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Additions et soustractions de fractions (dénominateurs quelconques) – 4ème – Correction interactive

📌 Méthode — Trouver le dénominateur commun quand aucun dénominateur n'est multiple de l'autre

Étape 1 — Lister les multiples
On liste les multiples de chaque dénominateur jusqu'à trouver le premier commun.
Ex : dénominateurs 4 et 6 → multiples de 4 : 4, 8, 12… ; de 6 : 6, 12… → dénominateur commun : 12.
Étape 2 — Transformer chaque fraction
Pour chaque fraction, on cherche par quel nombre multiplier son dénominateur pour obtenir le dénominateur commun, puis on multiplie numérateur et dénominateur par ce même nombre.
Étape 3 — Calculer et simplifier
Une fois au même dénominateur, on additionne ou soustrait les numérateurs. Le dénominateur reste inchangé. On simplifie le résultat si possible.
Exemple
14 + 16 → dénominateur commun : 12
1×34×3 + 1×26×2 = 312 + 212 = 512
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Exercice 1 / 9

Trouver le dénominateur commun — Entraînement

Pour chaque paire de dénominateurs, liste les multiples de chacun et entoure en rouge le premier multiple commun trouvé.

a. Dénominateurs : 4 et 6 → dénominateur commun = …
b. Dénominateurs : 3 et 5 → dénominateur commun = …
c. Dénominateurs : 6 et 9 → dénominateur commun = …
d. Dénominateurs : 4 et 10 → dénominateur commun = …
Liste les multiples du premier dénominateur : ×2, ×3, ×4… Puis fais de même avec le second. Le dénominateur commun est le premier nombre qui apparaît dans les deux listes en même temps.
Pour c) : le dénominateur commun n'est pas forcément le produit des deux dénominateurs. Cherche le plus petit multiple commun.
Méthode : On liste les multiples de chaque dénominateur et on repère le premier nombre commun aux deux listes.
a) 4 et 6
Multiples de 4 :4, 8, 12, 16…
Multiples de 6 :6, 12, 18…
Dénominateur commun : 12
b) 3 et 5
Multiples de 3 :3, 6, 9, 12, 15…
Multiples de 5 :5, 10, 15…
Dénominateur commun : 15
c) 6 et 9
Multiples de 6 :6, 12, 18…
Multiples de 9 :9, 18…
Dénominateur commun : 18 (inférieur à 6 × 9 = 54 !)
d) 4 et 10
Multiples de 4 :4, 8, 12, 16, 20…
Multiples de 10 :10, 20…
Dénominateur commun : 20
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Exercice 2 / 9

Additions — dénominateur commun

Calculer en mettant d'abord au même dénominateur. Simplifier le résultat si possible.

a. 14 + 16
b. 23 + 35
c. 16 + 49
d. 34 + 310
Liste les multiples de chaque dénominateur jusqu'à trouver le premier commun. Vérifie d'abord si l'un est déjà multiple de l'autre ; si ce n'est pas le cas, continue la liste.
Une fois le dénominateur commun trouvé, par quel nombre faut-il multiplier chaque dénominateur pour l'obtenir ? Applique ce même facteur au numérateur.
Après addition, vérifie si le résultat peut se simplifier en cherchant un diviseur commun au numérateur et au dénominateur.
a) 1/4 + 1/6
Multiples de 4 :4, 8, 12…
Multiples de 6 :6, 12…
Dénominateur commun : 12 → 4 × 3 = 12 et 6 × 2 = 12
1×34×3 + 1×26×2 = 312 + 212
= 512 (déjà simplifié)
b) 2/3 + 3/5
Multiples de 3 :3, 6, 9, 12, 15…
Multiples de 5 :5, 10, 15…
Dénominateur commun : 15 → 3 × 5 = 15 et 5 × 3 = 15
2×53×5 + 3×35×3 = 1015 + 915
= 1915 (déjà simplifié)
c) 1/6 + 4/9
Multiples de 6 :6, 12, 18…
Multiples de 9 :9, 18…
Dénominateur commun : 18 → 6 × 3 = 18 et 9 × 2 = 18
1×36×3 + 4×29×2 = 318 + 818
= 1118 (déjà simplifié)
d) 3/4 + 3/10
Multiples de 4 :4, 8, 12, 16, 20…
Multiples de 10 :10, 20…
Dénominateur commun : 20 → 4 × 5 = 20 et 10 × 2 = 20
3×54×5 + 3×210×2 = 1520 + 620
= 2120 (déjà simplifié)
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Exercice 3 / 9

Soustractions — dénominateur commun

Calculer en mettant d'abord au même dénominateur. Simplifier le résultat si possible.

a. 56 − 14
b. 79 − 16
c. 45 − 13
d. 710 − 14
Commence par vérifier si l'un des dénominateurs est multiple de l'autre. Si ce n'est pas le cas, liste les multiples de chacun et repère le premier commun.
Pour d) : liste les multiples de chaque dénominateur et repère le premier commun, puis transforme chaque fraction.
a) 5/6 − 1/4
Multiples de 6 :6, 12, …
Multiples de 4 :4, 8, 12…
Dénominateur commun : 12 → 6 × 2 = 12 et 4 × 3 = 12
5×26×2 − 1×34×3 = 1012 − 312
= 712 (déjà simplifié)
b) 7/9 − 1/6
Multiples de 9 :9, 18…
Multiples de 6 :6, 12, 18…
Dénominateur commun : 18 → 9 × 2 = 18 et 6 × 3 = 18
7×29×2 − 1×36×3 = 1418 − 318
= 1118 (déjà simplifié)
c) 4/5 − 1/3
Multiples de 5 :5, 10, 15…
Multiples de 3 :3, 6, 9, 12, 15…
Dénominateur commun : 15 → 5 × 3 = 15 et 3 × 5 = 15
4×35×3 − 1×53×5 = 1215 − 515
= 715 (déjà simplifié)
d) 7/10 − 1/4
Multiples de 10 :10, 20…
Multiples de 4 :4, 8, 12, 16, 20…
Dénominateur commun : 20 → 10 × 2 = 20 et 4 × 5 = 20
7×210×2 − 1×54×5 = 1420 − 520
= 920 (déjà simplifié)
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Exercice 4 / 9

Additions et soustractions mélangées

Calculer. Simplifier le résultat lorsque c'est possible.

a. 58 + 16
b. 34 − 29
c. 56 + 38
d. 59 − 315
Pour chaque calcul, la première étape est toujours la même : liste les multiples de chaque dénominateur et repère le premier multiple commun.
Pour c) : liste les multiples des deux dénominateurs et repère le premier nombre qui apparaît dans les deux listes.
Pour d) : après le calcul, vérifie si le résultat peut se simplifier.
a) 5/8 + 1/6
Multiples de 8 :8, 16, 24…
Multiples de 6 :6, 12, 18, 24…
Dénominateur commun : 24 → 8 × 3 = 24 et 6 × 4 = 24
5×38×3 + 1×46×4 = 1524 + 424
= 1924 (déjà simplifié)
b) 3/4 − 2/9
Multiples de 4 :4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 36…
Multiples de 9 :9, 18, 27, 36…
Dénominateur commun : 36 → 4 × 9 = 36 et 9 × 4 = 36
3×94×9 − 2×49×4 = 2736 − 836
= 1936 (déjà simplifié)
c) 5/6 + 3/8
Multiples de 6 :6, 12, 18, 24…
Multiples de 8 :8, 16, 24…
Dénominateur commun : 24 → 6 × 4 = 24 et 8 × 3 = 24
5×46×4 + 3×38×3 = 2024 + 924
= 2924 (déjà simplifié)
d) 5/9 − 3/15
Multiples de 9 :9, 18, 27, 36, 45…
Multiples de 15 :15, 30, 45…
Dénominateur commun : 45 → 9 × 5 = 45 et 15 × 3 = 45
5×59×5 − 3×315×3 = 2545 − 945
= 1645 (déjà simplifié)
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Exercice 5 / 9

Avec simplification du résultat

Calculer en mettant au même dénominateur. Le résultat devra être simplifié.

a. 14 + 16  (résultat simplifiable)
b. 56 − 14  (résultat simplifiable)
c. 710 − 26  (résultat simplifiable)
d. 38 + 34  (attention au dénominateur !)
Pour trouver si le résultat est simplifiable, cherche après le calcul un nombre entier qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur obtenus.
Pour d) : vérifie d'abord si 4 est un multiple de 8 ou si 8 est un multiple de 4 avant de lister les multiples.
Pour c) : après avoir trouvé le résultat, cherche le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur pour simplifier.
a) 1/4 + 1/6
Dénominateur commun : 12 → 4 × 3, 6 × 2
312 + 212 = 512
5 et 12 n'ont pas de diviseur commun → déjà simplifié.
= 512
b) 5/6 − 1/4
Dénominateur commun : 12 → 6 × 2, 4 × 3
1012 − 312 = 712
7 et 12 n'ont pas de diviseur commun → déjà simplifié.
= 712
c) 7/10 − 2/6
Multiples de 10 :10, 20, 30…
Multiples de 6 :6, 12, 18, 24, 30…
Dénominateur commun : 30 → 10 × 3, 6 × 5
2130 − 1030 = 1130
11 et 30 n'ont pas de diviseur commun → déjà simplifié.
= 1130
d) 3/8 + 3/4
8 = 4 × 2 → 8 est un multiple de 4, donc le dénominateur commun est 8
Seule 34 doit être transformée : 4 × 2 = 8
38 + 3×24×2 = 38 + 68 = 98
9 et 8 n'ont pas de diviseur commun → déjà simplifié.
= 98
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Exercice 6 / 9

Vrai ou faux ?

Dire si chaque égalité est vraie ou fausse. Justifier en effectuant le calcul.

a. 13 + 14 = 27
b. 34 − 16 = 712
c. 25 + 34 = 2320
Pour a) : est-ce qu'on peut simplement additionner les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux ? Pense à la règle pour additionner des fractions.
Pour vérifier chaque égalité, effectue le calcul complet à gauche du signe « = » et compare au membre de droite.
a) 1/3 + 1/4 = 2/7 ?
Dénominateur commun 12 → 1×43×4 + 1×34×3 = 412 + 312 = 712
FAUX. On ne peut pas additionner numérateurs et dénominateurs séparément. Le résultat est 7/12 et non 2/7.
b) 3/4 − 1/6 = 7/12 ?
Dénominateur commun 12 → 3×34×3 − 1×26×2 = 912 − 212 = 712
VRAI. Le résultat est bien 7/12.
c) 2/5 + 3/4 = 23/20 ?
Dénominateur commun 20 → 2×45×4 + 3×54×5 = 820 + 1520 = 2320
VRAI. Le résultat est bien 23/20.
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Exercice 7 / 9

Encadrement et estimation

Sans calculer exactement, dire si chaque somme est supérieure ou inférieure à 1. Puis vérifier en calculant.

a. 34 + 25
b. 25 + 13
c. 59 + 47
Pour estimer, compare chaque fraction à 1/2 : si les deux fractions sont toutes les deux supérieures à 1/2, que peut-on dire de leur somme ?
Pour b) : compare chaque fraction à 1/2, puis déduis ce que l'on peut dire de leur somme. Vérifie ensuite par le calcul.
a) 3/4 + 2/5

Estimation : 3/4 > 1/2 et 2/5 < 1/2. Mais 3/4 est très proche de 1, donc la somme devrait dépasser 1.

Dénominateur commun 20 : 1520 + 820 = 2320
23/20 > 1. La somme est supérieure à 1.
b) 2/5 + 1/3

Estimation : 2/5 < 1/2 et 1/3 < 1/2. La somme pourrait être inférieure à 1.

Dénominateur commun 15 : 615 + 515 = 1115
11/15 < 1. La somme est inférieure à 1.
c) 5/9 + 4/7

Estimation : 5/9 > 1/2 (car 5 > 9/2 = 4,5) et 4/7 > 1/2 (car 4 > 7/2 = 3,5). La somme de deux fractions > 1/2 est > 1.

Dénominateur commun 63 : 3563 + 3663 = 7163
71/63 > 1. La somme est supérieure à 1.
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Exercice 8 / 9

🧩 Problème
🍕 La pizza partagée

Trois amis se partagent une pizza. Lucas mange 13 de la pizza, Emma mange 14 de la pizza.

1. Quelle fraction de la pizza Lucas et Emma ont-ils mangée au total ?
2. Quelle fraction de la pizza reste-t-il pour le troisième ami, Théo ?
3. Théo n'a pas faim et ne mange que la moitié de sa part. Quelle fraction de la pizza totale Théo a-t-il mangée ?
Question 1 : pour additionner 1/3 et 1/4, liste les multiples de 3 et ceux de 4 pour trouver le premier commun.
La pizza entière vaut 1. Comment écrire 1 comme une fraction avec le même dénominateur que ta réponse à la question 1 ?
« La moitié de la part de Théo » signifie diviser sa fraction par 2. Comment cela se traduit-il sur la fraction ?
1. Part mangée par Lucas et Emma
Multiples de 3 :3, 6, 9, 12…
Multiples de 4 :4, 8, 12…
Dénominateur commun : 12
13 = 412  et  14 = 312
412 + 312 = 712
Lucas et Emma ont mangé 7/12 de la pizza.
2. Part restante pour Théo

1 pizza = 1212

1212 − 712 = 512
Il reste 5/12 de la pizza pour Théo.
3. Part effectivement mangée par Théo

Théo mange seulement 12 de sa part (512).

La moitié de 512 = 524 (on divise par 2, donc on multiplie le dénominateur par 2).

Théo a mangé 5/24 de la pizza.
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Exercice 9 / 9

🧩 Problème ⭐ Difficile
🎨 Le temps de peinture

Un artiste peint une fresque. Le lundi, il a réalisé 25 de la fresque. Le mardi, il peint 14 de la fresque.

1. Quelle fraction de la fresque a-t-il réalisée après ces deux jours ?
2. Quelle fraction lui reste-t-il à peindre ?
3. Le mercredi, il peint 16 de la fresque. Quelle fraction de la fresque reste-t-il à terminer après le mercredi ? Le résultat devra être simplifié.
Question 1 : les dénominateurs sont 5 et 4. Liste les multiples de chacun et repère le premier commun.
Pour la question 3 : tu peux soustraire 1/6 du résultat précédent. Cherche d'abord le dénominateur commun aux deux fractions.
Après la soustraction, vérifie si le résultat se simplifie.
1. Fraction peinte après lundi et mardi
Multiples de 5 :5, 10, 15, 20…
Multiples de 4 :4, 8, 12, 16, 20…
Dénominateur commun : 20 → 5 × 4, 4 × 5
2×45×4 + 1×54×5 = 820 + 520
= 1320
L'artiste a réalisé 13/20 de la fresque.
2. Fraction restante après mardi soir

Fresque entière = 2020.

2020 − 1320 = 720
Il reste 7/20 de la fresque à peindre.
3. Fraction restante après le mercredi

On soustrait 1/6 de ce qui reste (7/20).

Multiples de 20 :20, 40, 60…
Multiples de 6 :6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60…
Dénominateur commun : 60 → 20 × 3, 6 × 10
7×320×3 − 1×106×10 = 2160 − 1060 = 1160

11 et 60 n'ont pas de diviseur commun → déjà simplifié.

Après le mercredi, il reste 11/60 de la fresque à terminer.

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