = 4(x+1) + 2(x-3)\)
\(C = 3(2x-5)\)
\(D = 2x(x+4)\)
\(E = 4(x+1) + 2(x-3)\)
Factoriser, c'est transformer une somme ou une différence en produit. C'est l'opération inverse du développement.
\(\textcolor{#c0392b}{k}\), \(\textcolor{#1a6fa0}{a}\) et \(\textcolor{#1b7a40}{b}\) désignent des nombres :
1) Trouver le facteur commun \(\textcolor{#c0392b}{k}\) à tous les termes (nombre, lettre, ou les deux).
2) Écrire \(\textcolor{#c0392b}{k}\) devant la parenthèse et diviser chaque terme par \(\textcolor{#c0392b}{k}\).
3) Vérifier en redéveloppant.
Factoriser les expressions suivantes :
\(A = 2 \times x + 2 \times 4\)
\(B = 3x + 6\)
\(C = 7x^2 + 14x\)
Calculer la valeur d'une expression littérale, c'est attribuer un nombre à chaque lettre de l'expression afin d'effectuer le calcul.
Calculer \(A = x^2 + 2y\) lorsque \(\textcolor{#6b3fa0}{x = 5}\) et \(\textcolor{#1b7a40}{y = 4}\).
Deux expressions littérales sont égales si elles sont toujours égales, c'est-à-dire si elles sont égales pour n'importe quelles valeurs attribuées aux lettres.
Prouver que pour tous les nombres \(x\), on a : \(2x(5 + x) = x(2x + 5) + 5x\).
Il suffit de trouver un seul exemple pour lequel les deux membres donnent des résultats différents pour prouver que l'égalité est fausse. Cet exemple s'appelle un contre-exemple.
Léo affirme : « pour tous les nombres \(x\), on a \(3x + 2 = 5x\) ». A-t-il raison ?
On choisit la valeur simple \(\textcolor{#6b3fa0}{x = 1}\) pour tester :
On essaie \(\textcolor{#6b3fa0}{x = 2}\) :