Statistiques 4ème : cours et exercices corrigés

I. Vocabulaire

📘 Définitions

Lors d'une étude statistique, on étudie sur une population un caractère qui peut prendre plusieurs valeurs.
L'effectif d'une valeur est le nombre de fois que cette valeur apparaît.
La fréquence d'une valeur est le quotient de son effectif par l'effectif total.

\(\text{fréquence} = \dfrac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}\)

✏️ Exemple

On a interrogé les 25 élèves de 5A au sujet de leur sport préféré. Voici leurs réponses :
football, basket, danse, handball, football, danse, basket, handball, football, football, basket, tennis, danse, danse, football, basket, football, tennis, football, basket, danse, danse, football, basket, tennis.

Répondre aux questions suivantes :

Quelle est la population étudiée ?
Quel est le caractère étudié ?
Quelles sont les valeurs possibles ?
Quel est l'effectif total ?
Quel est l'effectif de la valeur « football » ?
Quelle est la fréquence de la valeur « football » ?

Sport	Football	Basket	Danse	Handball	Tennis
Effectif	8	6	6	2	3

1. La population étudiée est l'ensemble des 25 élèves de 5A.

2. Le caractère étudié est le sport préféré.

3. Les valeurs possibles sont : football, basket, danse, handball, tennis.

4. L'effectif total est \(25\).

5. L'effectif de la valeur « football » est \(8\).

6. La fréquence de « football » est \(\dfrac{8}{25} = 0{,}32\), soit \(32\%\).

🧩 Exercice

On a relevé les notes obtenues par 20 élèves à un contrôle de mathématiques :
12, 15, 8, 10, 15, 12, 9, 14, 12, 10, 8, 15, 12, 11, 14, 10, 12, 9, 14, 10.

Quelle est la population étudiée ?
Quel est le caractère étudié ?
Quel est l'effectif de la note 12 ?
Quelle est la fréquence de la note 15 ?

1. La population étudiée est l'ensemble des 20 élèves.

2. Le caractère étudié est la note obtenue au contrôle.

3. La note 12 apparaît 5 fois, donc son effectif est \(5\).

4. La note 15 apparaît 3 fois : fréquence \(= \dfrac{3}{20} = 0{,}15\), soit \(15\%\).

II. Moyenne

📘 Définition

La moyenne d'une série de données est égale au quotient de la somme de toutes les valeurs par l'effectif total.

\(\text{moyenne} = \dfrac{\text{somme de toutes les valeurs}}{\text{effectif total}}\)

✏️ Exemple

Un élève a réalisé quatre contrôles de mathématiques et a obtenu les résultats suivants : 12 ; 15 ; 7 et 10. Quelle est sa moyenne ?

On additionne toutes les notes : \(12 + 15 + 7 + 10 = 44\)

On divise par le nombre de notes : \(\dfrac{44}{4} = 11\)

La moyenne est \(11\)

Moyenne pondérée

📘 Définition

La moyenne pondérée d'une série de données est égale à la somme des produits de chaque valeur par son effectif (ou coefficient), divisée par l'effectif total.

\(\text{moyenne pondérée} = \dfrac{\text{somme des (valeur} \times \text{effectif)}}{\text{effectif total}}\)

💡 Remarque

On utilise la moyenne pondérée lorsque les valeurs n'ont pas toutes le même poids (par exemple avec des coefficients différents).

✏️ Exemple

En voulant recalculer sa moyenne, notre élève se rend compte que les évaluations avaient des coefficients différents :

Note	12	15	7	10
Coefficient	4	2	0,5	1

Quelle est sa moyenne pondérée ?

Étape 1 — Calculer la somme des produits :

\((12 \times 4) + (15 \times 2) + (7 \times 0{,}5) + (10 \times 1)\)

\(= 48 + 30 + 3{,}5 + 10 = 91{,}5\)

Étape 2 — Calculer l'effectif total (somme des coefficients) :

\(4 + 2 + 0{,}5 + 1 = 7{,}5\)

Étape 3 — Diviser :

\(\text{moyenne} = \dfrac{91{,}5}{7{,}5} = 12{,}2\)

La moyenne pondérée est \(12{,}2\)

🧩 Exercice

Le tableau ci-dessous donne la répartition des notes d'une classe lors d'un contrôle :

Note	8	10	13	16	18
Effectif	3	7	10	5	5

Calculer la moyenne de la classe.

Effectif total : \(3 + 7 + 10 + 5 + 5 = 30\)

Somme pondérée : \((8 \times 3) + (10 \times 7) + (13 \times 10) + (16 \times 5) + (18 \times 5)\)

\(= 24 + 70 + 130 + 80 + 90 = 394\)

Moyenne : \(\dfrac{394}{30} \approx 13{,}1\)

La moyenne de la classe est \(\approx 13{,}1\)

✅ Vérification : la moyenne est bien comprise entre la valeur minimale (8) et la valeur maximale (18).

III. Diagrammes

📋 Méthode — Diagramme en bâtons

Pour construire un diagramme en bâtons :

1On place les valeurs sur l'axe horizontal
2On place les effectifs sur l'axe vertical
3On trace un bâton vertical dont la hauteur correspond à l'effectif de chaque valeur

📋 Méthode — Diagramme circulaire

Pour construire un diagramme circulaire :

1On calcule la fréquence de chaque valeur
2On convertit en degrés : fréquence × 360° (ou produit en croix)
3On trace le disque avec un compas et on répartit les secteurs avec un rapporteur

✏️ Exemple

On reprend les données sur les sports préférés des élèves de 5A. Compléter le tableau des degrés pour le diagramme circulaire.

Sport	Football	Basket	Danse	Handball	Tennis	Total
Effectif	8	6	6	2	3	25
Degrés	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	360°

Méthode : on effectue un produit en croix pour chaque valeur.

Pour football : \(\dfrac{8}{25} \times 360° = \dfrac{8 \times 360}{25} = \dfrac{2880}{25} = 115{,}2°\)

Pour basket : \(\dfrac{6}{25} \times 360° = 86{,}4°\)

Pour danse : \(\dfrac{6}{25} \times 360° = 86{,}4°\)

Pour handball : \(\dfrac{2}{25} \times 360° = 28{,}8°\)

Pour tennis : \(\dfrac{3}{25} \times 360° = 43{,}2°\)

Sport	Football	Basket	Danse	Handball	Tennis	Total
Effectif	8	6	6	2	3	25
Degrés	115,2°	86,4°	86,4°	28,8°	43,2°	360°

✅ Vérification : \(115{,}2 + 86{,}4 + 86{,}4 + 28{,}8 + 43{,}2 = 360°\) ✓

🧩 Exercice

Un groupe de 28 personnes a été interrogé sur leur groupe sanguin. Voici les résultats :

Groupe sanguin	O	A	B	AB	Total
Effectif	13	10	4	1	28
Degrés	. . .	. . .	. . .	. . .	360°

Compléter le tableau en calculant les degrés pour le diagramme circulaire.

Groupe O : \(\dfrac{13}{28} \times 360° \approx 167{,}1°\)

Groupe A : \(\dfrac{10}{28} \times 360° \approx 128{,}6°\)

Groupe B : \(\dfrac{4}{28} \times 360° \approx 51{,}4°\)

Groupe AB : \(\dfrac{1}{28} \times 360° \approx 12{,}9°\)

Groupe sanguin	O	A	B	AB	Total
Effectif	13	10	4	1	28
Degrés	≈ 167,1°	≈ 128,6°	≈ 51,4°	≈ 12,9°	360°

✓ Vérification \(167{,}1 + 128{,}6 + 51{,}4 + 12{,}9 = 360°\) ✓

IV. Médiane (4ème et 3ème)

📘 Définition

Dans une série ordonnée, on appelle médiane un nombre qui partage cette série en deux groupes de même effectif : autant de valeurs en dessous qu'au-dessus.

📋 Méthode

Pour déterminer la médiane d'une série :

1On range toutes les valeurs par ordre croissant
2Si l'effectif total est impair : la médiane est la valeur du milieu
3Si l'effectif total est pair : la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales

✏️ Exemple 1 — Effectif impair

Trouver la médiane de la série suivante : 8 7 12 13 3

Étape 1 — Rangement dans l'ordre croissant :

3 7 8 12 13

Étape 2 — Effectif = 5 (impair) : la valeur du milieu est la 3ème.

La médiane est \(8\)

✅ Il y a bien 2 valeurs inférieures à 8 (3 et 7) et 2 valeurs supérieures (12 et 13).

✏️ Exemple 2 — Effectif pair

Trouver la médiane de la série suivante : 6 4 13 10

Étape 1 — Rangement dans l'ordre croissant :

4 6 10 13

Étape 2 — Effectif = 4 (pair) : les deux valeurs centrales sont 6 et 10.

Étape 3 — Moyenne des deux valeurs centrales : \(\dfrac{6 + 10}{2} = \dfrac{16}{2} = 8\)

La médiane est \(8\)

✅ Il y a bien 2 valeurs inférieures à 8 (4 et 6) et 2 valeurs supérieures (10 et 13).

🧩 Exercice

Trouver la médiane de chacune des séries suivantes :

5 ; 11 ; 3 ; 18 ; 7 ; 14 ; 9
20 ; 14 ; 6 ; 17 ; 9 ; 11

Série 1 : rangement croissant : 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 14 ; 18

Effectif = 7 (impair) → valeur du milieu = 4ème valeur.

Médiane de la série 1 : \(9\)

Série 2 : rangement croissant : 6 ; 9 ; 11 ; 14 ; 17 ; 20

Effectif = 6 (pair) → moyenne des 3ème et 4ème valeurs : \(\dfrac{11 + 14}{2} = \dfrac{25}{2} = 12{,}5\)

Médiane de la série 2 : \(12{,}5\)