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Théorèmes de Thalès et Pythagore — Correction interactive

📊 Progression

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📚 Rappels

Quand on ne sait pas quel théorème utiliser, on regarde d'abord si le triangle est rectangle.

Si oui, et si on connait deux longueurs sur trois, alors on peut appliquer le théorème de Pythagore.

Sinon, on vérifie que les conditions du théorème de Thalès sont vérifiées et on l'utilise ensuite.

Exercice 1

✓ Vu

Sur la figure ci-dessous, les points A, B, C sont alignés ainsi que les points A, D et E.

On donne AB = 3,75 cm ; BD = 2,25 cm et CE = 6,75 cm.

📝 Instructions : Colorier le grand triangle ACE en rouge et le petit triangle ABD en vert.

1. Calculer la longueur AD

2. Expliquer par une phrase la raison pour laquelle les droites (BD) et (CE) sont parallèles.

3. Calculer les longueurs AC et AE.

🔎 Repère d'abord si le triangle mentionné est rectangle. Si oui, quel théorème relie les trois côtés d'un triangle rectangle ?

✏️ Pour montrer que deux droites sont parallèles, cherche ce qu'elles ont en commun avec une troisième droite (pense aux perpendiculaires).

🔢 Pour appliquer Thalès, vérifie d'abord les trois conditions nécessaires. Une fois l'égalité des rapports posée, quelle inconnue veux-tu isoler et comment ?

Question 1 : Calculer AD

On a : Le triangle ABD est rectangle en D
         AB = 3,75 cm
         BD = 2,25 cm
         Hypoténuse : AB

Or : d'après le théorème de Pythagore

AB² = AD² + BD²

3,75² = AD² + 2,25²

14,0625 = AD² + 5,0625

AD² = 14,0625 - 5,0625 = 9

AD = √9 = 3 cm

Donc : AD mesure 3 cm

Question 2 : Justification

Les droites (BD) et (CE) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (AE).

Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.

Donc : les droites (BD) et (CE) sont parallèles.

Question 3 : Calculer AC et AE

On a : A, B, C alignés
A, D, E alignés
(BD) et (CE) sont parallèles

Or : d'après le théorème de Thalès

AC AB = AE AD = CE BD

AC 3,75 = 6,75 2,25

AC = 6,75 × 3,75 ÷ 2,25 = 11,25 cm

AE 3 = 6,75 2,25

AE = 6,75 × 3 ÷ 2,25 = 9 cm

Donc : AC mesure 11,25 cm et AE mesure 9 cm

Exercice 2

✓ Vu

On considère la figure suivante telle que AE = 6 cm ; AB = 5 cm ; AC = 10 cm et BD = 4 cm.

On sait aussi que (BD) est parallèle à (CE).

📝 Instructions : Colorier le grand triangle ACE en rouge et le petit triangle ABD en vert.

1. Calculer la longueur AD

2. Le triangle ABD est-il rectangle ? Justifier.

🔎 Pour calculer AD, identifie d'abord les droites parallèles et le sommet commun des deux droites sécantes. Quelle égalité de rapports Thalès permet-il d'écrire ?

✏️ Pour vérifier si le triangle ABD est rectangle, pense à comparer les carrés des côtés — mais à toi de déterminer lequel devrait être l'hypoténuse.

🔢 Si tu trouves que les carrés vérifient la relation de Pythagore, quel théorème (et quelle version) permet de conclure que le triangle est rectangle ?

Question 1 : Calculer AD

On a : A, B, C alignés
A, D, E alignés
(BD) et (CE) sont parallèles

Or : d'après le théorème de Thalès

AC AB = AE AD = CE BD

10 5 = 6 AD

AD = 6 × 5 ÷ 10 = 3 cm

Donc : AD mesure 3 cm

Question 2 : Le triangle ABD est-il rectangle ?

On a :

Gauche :
AB² = 5² = 25

Droite :
AD² + BD² = 3² + 4²
= 9 + 16 = 25

Or : Gauche = Droite, donc AB² = AD² + BD²

Donc : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABD est rectangle en D

Exercice 3

✓ Vu

Soit ABC un triangle rectangle en C tel que AC = 7,2 cm et BC = 5,4 cm.

📝 Instructions : Colorier le grand triangle ABC en rouge et le petit triangle AMN en vert.

1. Montrer que AB mesure 9 cm.

2. Soit M un point du segment [AC] tel que CM = 1,2 cm. Par ce point M, on trace la perpendiculaire à la droite (AC). Elle coupe la droite (AB) en N. On suppose ainsi les points C, M et A alignés ainsi que les points B, N et A alignés. Calculer MN.

🔎 Pour la question 1, quel côté serait l'hypoténuse si ABC était rectangle en C ? Quel calcul permet de le vérifier ?

✏️ Pour la question 2, MN est perpendiculaire à AC. Et BC ? Que peut-on conclure sur MN et BC ? Quelle configuration reconnaît-on alors ?

🔢 Pour trouver MN, écris l'égalité des rapports de Thalès. Quelle valeur as-tu besoin de calculer en premier (pense à AM) ?

Question 1 : Montrer que AB = 9 cm

On a : Le triangle ABC est rectangle en C
         AC = 7,2 cm
         BC = 5,4 cm
         Hypoténuse : AB

Or : d'après le théorème de Pythagore

AB² = AC² + BC²

AB² = 7,2² + 5,4²

AB² = 51,84 + 29,16 = 81

AB = √81 = 9 cm

Donc : AB mesure 9 cm

Question 2 : Calculer MN

AM = AC - CM = 7,2 - 1,2 = 6 cm

On a : C, M, A alignés
B, N, A alignés
(MN) est perpendiculaire à (AC) et (BC) est perpendiculaire à (AC), donc (MN) et (BC) sont parallèles

Or : d'après le théorème de Thalès

AC AM = AB AN = BC MN

7,2 6 = 5,4 MN

MN = 5,4 × 6 ÷ 7,2 = 4,5 cm

Donc : MN mesure 4,5 cm

Exercice 4

✓ Vu

Sur le schéma, la zone grisée correspond à ce que le conducteur d'un véhicule ne voit pas lors d'une marche arrière.

Données : (AE) // (BD), AE = 1,50 m ; BD = 1,10 m ; EC = 6 m

📝 Instructions : Colorier le grand triangle EAC en rouge et le petit triangle DBC en vert.

1. Calculer DC

2. En déduire que ED = 1,60 m

3. Une fillette mesure 1,10 m. Elle passe à 1,40 m derrière la camionnette. Le conducteur peut-il la voir ? Justifier.

🔎 Pour la question 1, identifie les deux droites parallèles et le point où les deux autres droites se coupent. Quelle égalité de rapports peux-tu écrire ?

✏️ Pour la question 2, tu connais EC. Comment calculer ED à partir de EC et DC (que tu viens de trouver) ?

🔢 Pour la question 3, compare les deux longueurs clés de la situation : où se trouve la fillette par rapport à l'angle mort ? La réponse est dans la comparaison.

Question 1 : Calculer DC

On a : E, D, C alignés
A, B, C alignés
(AE) et (BD) sont parallèles

Or : d'après le théorème de Thalès

EC DC = AC BC = AE BD

6 DC = 1,50 1,10

DC = 6 × 1,10 ÷ 1,50 = 4,4 m

Donc : DC mesure 4,4 m

Question 2 : En déduire ED

ED = EC - DC = 6 - 4,4 = 1,6 m

Donc : ED mesure 1,60 m

Question 3 : Le conducteur peut-il voir la fillette ?

La fillette se trouve à 1,40 m derrière la camionnette.

Or, la zone d'angle mort s'étend jusqu'à ED = 1,60 m derrière le véhicule.

Comme 1,40 m < 1,60 m, la fillette se trouve dans la zone d'angle mort.

De plus, sa taille (1,10 m) est inférieure à la hauteur maximale visible BD = 1,10 m à cette distance.

Donc : le conducteur ne peut pas voir la fillette.

🏆

Bravo, tu as tout vu !

⭐⭐⭐

Tu as consulté toutes les corrections. Refais les exercices seul(e) pour vraiment maîtriser Thalès et Pythagore !

✓ 4 exercices 📐 Thalès maîtrisé 📏 Pythagore maîtrisé