Proportionnalité n°2

Trouver une valeur manquante — 3 méthodes — 5^ème

× Produit en croix ÷ Passage à l'unité k Coefficient

📌 Les 3 méthodes pour trouver une valeur manquante

① Coefficient de proportionnalité

On calcule k = y ÷ x à partir d'une colonne connue, puis on multiplie ou divise.

? = k × x | ? = y ÷ k

② Passage à l'unité

On trouve la valeur pour 1, puis on multiplie par le nombre voulu.

valeur pour 1 = y ÷ x

③ Produit en croix

On isole la valeur inconnue en multipliant les deux valeurs connues en diagonale, puis en divisant par la valeur restante.

? = (voisine × opposée) ÷ restante

Corrections vues :

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Exercice 1 / 7

Coefficient k Tableaux

✓ Vu

Les tableaux suivants sont des tableaux de proportionnalité. En utilisant le coefficient de proportionnalité, trouver les valeurs manquantes (notées ?).

Tableau A

x	4	?	16
y	10	17,5	?

Tableau B

x	6	9	?
y	8	?	20

Tableau C

x	1,5	?	9
y	3,6	6	?

💡 Indices

Dans un tableau de proportionnalité, quelle colonne choisir pour calculer le coefficient ? Quelle opération utiliser ?

Une fois le coefficient connu, comment l'utiliser pour trouver une valeur manquante ? Pense aux deux cas possibles : quand c'est y qui manque, et quand c'est x.

Pour le tableau A, calcule le coefficient à partir des valeurs que tu connais. Obtiens-tu un nombre décimal ? Comment l'utiliser ensuite ?

Méthode : k = y ÷ x (colonne connue) → y inconnu = k × x | x inconnu = y ÷ k

Tableau A

k = 10 ÷ 4 = 2,5

x inconnu = 17,5 ÷ 2,5 = 7

y inconnu = 2,5 × 16 = 40

x	4	7	16
y	10	17,5	40

Tableau B

k = 8 ÷ 6 = 4/3 ≈ 1,333…

y inconnu = (4/3) × 9 = 12

x inconnu = 20 ÷ (4/3) = 20 × (3/4) = 15

x	6	9	15
y	8	12	20

Tableau C

k = 3,6 ÷ 1,5 = 2,4

x inconnu = 6 ÷ 2,4 = 2,5

y inconnu = 2,4 × 9 = 21,6

x	1,5	2,5	9
y	3,6	6	21,6

Exercice 2 / 7

Passage à l'unité Problèmes concrets

✓ Vu

Résoudre chaque problème en utilisant la méthode du passage à l'unité. Présenter les calculs clairement.

a. En 4 heures, une imprimante imprime 360 pages. Combien de pages imprime-t-elle en 7 heures ?

b. 5 kg de pommes coûtent 8,50 €. Quel est le prix de 3 kg de pommes ?

c. Une voiture parcourt 270 km en 3 heures. Quelle distance parcourt-elle en 5 heures (à la même vitesse) ?

💡 Indices

Le passage à l'unité : d'abord trouver la valeur pour 1 (ex. : prix d'1 kg, pages en 1 h…).

Pour le cas a., quelle valeur connue te permet de trouver ce que vaut une seule unité ? Comment utiliser ce résultat pour répondre à la question ?

Pour le cas b., quelle est la valeur unitaire à trouver en premier ? Puis comment l'utiliser pour répondre à la question posée ?

Méthode passage à l'unité : Étape 1 → valeur pour 1. Étape 2 → valeur pour n = (val. pour 1) × n

a. — Imprimante

Pages en 1 heure : 360 ÷ 4 = 90 pages/h

Pages en 7 heures : 90 × 7 = 630 pages

En 7 heures, l'imprimante imprime 630 pages.

b. — Pommes

Prix de 1 kg : 8,50 ÷ 5 = 1,70 €/kg

Prix de 3 kg : 1,70 × 3 = 5,10 €

3 kg de pommes coûtent 5,10 €.

c. — Voiture

Distance en 1 heure : 270 ÷ 3 = 90 km/h

Distance en 5 heures : 90 × 5 = 450 km

La voiture parcourt 450 km en 5 heures.

Exercice 3 / 7

Produit en croix Tableaux simples

✓ Vu

En utilisant le produit en croix et en détaillant les calculs, trouver les valeurs manquantes.

Rappel : Dans un tableau de proportionnalité

a	b
c	d

on cherche ? en faisant : ? = (valeur voisine × valeur opposée) ÷ valeur restante

Tableau a

5	2
60	?

Tableau b

5	60
?	2

Tableau c

?	5
60	2

Tableau d

42	?
7	6

Tableau e

28	1,2
?	3

Tableau f

?	11
3,5	5,5

💡 Indices

Dans un tableau de proportionnalité à 4 cases, quel lien particulier existe-t-il entre les valeurs placées en diagonale ?

À partir de la relation entre les diagonales, comment isoler l'inconnue selon sa position dans le tableau ?

Pour le tableau a., repère la position de l'inconnue. Quelles valeurs connues faut-il utiliser pour la calculer avec la relation diagonale ?

Produit en croix : les deux diagonales donnent des produits égaux. On isole l'inconnue en divisant par la valeur opposée.

Tableau a

? = (2 × 60) ÷ 5 = 120 ÷ 5 = 24

Tableau b

? = (5 × 2) ÷ 60 = 10 ÷ 60 = 1/6 ≈ 0,167

Tableau c

? = (5 × 60) ÷ 2 = 300 ÷ 2 = 150

Tableau d

? = (42 × 6) ÷ 7 = 252 ÷ 7 = 36

Tableau e

? = (28 × 3) ÷ 1,2 = 84 ÷ 1,2 = 70

Tableau f

? = (11 × 3,5) ÷ 5,5 = 38,5 ÷ 5,5 = 7

Exercice 4 / 7

Produit en croix Décimaux

✓ Vu

En utilisant uniquement le produit en croix, compléter les tableaux suivants (plusieurs valeurs manquantes par tableau).

Tableau g

0,6	2,4	?
1,35	?	9

Tableau h

6,4	4	?
8	?	5

Tableau i

11	55	?
?	62,5	6,25

Et pour finir, ce grand tableau avec plusieurs valeurs manquantes :

Ligne 1	1	4	?	20	?
Ligne 2	0,6	?	1,2	?	66,6

💡 Indices

Pour un tableau à 3 colonnes, comment utiliser la colonne dont tu connais les deux valeurs comme point de départ pour trouver les autres ?

Pour le tableau g, quelle colonne te donne les deux valeurs connues à utiliser comme référence ? Comment appliquer la méthode pour chaque colonne incomplète ?

Pour le grand tableau, quelle colonne choisir comme référence ? Essaie d'écrire l'égalité des produits en croix pour la colonne 3.

Tableau g

Référence col. 1 : 0,6 / 1,35

Col. 2 manquante : ? = (2,4 × 1,35) ÷ 0,6 = 3,24 ÷ 0,6 = 5,4

Col. 3 manquante : ? = (0,6 × 9) ÷ 1,35 = 5,4 ÷ 1,35 = 4

0,6	2,4	4
1,35	5,4	9

Tableau h

Col. 2 manquante : ? = (4 × 8) ÷ 6,4 = 32 ÷ 6,4 = 5

Col. 3 manquante : ? = (6,4 × 5) ÷ 8 = 32 ÷ 8 = 4

6,4	4	4
8	5	5

Tableau i

Lg 2 col. 1 : ? = (11 × 62,5) ÷ 55 = 687,5 ÷ 55 = 12,5

Col. 3 (lg 1) : ? = (11 × 6,25) ÷ 12,5 = 68,75 ÷ 12,5 = 5,5

11	55	5,5
12,5	62,5	6,25

Grand tableau

Col. 2 (lg 2) : ? = (4 × 0,6) ÷ 1 = 2,4

Col. 3 (lg 1) : ? = (1 × 1,2) ÷ 0,6 = 2

Col. 4 (lg 2) : ? = (20 × 0,6) ÷ 1 = 12

Col. 5 (lg 1) : ? = (1 × 66,6) ÷ 0,6 = 111

Ligne 1	1	4	2	20	111
Ligne 2	0,6	2,4	1,2	12	66,6

Exercice 5 / 7

Produit en croix Problème concret

✓ Vu

Une usine produit 1 200 bouteilles en 3 heures.

a. Combien de bouteilles produit-elle en 2 heures ?
b. Combien de temps faut-il pour produire 6 000 bouteilles ?

Compléter ce tableau, puis résoudre en utilisant le produit en croix.

Nombre de bouteilles	1 200	?	6 000
Temps (en h)	3	2	?

💡 Indices

Pour la question a., tu cherches le nombre de bouteilles pour 2h. Les deux valeurs connues dans la même colonne sont 1 200 (bouteilles) et 3 (h).

Pour le cas a., quelles sont les deux grandeurs proportionnelles ? Comment écrire l'égalité des produits en croix avec les valeurs connues et l'inconnue ?

Pour le cas b., l'inconnue est le temps. Comment construire le produit en croix à partir des valeurs connues pour l'isoler ?

a. — Bouteilles en 2 heures

? = (1 200 × 2) ÷ 3 = 2 400 ÷ 3 = 800

En 2 heures, l'usine produit 800 bouteilles.

b. — Temps pour 6 000 bouteilles

? = (6 000 × 3) ÷ 1 200 = 18 000 ÷ 1 200 = 15

Il faut 15 heures pour produire 6 000 bouteilles.

Nombre de bouteilles	1 200	800	6 000
Temps (en h)	3	2	15

Exercice 6 / 7

Produit en croix Recette & Vélo

✓ Vu

Résoudre chaque problème en construisant un tableau, puis en appliquant le produit en croix.

Problème A — Recette
Dans une recette pour 4 personnes, il faut 125 g de farine. Quelle quantité de farine faut-il pour 5 personnes ?

Problème B — Vélo
J'ai mis 15 minutes à vélo pour aller au stade, situé à 3 km.

1. Combien de temps me faudra-t-il pour parcourir 4 km à la même vitesse ?
2. Quelle distance puis-je parcourir en 45 minutes ?

💡 Indices

Pour chaque problème, crée un tableau à 2 lignes et place les données connues. La valeur inconnue est indiquée par ?.

Pour la recette, quelles sont les deux grandeurs à mettre en rapport ? Comment construire le tableau et écrire le produit en croix ?

Pour le vélo, quelle est la grandeur inconnue ? Comment organiser les données dans un tableau pour appliquer le produit en croix ?

Problème A — Recette

Nombre de personnes	4	5
Farine (en g)	125	?

? = (5 × 125) ÷ 4 = 625 ÷ 4 = 156,25 g

Pour 5 personnes, il faut 156,25 g de farine.

Problème B — Vélo

Question 1 — Temps pour 4 km

Distance (en km)	3	4
Temps (en min)	15	?

? = (4 × 15) ÷ 3 = 60 ÷ 3 = 20 minutes

Il me faudra 20 minutes pour parcourir 4 km.

Question 2 — Distance en 45 minutes

Distance (en km)	3	?
Temps (en min)	15	45

? = (3 × 45) ÷ 15 = 135 ÷ 15 = 9 km

En 45 minutes, je peux parcourir 9 km.

Exercice 7 / 7

Coefficient k Passage unité Produit en croix

✓ Vu

Pour chacune des questions, résoudre par la méthode de ton choix (ou celle indiquée) en construisant un tableau de proportionnalité et en présentant les calculs.

a. [Méthode libre] Un robinet remplit un réservoir de 450 litres en 30 minutes. Combien de litres remplit-il en 50 minutes ?

b. [Produit en croix] Sur une carte, 4 cm représentent 60 km. Quelle distance réelle correspond à 7 cm sur la carte ?

c. [Passage à l'unité] 12 crayons coûtent 7,20 €. Combien coûtent 5 crayons ?

d. [Produit en croix] Un train roule à vitesse constante. Il parcourt 210 km en 1h45. En combien de temps parcourt-il 300 km ?
(Indication : convertis 1h45 en minutes.)

💡 Indices

Pour chaque question, construis un tableau 2 lignes avec les données connues, puis place le ? dans la case cherchée.

Pour la question d., il faut d'abord convertir les unités de temps. Comment exprimer 1 h 45 min en minutes ? Puis construis ton produit en croix.

Pour les questions b. et c., quelles sont les deux grandeurs proportionnelles dans chaque cas ? Comment écrire le produit en croix pour isoler l'inconnue ?

a. — Robinet (méthode coefficient)

Temps (min)	30	50
Volume (L)	450	?

k = 450 ÷ 30 = 15 L/min → ? = 15 × 50 = 750 litres

En 50 minutes, le robinet remplit 750 litres.

b. — Carte (produit en croix)

Distance carte (cm)	4	7
Distance réelle (km)	60	?

? = (7 × 60) ÷ 4 = 420 ÷ 4 = 105 km

7 cm sur la carte correspondent à 105 km en réalité.

c. — Crayons (passage à l'unité)

Nombre de crayons	12	5
Prix (€)	7,20	?

Prix d'1 crayon = 7,20 ÷ 12 = 0,60 € → ? = 0,60 × 5 = 3,00 €

5 crayons coûtent 3,00 €.

d. — Train (produit en croix)

Conversion : 1 h 45 min = 60 + 45 = 105 minutes

Distance (km)	210	300
Temps (min)	105	?

? = (300 × 105) ÷ 210 = 31 500 ÷ 210 = 150 min = 2 h 30 min

Le train met 2 heures 30 minutes pour parcourir 300 km.