Problèmes de proportionnalité — 5ème

Problème 1 / 6

Reconnaître Partie fixe

✓ Vu

1.Calculer le prix total pour 1 h, 2 h et 4 h de location.

2.Quand on double la durée de location (de 2 h à 4 h), est-ce que le prix double aussi ? Que peut-on en conclure ?

3.Si la caution était supprimée (0 € de frais fixes), la situation serait-elle proportionnelle ? Justifier.

💡 Indices

Le prix dépend de plusieurs éléments dans cet énoncé. Lesquels ? Certains varient selon la durée, d'autres non.

Pour juger de la proportionnalité, demande-toi : quand la durée double, est-ce que le prix double exactement ? Ou bien y a-t-il quelque chose qui "résiste" ?

Question 1 — Prix pour 1 h, 2 h et 4 h

1 h : 2 + 3 × 1 = 5 €

2 h : 2 + 3 × 2 = 8 €

4 h : 2 + 3 × 4 = 14 €

Durée (h)	1	2	4
Prix (€)	5	8	14

Question 2 — Quand la durée double, le prix double-t-il ?

De 2 h à 4 h, la durée double. Mais le prix passe de 8 € à 14 € — il ne double pas (8 × 2 = 16 ≠ 14).

On peut aussi vérifier les quotients : 51 = 5 ≠ 82 = 4 ≠ 144 = 3,5

Le prix n'est pas proportionnel à la durée, car la caution fixe de 2 € rompt la proportionnalité.

Question 3 — Sans caution fixe

Sans caution, le prix serait : 3 × durée. Le quotient prixdurée vaudrait toujours 3.

Oui, sans partie fixe, la situation serait proportionnelle avec un coefficient de 3 €/h.

Problème 2 / 6

Produit en croix Recette

✓ Vu

1.Léa veut faire 20 cookies. Quelle quantité de farine lui faut-il ? Utiliser le produit en croix.

2.Tom a seulement 45 g de beurre. Pour combien de cookies peut-il faire la recette ?

3.Inès veut faire 30 cookies. Calculer la quantité des trois ingrédients nécessaires.

💡 Indices

Quelles sont les deux grandeurs qui varient ensemble dans ce problème ? Comment organiser ces informations dans un tableau ?

Dans un tableau de proportionnalité, quel lien existe-t-il entre les valeurs placées en diagonale ? Comment peut-on s'en servir pour trouver l'inconnue ?

Question 1 — Farine pour 20 cookies

Cookies	12	20
Farine (g)	180	?

? = 180 × 2012 = 3 60012 = 300 g

Léa a besoin de 300 g de farine pour 20 cookies.

Question 2 — Cookies avec 45 g de beurre

Cookies	12	?
Beurre (g)	90	45

? = 12 × 4590 = 54090 = 6 cookies

Tom peut faire 6 cookies avec 45 g de beurre.

Question 3 — Ingrédients pour 30 cookies

30 cookies = 12 cookies × 2,5 → on multiplie tout par 2,5 :

Farine : 180 × 2,5 = 450 g

Beurre : 90 × 2,5 = 225 g

Sucre : 60 × 2,5 = 150 g

Pour 30 cookies : 450 g de farine, 225 g de beurre, 150 g de sucre.

Problème 3 / 6

Passage à l'unité Coefficient k

✓ Vu

1.Quel est le coefficient de proportionnalité entre la distance parcourue (en km) et la quantité d'essence consommée (en L) ? Que représente-t-il concrètement ?

2.En utilisant le passage à l'unité, calculer la consommation pour un trajet de 250 km.

3.Le réservoir contient 45 L. Quelle distance maximale la famille peut-elle parcourir ?

💡 Indices

Le coefficient de proportionnalité se calcule toujours de la même façon : c'est le rapport entre les deux grandeurs liées. Ici, lesquelles sont proportionnelles ? Dans quel sens divise-t-on ?

Pour trouver une valeur inconnue, peux-tu d'abord trouver ce que vaut une seule unité ? Comment s'en servir ensuite pour obtenir la quantité cherchée ?

Question 1 — Coefficient de proportionnalité

k = 6100 = 0,06 L/km

Le coefficient est 0,06. Il représente la consommation pour 1 km : la voiture consomme 0,06 litre par kilomètre.

Question 2 — Consommation pour 250 km (passage à l'unité)

Consommation pour 1 km : 6 ÷ 100 = 0,06 L

Consommation pour 250 km : 0,06 × 250 = 15 L

Pour 250 km, la voiture consomme 15 L d'essence.

Question 3 — Distance avec 45 L

Distance pour 1 L : 100 ÷ 6 ≈ 16,67 km

Distance pour 45 L : 16,67 × 45 = 750 km

Vérification : 750 km × 0,06 L/km = 45 L ✓

Avec 45 L, la famille peut parcourir 750 km.

Problème 4 / 6

Ratios Échelle & carte

✓ Vu

1.Le ratio distance carte : distance réelle est 4 : 600 000 (en cm). Simplifier ce ratio en utilisant les critères de divisibilité.

2.Sur cette même carte, deux villages sont distants de 7 cm. Quelle est la distance réelle entre eux ? (Utiliser le produit en croix.)

3.La distance réelle entre deux sommets est de 9 km. Quelle distance les sépare sur la carte ?

💡 Indices

Pour simplifier un ratio, cherche par quel nombre les deux termes sont divisibles en même temps. Regarde d'abord les petits diviseurs : 2, 3, 4, 5…

Comment les données de l'énoncé (une distance sur carte et la distance réelle correspondante) peuvent-elles t'aider à construire un tableau ? Quelle est la valeur inconnue ?

Question 1 — Simplification du ratio 4 : 600 000

4 et 600 000 sont tous deux divisibles par 4 :

4 ÷ 4 = 1 | 600 000 ÷ 4 = 150 000

4 : 600 000 = 1 : 150 000 — c'est l'échelle de la carte (1/150 000^e).

Question 2 — Distance réelle pour 7 cm sur la carte

Carte (cm)	4	7
Réel (km)	6	?

? = 7 × 64 = 424 = 10,5 km

Les deux villages sont distants de 10,5 km en réalité.

Question 3 — Distance sur la carte pour 9 km réels

Carte (cm)	4	?
Réel (km)	6	9

? = 4 × 96 = 366 = 6 cm

Les deux sommets sont distants de 6 cm sur la carte.

Problème 5 / 6

Partage selon un ratio

✓ Vu

1.Calculer le nombre total de parts.

2.Calculer la valeur d'une part (en mL).

3.Donner la quantité de peinture reçue par chaque groupe.

4.Vérifier le résultat en calculant la somme des trois quantités.

💡 Indices

La première étape est toujours de compter le nombre total de parts que représente le ratio. Une fois ce total connu, comment obtenir la valeur d'une seule part ?

Chaque groupe reçoit un certain nombre de parts. Comment passe-t-on du nombre de parts à la quantité en mL ? Pense à ce que tu as calculé à l'étape précédente.

Groupe A : 252 mL | Groupe B : 378 mL | Groupe C : 630 mL

Problème 6 / 6

Bilan Toutes les notions

✓ Vu

1.Le prix de la Formule A est-il proportionnel au nombre de séances ? Et la Formule B ? Justifier.

2.Calculer le prix de chaque formule pour 10 séances, 20 séances et 40 séances.

3.À partir de combien de séances la Formule B devient-elle moins chère que la Formule A ? (Utiliser le produit en croix ou le raisonnement.)

💡 Indices

Rappelle-toi ce qui caractérise une situation proportionnelle : le rapport entre deux grandeurs doit rester constant. Y a-t-il une somme qui s'ajoute quoi qu'il arrive dans l'une des formules ?

Regarde le tableau de la question 2 : à 20 séances, que remarques-tu ? Qu'est-ce qui change ensuite quand on ajoute des séances supplémentaires dans chaque formule ?

Question 1 — Proportionnalité des deux formules

Formule A : Prix = 1,50 × séances. Pas de partie fixe → proportionnelle, coefficient 1,50 €/séance.

Formule B : Prix = 20 + 0,50 × séances. La partie fixe de 20 € brise le rapport constant → non proportionnelle.

Question 2 — Comparaison des prix

Séances	10	20	40
Formule A (€)	15	30	60
Formule B (€)	25	30	40

A (10) : 1,50 × 10 = 15 € | B (10) : 20 + 0,50 × 10 = 25 €
A (20) : 1,50 × 20 = 30 € | B (20) : 20 + 0,50 × 20 = 30 €
A (40) : 1,50 × 40 = 60 € | B (40) : 20 + 0,50 × 40 = 40 €

Question 3 — Seuil de rentabilité de la Formule B

On observe que pour 20 séances, les deux formules coûtent exactement 30 €.

À partir de là, chaque séance de plus coûte 1 € de moins avec la Formule B (0,50 € vs 1,50 €). Donc dès 21 séances, la Formule B est moins chère.

Raisonnement : l'abonnement de 20 € est "rentabilisé" quand on fait assez de séances. La différence de prix par séance est 1,50 − 0,50 = 1 €. Il faut donc 20 ÷ 1 = 20 séances pour rentabiliser l'abonnement.

À partir de 21 séances, la Formule B devient moins chère que la Formule A.