Les Ratios

Proportionnalité n°5 — Feuille d'exercices — 5^ème

∶ Ratios ✕ Facteurs premiers ⟜ Partage

📌 Les 4 notions clés sur les ratios

① Vérifier deux ratios

Mettre les valeurs en tableau et calculer les quotients. Si tous égaux → même ratio.

a : b = c : d ⟺ ab = cd

② Trouver une valeur

Construire un tableau de proportionnalité et utiliser le produit en croix.

? = voisine · opposéerestante

③ Simplifier un ratio

Décomposer chaque terme en produit de facteurs premiers, puis diviser par le PGCD.

60 : 45 → ÷ 15 → 4 : 3

④ Partager selon un ratio

Sommer les termes du ratio → trouver la valeur unitaire → multiplier chaque terme.

valeur d'1 part = totala+b+c

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Exercice 1 / 7

Vérifier un ratio Quotients

✓ Vu

Les nombres suivants sont-ils dans le ratio indiqué ? Pour chaque cas, construire un tableau et calculer les quotients pour justifier.

Cas A

Les nombres 18 : 6 sont-ils dans le ratio 3 : 1 ?

Cas B

Les nombres 45 : 30 sont-ils dans le ratio 3 : 2 ?

Cas C

Les nombres 28 : 12 sont-ils dans le ratio 7 : 4 ?

💡 Mettre les deux paires de valeurs en tableau (une paire par colonne) et vérifier que les quotients sont égaux.

💡 Indices

Construis un tableau à 2 lignes et 2 colonnes. Place le premier ratio dans la colonne 1 (une valeur par ligne), le second ratio dans la colonne 2.

Pour comparer deux ratios, quel calcul peut-on faire sur chaque colonne pour vérifier s'ils représentent le même rapport ?

Applique ce calcul sur le cas A et compare les deux résultats obtenus. Qu'est-ce que cela te permet de conclure ?

Méthode : On place chaque paire en colonne et on calcule le quotient (ligne 1 ÷ ligne 2) pour chaque colonne. Si les quotients sont égaux, les ratios sont identiques.

Cas A — 18 : 6 et 3 : 1

	Paire 1	Paire 2
Ligne 1	18	3
Ligne 2	6	1
Quotient	186 = 3	31 = 3

Les quotients sont égaux (3 = 3). ✓ Oui, 18 : 6 est bien dans le ratio 3 : 1.

Cas B — 45 : 30 et 3 : 2

	Paire 1	Paire 2
Ligne 1	45	3
Ligne 2	30	2
Quotient	4530 = 1,5	32 = 1,5

Les quotients sont égaux (1,5 = 1,5). ✓ Oui, 45 : 30 est bien dans le ratio 3 : 2.

Cas C — 28 : 12 et 7 : 4

	Paire 1	Paire 2
Ligne 1	28	7
Ligne 2	12	4
Quotient	2812 ≈ 2,33	74 = 1,75

Les quotients sont différents (2,33 ≠ 1,75). ✗ Non, 28 : 12 n'est pas dans le ratio 7 : 4.

Exercice 2 / 7

Ratio à 3 termes Quotients

✓ Vu

Les nombres 55 : 20 : 10 sont-ils dans le ratio 11 : 4 : 2 ?

Construire un tableau à 3 colonnes (une par paire de valeurs) et calculer les quotients pour justifier.

💡 Indices

Comment organiser les trois paires de valeurs dans un tableau pour pouvoir les comparer facilement ?

Applique le même calcul de comparaison que dans l'exercice 1 sur chacune des trois colonnes.

Compare les trois résultats obtenus. Sont-ils tous égaux ? Qu'est-ce que cela t'indique sur ces trois ratios ?

	Colonne 1	Colonne 2	Colonne 3
Valeurs réelles	55	20	10
Ratio de référence	11	4	2
Quotient	5511 = 5	204 = 5	102 = 5

Les trois quotients sont tous égaux à 5. ✓ Oui, 55 : 20 : 10 est bien dans le ratio 11 : 4 : 2.
On remarque que 55 : 20 : 10 = 5 · (11 : 4 : 2).

Exercice 3 / 7

Valeur manquante Produit en croix

✓ Vu

Trouver x dans chaque cas, en construisant un tableau de proportionnalité et en utilisant le produit en croix.

a.50 : 8 et 25 : x sont dans le même ratio.

b.3 : 7 et x : 42 sont dans le même ratio.

c.0,6 : 1,5 et 4 : x sont dans le même ratio.

💡 Indices

Comment organiser les deux paires de valeurs connues et l'inconnue dans un tableau pour pouvoir utiliser la proportionnalité ?

Dans un tableau de proportionnalité, quel lien y a-t-il entre les valeurs placées en diagonale ? Comment en déduire la valeur inconnue ?

Pour le cas a., repère la position de l'inconnue dans le tableau. Quelles valeurs connues peut-on utiliser pour la calculer ?

Rappel produit en croix : ? = voisine · opposéerestante

a. — 50 : 8 = 25 : x

Ligne 1	50	25
Ligne 2	8	x

x = 8 · 2550 = 20050 = 4

x = 4 | Vérification : 508 = 254 = 6,25 ✓

b. — 3 : 7 = x : 42

Ligne 1	3	x
Ligne 2	7	42

x = 3 · 427 = 1267 = 18

x = 18 | Vérification : 37 = 1842 ≈ 0,429 ✓

c. — 0,6 : 1,5 = 4 : x

Ligne 1	0,6	4
Ligne 2	1,5	x

x = 1,5 · 40,6 = 60,6 = 10

x = 10 | Vérification : 0,61,5 = 410 = 0,4 ✓

Exercice 4 / 7

Simplification Divisibilité

✓ Vu

Simplifier les ratios suivants en utilisant les critères de divisibilité (diviser les deux termes par leur plus grand diviseur commun).

a.Simplifier le ratio 60 : 45

b.Simplifier le ratio 84 : 36

c.Simplifier le ratio 120 : 75 : 45

Rappel critères de divisibilité : par 2 (chiffre des unités pair) · par 3 (somme des chiffres divisible par 3) · par 5 (finit par 0 ou 5) · par 9 (somme des chiffres divisible par 9) · par 10 (finit par 0)

💡 Indices

Pour simplifier un ratio, cherche un nombre qui divise exactement les deux termes à la fois. Par où commencer ?

Après une première simplification, le ratio obtenu peut-il encore être simplifié ? Comment le vérifier ?

Pour le cas b., quels critères de divisibilité peux-tu utiliser pour trouver un diviseur commun à 84 et 36 ?

a. — 60 : 45

60 et 45 finissent tous les deux par 0 ou 5 → divisibles par 5

60 ÷ 5 = 12 | 45 ÷ 5 = 9 → ratio : 12 : 9

12 et 9 : somme des chiffres → 1+2=3 et 9 → divisibles par 3

12 ÷ 3 = 4 | 9 ÷ 3 = 3 → ratio : 4 : 3

4 et 3 n'ont pas de diviseur commun autre que 1 → simplifié.

60 : 45 = 4 : 3 (le plus grand diviseur commun est 15)

b. — 84 : 36

84 et 36 sont pairs → divisibles par 2

84 ÷ 2 = 42 | 36 ÷ 2 = 18 → 42 : 18

42 et 18 sont encore pairs → ÷ 2

42 ÷ 2 = 21 | 18 ÷ 2 = 9 → 21 : 9

21 et 9 : sommes 2+1=3 et 9 → divisibles par 3

21 ÷ 3 = 7 | 9 ÷ 3 = 3 → 7 : 3

7 et 3 sont premiers entre eux → simplifié.

84 : 36 = 7 : 3 (le plus grand diviseur commun est 12)

c. — 120 : 75 : 45

Les trois termes finissent par 0 ou 5 → divisibles par 5

120 ÷ 5 = 24 | 75 ÷ 5 = 15 | 45 ÷ 5 = 9 → 24 : 15 : 9

Sommes : 2+4=6, 1+5=6, 9 → divisibles par 3

24 ÷ 3 = 8 | 15 ÷ 3 = 5 | 9 ÷ 3 = 3 → 8 : 5 : 3

8, 5 et 3 n'ont pas de diviseur commun → simplifié.

120 : 75 : 45 = 8 : 5 : 3 (le plus grand diviseur commun est 15)

Exercice 5 / 7

Facteurs premiers Simplification

✓ Vu

En utilisant la méthode de décomposition en facteurs premiers (tableau de division), répondre aux questions suivantes.

1.Décomposer 24 et 18 en produit de facteurs premiers.

2.En déduire le plus grand diviseur commun de 24 et 18, puis simplifier le ratio 24 : 18.

3.Décomposer 132 en produit de facteurs premiers, puis simplifier le ratio 132 : 44.

Méthode : On divise successivement le nombre par le plus petit facteur premier possible (2, puis 3, puis 5, puis 7…) jusqu'à obtenir 1. Le produit de tous les facteurs utilisés est la décomposition.

💡 Indices

Pour décomposer 24 en facteurs premiers, par quel petit nombre premier peut-on commencer à diviser ? Continue jusqu'à obtenir 1.

Une fois les deux décompositions en facteurs premiers obtenues, quels facteurs retrouve-t-on dans les deux à la fois ? Comment les utiliser pour simplifier le ratio ?

Pour décomposer 132, par quel nombre premier commence-t-on ? Applique la même méthode que pour les nombres précédents.

Question 1 — Décomposition de 24 et 18

Décomposition de 24

24 = 2 · 2 · 2 · 3

Décomposition de 18

18 = 2 · 3 · 3

Question 2 — Simplification de 24 : 18

On écrit le ratio sous forme de fraction, puis on identifie les facteurs communs (en rouge) :

2418 = 2 · 2 · 2 · 32 · 3 · 3 = 23 = 4 : 3

Les facteurs barrés s'annulent, il reste 2 au numérateur et 3 au dénominateur.

24 : 18 = 4 : 3 (le plus grand diviseur commun est 6)

Question 3 — Décomposition de 132 et simplification de 132 : 44

Décomposition de 132

132

132 = 2 · 2 · 3 · 11

Décomposition de 44

44 = 2 · 2 · 11

On écrit le ratio sous forme de fraction et on barre les facteurs communs :

13244 = 2 · 2 · 3 · 112 · 2 · 11 = 31 = 3 : 1

Les facteurs barrés s'annulent, il reste 3 au numérateur et 1 au dénominateur.

132 : 44 = 3 : 1 (le plus grand diviseur commun est 44)

Exercice 6 / 7

Partage selon un ratio Problème concret

✓ Vu

Jules prépare une salade. Il partage l'huile, le vinaigre et la moutarde dans le ratio 1 : 2 : 3. Il dispose de 852 g à partager.

1.Calculer le total des termes du ratio.

2.Trouver la valeur unitaire (valeur d'une "part").

3.En déduire la quantité de chaque ingrédient.

4.Vérifier en faisant la somme des trois quantités.

💡 Indices

Le ratio indique combien de parts reviennent à chaque ingrédient. Combien y a-t-il de parts au total ? Comment trouver la valeur d'une part ?

Une fois la valeur d'une part trouvée, comment calculer la quantité correspondant à chaque ingrédient selon son nombre de parts ?

Comment vérifier que les trois quantités obtenues sont bien correctes par rapport à l'énoncé ?

Méthode : ① Total ratio → ② Valeur unitaire = total g ÷ total ratio → ③ Multiplier chaque terme → ④ Vérification

Huile : 142 g | Vinaigre : 284 g | Moutarde : 426 g

Exercice 7 / 7

Partage selon un ratio Distance

✓ Vu

Partager une distance de 1 501 m dans le ratio 5 : 6 : 8.

1.Calculer le total des termes du ratio.

2.Calculer la valeur d'une part.

3.Donner les trois distances obtenues.

4.Vérification.

💡 Indices

Combien y a-t-il de parts au total dans ce ratio ? Comment répartir la distance totale en ce nombre de parts ?

Une fois la valeur d'une part calculée, comment obtenir la distance de chaque segment selon son nombre de parts dans le ratio ?

Comment vérifier que les trois distances obtenues correspondent bien à la distance totale indiquée dans l'énoncé ?

Les trois segments mesurent 395 m, 474 m et 632 m.