Pour simplifier un produit de plusieurs facteurs, on peut modifier l'ordre de ses facteurs.
\(3 \times x \times 2 = 2 \times 3 \times x = 6x\)
✏️ Exemple
Simplifier les expressions suivantes :
1)
\(2 \times b\)
. . . . . .\(= 2b\)
2)
\(a \times b\)
. . . . . .\(= ab\)
3)
\(1 \times x\)
. . . . . .\(= x\)
4)
\(4 \times (7a + 3)\)
. . . . . .\(= 4(7a+3)\)
5)
\(2x \times 3x\)
. . . . . .\(= 6x^2\)
6)
\(x \times x\)
. . . . . .\(= x^2\)
7)
\(x \times x \times x\)
. . . . . .\(= x^3\)
💡 3) Multiplier par 1 ne change pas un nombre : \(1 \times x = x\).
💡 4) On supprime le \(\times\), mais on ne développe pas — la parenthèse reste telle quelle.
💡 5) On regroupe les nombres : \(2 \times 3 = 6\), puis les lettres : \(x \times x = x^2\).
🧩 Exercice
Simplifier les expressions suivantes :
a)
\(5 \times a\)
. . . . . .\(= 5a\)
b)
\(3 \times y \times 4\)
. . . . . .\(= 12y\)
c)
\(1 \times a \times b\)
. . . . . .\(= ab\)
d)
\(5x \times 2x\)
. . . . . .\(= 10x^2\)
💡 b) On regroupe les nombres : \(3 \times 4 = 12\), puis la lettre : \(12y\).
💡 c) \(1 \times a \times b = ab\) — le 1 disparaît.
💡 d) \(5 \times 2 = 10\) et \(x \times x = x^2\), donc \(10x^2\).
2. Réduire
📗 Propriété
On peut regrouper les termes semblables, c'est-à-dire les termes qui contiennent la même lettre.
\(\textcolor{#1a6fa0}{ax} + \textcolor{#1a6fa0}{bx}\) se réduit en \(\textcolor{#1a6fa0}{(a+b)x}\)
\(\textcolor{#1b7a40}{ax} - \textcolor{#1b7a40}{bx}\) se réduit en \(\textcolor{#1b7a40}{(a-b)x}\)
⚠️ Attention – Ne pas confondre !
Multiplication répétée
\(x^2 = x \times x\)
Ex : si \(x=3\), alors \(x^2 = 9\)
Addition répétée
\(2x = x + x\)
Ex : si \(x=3\), alors \(2x = 6\)
\(x^2 \neq 2x\) — ce sont deux choses complètement différentes !
✏️ Exemple
Réduire, si possible, les expressions suivantes :
1)
\(2x + 3x\)
\(2x\) \(+\) \(3x\)
. . . . . .\(= 5x\)
2)
\(5x - 3x\)
\(5x\) \(-\) \(3x\)
. . . . . .\(= 2x\)
3)
\(2x + 2y\)
\(2x\) \(+\) \(2y\)
. . . . . .Impossible (\(x\) et \(y\) sont différents)
💡 Les termes de même couleur ont la même lettre : on les additionne ou soustrait.
💡 3) \(x\) et \(y\) sont deux lettres différentes : impossible à réduire.
💡 4) Quand on voit juste \(x\) sans chiffre devant, c'est \(1x\) ! Donc \(2x + 1x = 3x\). Le \(\textcolor{#c0392b}{10}\) est un nombre sans lettre : il reste seul.
💡 Termes de même couleur = même lettre = on les regroupe.
💡 c) Le \(x\) seul vaut \(1x\) : \(3x + 1x = 4x\). Le \(5y\) reste seul car \(y \neq x\).
💡 d) On peut réorganiser : \(3a + 6b + 2b = 3a + 8b\).
III. Substituer dans une expression littérale
📘 Définition
Calculer la valeur d'une expression littérale, c'est attribuer un nombre à chaque lettre de l'expression afin d'effectuer le calcul.
✏️ Exemple
Calculer \(A = 2x + 3y - 5\) lorsque \(x = 1\) et \(y = 3\).
Tester une égalité entre deux expressions littérales, c'est remplacer les lettres par des valeurs, calculer chacun des membres et regarder si les deux membres donnent le même résultat.
✏️ Exemple
Vérifier l'égalité \(x^2 + 7x = x(x + 7)\).
Gauche
Expression\(x^2 + 7x\)
Réduire ?\(x^2\) et \(7x\) n'ont pas la même lettre (\(x^2 \neq x\)) → on ne peut pas réduire.
Résultat\(\textcolor{#1a6fa0}{x^2 + 7x}\)
Droite
Expression\(x(x + 7)\)
On développe\(= \textcolor{#c0392b}{x} \times x + \textcolor{#c0392b}{x} \times 7\)
Simplifie\(= \textcolor{#1a6fa0}{x^2 + 7x}\)
Donc :
Gauche \(= x^2 + 7x =\) Droite. L'égalité est vraie pour tout \(x\).
2. Contre-exemples
📘 Définition
Il suffit de trouver un seul exemple pour lequel deux expressions donnent des résultats différents pour prouver qu'elles ne sont pas égales. Cet exemple s'appelle un contre-exemple.
✏️ Exemple
Léo affirme : « pour tous les nombres \(x\), on a \(5x + 1 = 6x\) ». A-t-il raison ?
On teste pour \(x = 2\) :
Gauche
Substitue\(5 \times \textcolor{#6b3fa0}{2} + 1\)
\(\times\) d'abord\(= 10 + 1\)
\(= \textcolor{#c0392b}{11}\)
Droite
Substitue\(6 \times \textcolor{#6b3fa0}{2}\)
\(= \textcolor{#c0392b}{12}\)
Donc :
Gauche \(= 11 \neq\) Droite \(= 12\). L'égalité est fausse pour \(x = 2\).