Théorème de Thalès — 3ème

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Exercice 1 / 5

Triangles sécants

Dans la figure suivante, les droites (TJ) et (RI) se coupent en S et les droites (TR) et (JI) sont parallèles.

TR = 7,6 cm, TS = 5,4 cm, SI = 5,1 cm, JI = 3,8 cm.

📝 Instructions : Colorier le grand triangle STR en rouge et le petit triangle SJI en vert.

1. Calculer la longueur du segment [SJ]

2. Calculer la longueur du segment [SR]

💡 Indices progressifs

Identifie les deux droites qui se coupent en S. Quels points sont sur chacune de ces droites ? Le théorème de Thalès relie les segments de ces deux droites entre eux — à toi de les repérer.

Quelle proportion donné par Thalès te permet de trouver SJ ? Tu connais trois des quatre valeurs nécessaires — laquelle est l'inconnue ? Comment isoler un terme dans une égalité de fractions ?

Tu as trouvé SJ ? Pour SR, c'est la même méthode avec une proportion différente. Réécris l'égalité de Thalès pour faire apparaître SR comme inconnue.

On a : S, J, T alignés
S, I, R alignés
(JI) et (TR) sont parallèles

Or : d'après le théorème de Thalès

ST SJ = SR SI = TR JI

5,4 SJ = 7,6 3,8

SJ = 5,4 × 3,8 ÷ 7,6 = 2,7 cm

SR 5,1 = 7,6 3,8

SR = 7,6 × 5,1 ÷ 3,8 = 10,2 cm

Donc : SJ mesure 2,7 cm et SR mesure 10,2 cm

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Exercice 2 / 5

Triangles emboîtés

Dans la figure ci-contre les droite (MN) et (BC) sont parallèles, les points B, A, N et les points C, A, M sont alignés.

Calculer MN.

📝 Instructions : Colorier le grand triangle ABC en rouge et le petit triangle ANM en vert.

💡 Indices progressifs

Repère le point où les deux droites se coupent. Quels segments appartiennent au « grand » triangle et lesquels au « petit » ? Le théorème de Thalès va mettre en rapport ces segments deux à deux.

Écris l'égalité des trois rapports que donne Thalès. Parmi ces rapports, lequel contient MN (la longueur cherchée) ? Quelles autres valeurs connues y apparaissent ?

Tu as une fraction égale à une autre, avec MN comme seule inconnue. Comment « faire passer » les termes pour isoler MN ? Attention à bien choisir le bon rapport.

On a : B, A, N alignés
C, A, M alignés
(MN) et (BC) sont parallèles

Or : d'après le théorème de Thalès

AB AN = AC AM = BC MN

1,8 0,6 = 2,1 MN

MN = 2,1 × 0,6 ÷ 1,8 = 0,7 cm

Donc : MN mesure 0,7 cm

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Exercice 3 / 5

Application réelle

Pour trouver la hauteur d'une éolienne, on a les renseignements suivants :

les points O, A et C sont alignés ;
les points O, B et D sont alignés ;
OA = 11 m, AC = 594 m et AB = 1,5 m

📝 Instructions : Colorier le grand triangle OCD en rouge et le petit triangle OAB en vert.

1. Justifier pourquoi les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

2. Calculer la hauteur CD de l'éolienne.

💡 Indices progressifs

Pour justifier que (AB) ∥ (CD), cherche un lien entre ces deux droites et la droite qui représente le sol. Qu'est-ce qu'elles ont en commun avec elle ?

Pour calculer CD avec Thalès, identifie le point commun aux deux droites sécantes et les deux segments que tu veux comparer. Attention : OC n'est pas directement donné — comment le calculer à partir des données ?

Tu as tous les éléments pour écrire le rapport OA/OC = AB/CD. CD est la seule inconnue — comment l'isoler dans cette proportion ?

Question 1 : Justification

Les droites (AB) et (CD) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (OC) qui représente le sol.

Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.

Donc : les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Question 2 : Calculer CD

On a : O, A, C alignés
O, B, D alignés
(AB) et (CD) sont parallèles

Or : d'après le théorème de Thalès

OC OA = OD OB = CD AB

OC = OA + AC = 11 + 594 = 605 m

605 11 = CD 1,5

CD = 605 × 1,5 ÷ 11 = 82,5 m

Donc : la hauteur de l'éolienne mesure 82,5 m

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Exercice 4 / 5

Combinaison de théorèmes

Sur la figure ci-contre (RE) est perpendiculaire à (FS) et (ST) est perpendiculaire à (FS). Les points S, R, F et les points T, E, F sont alignés.

FE = 2,5 cm, RE = 1,5 cm, ST = 4,5 cm

📝 Instructions : Colorier le grand triangle FST en rouge et le petit triangle FRE en vert.

1) Calculer FR.

2) Calculer FT puis FS.

💡 Indices progressifs

L'exercice comporte deux étapes distinctes : la première fait appel à un théorème sur les triangles rectangles, la deuxième à Thalès. Dans quel triangle vas-tu commencer ? Quel angle est droit ?

Une fois FR calculé, identifie les droites parallèles et le point de rencontre des droites sécantes pour appliquer Thalès. Quels segments veux-tu comparer ?

Tu peux écrire deux rapports égaux avec les segments connus. FT et FS sont les inconnues — chacun apparaît dans un rapport différent. Isole-les l'un après l'autre.

Question 1 : Calculer FR

On a : Le triangle FRE est rectangle en R
         FE = 2,5 cm
         RE = 1,5 cm
         Hypoténuse : FE

Or : d'après le théorème de Pythagore

FE² = FR² + RE²

2,5² = FR² + 1,5²

6,25 = FR² + 2,25

FR² = 6,25 - 2,25 = 4

FR = √4 = 2 cm

Donc : FR mesure 2 cm

Question 2 : Calculer FT puis FS

On a : S, R, F alignés
T, E, F alignés
(RE) est perpendiculaire à (FS) et (ST) est perpendiculaire à (FS), donc (RE) et (ST) sont parallèles

Or : d'après le théorème de Thalès

FS FR = FT FE = ST RE

FT 2,5 = 4,5 1,5

FT = 4,5 × 2,5 ÷ 1,5 = 7,5 cm

FS 2 = 4,5 1,5

FS = 4,5 × 2 ÷ 1,5 = 6 cm

Donc : FT mesure 7,5 cm et FS mesure 6 cm

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Exercice 5 / 5

Configuration papillon

Sur la figure ci-contre qui n'est pas en vraies grandeurs :

AT = 7 cm, AR = 8,75 cm, AQ = 12,5 cm, QP = 7,5 cm

📝 Instructions : Colorier le grand triangle AQP en rouge et le petit triangle ATR en vert.

1) Calculer la longueur AP.

2) Calculer la longueur TR.

💡 Indices progressifs

Repère les deux droites qui se coupent en A. Quels sont les points sur chacune ? Quels segments appartiennent au grand triangle, quels segments au petit ?

D'après Thalès, les rapports des côtés issus de A sont égaux. Pour trouver AP, écris l'égalité avec les longueurs que tu connais et isole AP.

Une fois AP trouvé, TR fait partie du même rapport de Thalès — c'est le côté parallèle correspondant à QP. Écris la proportion et isole TR.

Question 1 : Calculer AP

On a : P, A, T alignés
Q, A, R alignés
(TR) et (QP) sont parallèles

Or : d'après le théorème de Thalès

AP AT = AQ AR = QP TR

AP 7 = 12,5 8,75

AP = 12,5 × 7 ÷ 8,75 = 10 cm

Donc : AP mesure 10 cm

Question 2 : Calculer TR

On a : P, A, T alignés
Q, A, R alignés
(TR) et (QP) sont parallèles

Or : d'après le théorème de Thalès

AP AT = AQ AR = QP TR

Nous connaissons le rapport AP/AT = 10/7, donc QP/TR = 10/7

7,5 TR = 10 7

TR = 7,5 × 7 ÷ 10 = 5,25 cm

Donc : TR mesure 5,25 cm