Feuille de révisions – Théorème de Thalès — 3ème

Exercice 1

✓ Vu

Les droites (AD) et (CE) sont sécantes et les droites (AC) et (ED) sont parallèles.

Calculer BC et BD.

📝 Instructions : Colorier le grand triangle EBD en rouge et le petit triangle ABC en vert.

🔎 Avant tout, vérifie que tu as bien identifié les deux droites sécantes et les deux droites parallèles. Quel point est le « centre » de la configuration ?

✏️ Le théorème de Thalès donne une égalité de trois rapports. Lesquels des six segments du dessin vont dans chaque rapport ? Quels sont ceux qu'on cherche ?

🔢 Tu as une égalité de fractions où une seule inconnue apparaît. Quelle opération permets de « faire passer » les termes pour isoler l'inconnue ?

On a : A, B, D alignés
C, B, E alignés
(AC) et (ED) sont parallèles

Or : d'après le théorème de Thalès

AB BD = CB BE = AC ED

3 BD = 2 2,4

BD = 3 × 2,4 ÷ 2 = 3,6

CB 4,8 = 2 2,4

CB = 2 × 4,8 ÷ 2,4 = 4

Donc : BC = 4 et BD = 3,6

Exercice 2

✓ Vu

On considère le triangle ABC suivant.

📝 Instructions : Colorier le grand triangle ABC en rouge et le petit triangle DEC en vert.

1. Soit D ∈ [AC] tel que DC = 12 cm et AD = 10 cm. Par ce point D, on trace la perpendiculaire à la droite (AC). Elle coupe la droite (BC) en E tel que EC = 13 cm. Calculer ED.

2. Expliquer pourquoi les droites (AB) et (DE) sont parallèles.

3. Calculer AB. Arrondir le résultat au dixième.

🔎 Question 1 : quel angle de DEC est droit ? Quelle est l'hypoténuse ? Quel théorème utiliser dans un triangle rectangle quand on connaît deux côtés ?

✏️ Question 2 : pense à la relation entre une droite perpendiculaire à une autre et ce que ça implique pour deux droites qui partagent cette propriété.

🔢 Question 3 : commence par calculer AC en entier. Maintenant que tu sais que (AB) ∥ (DE), quelle configuration de Thalès peux-tu identifier ?

Question 1 : Calculer ED

On a : Le triangle DEC est rectangle en D
         DC = 12 cm
         EC = 13 cm
         Hypoténuse : EC

Or : d'après le théorème de Pythagore

EC² = ED² + DC²

13² = ED² + 12²

169 = ED² + 144

ED² = 169 - 144 = 25

ED = √25 = 5 cm

Donc : ED mesure 5 cm

Question 2 : Justification

Les droites (DE) et (AB) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (AC).

Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.

Donc : les droites (AB) et (DE) sont parallèles.

Question 3 : Calculer AB

AC = AD + DC = 10 + 12 = 22 cm

On a : D, C, A alignés
E, C, B alignés
(DE) et (AB) sont parallèles

Or : d'après le théorème de Thalès

AC DC = BC EC = AB ED

22 12 = BC 13

BC = 22 × 13 ÷ 12 ≈ 23,8 cm

22 12 = AB 5

AB = 22 × 5 ÷ 12 ≈ 9,2 cm

Donc : AB mesure environ 9,2 cm

Exercice 3

✓ Vu

Données :

Le triangle ABC est tel que AB = 6 cm, AC = 8 cm et BC = 10 cm.
Un point D est placé sur le segment [BC] de sorte que DC = 4 cm.
La droite (DE) est parallèle à (AC), et elle coupe [AB] en E.

📝 Instructions : Colorier le grand triangle ABC en rouge et le petit triangle BED en vert.

1. Montrer que le triangle ABC est rectangle en A

2. Calculer la longueur DE.

🔎 Question 1 : comment démontrer qu'un triangle est rectangle ? Quel théorème compare les carrés des côtés ? Lequel des côtés serait l'hypoténuse si le triangle était rectangle ?

✏️ Question 2 : pour utiliser Thalès, il faut deux droites sécantes et deux droites parallèles. Est-ce que B, D, C sont bien alignés ? Et B, E, A ?

🔢 Tu as une proportion avec trois valeurs connues et une inconnue. Comment isoler l'inconnue quand elle est au dénominateur d'une fraction ?

Question 1 : Montrer que ABC est rectangle en A

On a :

Gauche :
BC² = 10² = 100

Droite :
AB² + AC² = 6² + 8²
= 36 + 64 = 100

Or : Gauche = Droite, donc BC² = AB² + AC²

Donc : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A

Question 2 : Calculer DE

BD = BC - DC = 10 - 4 = 6 cm

On a : B, D, C alignés
B, E, A alignés
(DE) et (AC) sont parallèles

Or : d'après le théorème de Thalès

BC BD = BA BE = AC DE

10 6 = 8 DE

DE = 8 × 6 ÷ 10 = 4,8 cm

Donc : DE mesure 4,8 cm

Exercice 4

✓ Vu

Voici les données de la figure :

CD mesure 39 m
BC mesure 52 m
AB mesure 76 m
Le triangle ABE est rectangle en A
Le triangle BCD est rectangle en C

📝 Instructions : Colorier le grand triangle ABE en rouge et le petit triangle BCD en vert.

1. Expliquer pourquoi les droites (AE) et (DC) sont parallèles

2. Calculer la longueur AE

3. Calculer la longueur BD

🔎 Question 1 : (AE) et (DC) sont toutes deux perpendiculaires à la même droite. Que peut-on en conclure ?

✏️ Question 2 : maintenant que tu sais que (AE) ∥ (DC), identifie le sommet commun des deux droites sécantes. Quels rapports peux-tu écrire avec Thalès ?

🔢 Question 3 : dans le triangle BCD, quel angle semble droit d'après la figure ? Quel est le côté le plus long (hypoténuse) ? Quel théorème s'applique ?

Question 1 : Justification

Les droites (AE) et (DC) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (AB).

En effet, le triangle ABE est rectangle en A, donc (AE) est perpendiculaire à (AB).

De même, le triangle BCD est rectangle en C, donc (DC) est perpendiculaire à (BC), et comme (BC) est sur (AB), alors (DC) est perpendiculaire à (AB).

Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.

Donc : les droites (AE) et (DC) sont parallèles.

Question 2 : Calculer AE

On a : E, B, D alignés
A, B, C alignés
(AE) et (DC) sont parallèles

Or : d'après le théorème de Thalès

EB DB = AB CB = AE DC

76 52 = AE 39

AE = 76 × 39 ÷ 52 = 57 m

Donc : AE mesure 57 m

Question 3 : Calculer BD

On a : Le triangle BCD est rectangle en C
         BC = 52 m
         CD = 39 m
         Hypoténuse : BD

Or : d'après le théorème de Pythagore

BD² = BC² + CD²

BD² = 52² + 39²

BD² = 2704 + 1521 = 4225

BD = √4225 = 65 m

Donc : BD mesure 65 m