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Géométrie d'un triangle – Correction interactive

Collège 8 exercices Construction · Analyse · Calcul d'angles

📖 Ce qu'il faut savoir

Somme des angles d'un triangle
La somme des trois angles intérieurs d'un triangle est toujours égale à 180°.
\(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°\)

Triangle constructible
Un triangle est constructible si et seulement si chaque côté est strictement inférieur à la somme des deux autres (inégalité triangulaire).

Médiatrice et hauteur
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire passant par son milieu.
La hauteur issue de A est perpendiculaire à BC.

Corrections vues :

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Partie 1 – Constructions

Exercice 1 / 8

Construction au compas

✓ Vu

Construire le triangle ABC tel que AB = 6 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm, puis construire sa hauteur issue de A.

💡 Indice – débloque-les un par un (pour l'exercice 1)

Commence par tracer le segment [AB] de 6 cm. Que faut-il faire ensuite pour localiser le point C qui soit à la fois à 4 cm de A et à 5 cm de B ?

Trace un arc de cercle de centre A et de rayon 4 cm, puis un arc de centre B et de rayon 5 cm. Où se trouve C ?

La hauteur issue de A est perpendiculaire à la droite (BC). Quel outil utilises-tu pour tracer une perpendiculaire ? Où est le pied de la hauteur sur (BC) ?

On trace [AB] = 6 cm, puis les arcs de cercle de rayon 4 cm (centre A) et 5 cm (centre B). Leur intersection donne C. La hauteur issue de A est perpendiculaire à (BC).

Correction exercice 1 – triangle ABC avec hauteur issue de A

Exercice 2 / 8

Construction avec angle

✓ Vu

Construire le triangle DEF tel que DE = 6 cm, DF = 4,5 cm et D̂EF = 45°.

💡 Indice – débloque-les un par un (pour l'exercice 2)

Tu connais un côté et l'angle en E. Comment commencer la figure ? Par quel segment et quel outil ?

Trace DE = 6 cm. Depuis E, trace la demi-droite faisant un angle de 45° avec [ED]. Où est F sur cette demi-droite ?

F est à la fois sur la demi-droite issue de E à 45°, et à 4,5 cm de D. Trace un arc de cercle de centre D et de rayon 4,5 cm pour trouver F.

On trace DE = 6 cm, puis la demi-droite issue de E à 45° par rapport à [DE]. On trace ensuite l'arc de cercle de centre D et rayon 4,5 cm. L'intersection donne F.

Exercice 3 / 8

Construction avec deux angles

✓ Vu

Construire le triangle GHI tel que GH = 5 cm, Ĝ H I = 40° et Ĥ G I = 30°.

💡 Indice – débloque-les un par un (pour l'exercice 3)

Trace GH = 5 cm. Depuis H, trace la demi-droite faisant 40° avec [HG]. Depuis G, trace la demi-droite faisant 30° avec [GH]. Que remarques-tu ?

L'intersection des deux demi-droites donne le point I. Relie ensuite G, H et I pour obtenir le triangle.

On trace GH = 5 cm. Depuis H, demi-droite à 40° ; depuis G, demi-droite à 30°. Leur intersection donne I. On trace ensuite le triangle GHI.

Exercice 4 / 8

Médiatrice

✓ Vu

Tracer un segment [AB] de longueur 5,1 cm et tracer sa médiatrice.

💡 Indice – débloque-les un par un (pour l'exercice 4)

La médiatrice est perpendiculaire à [AB] et passe par son milieu. Quelle est la propriété du compas qui permet de la construire sans mesurer le milieu directement ?

Place ton compas à un écartement supérieur à la moitié de AB. Trace deux arcs de cercle de même rayon, l'un centré en A, l'autre en B. Que forment leurs intersections ?

Avec un compas d'écartement la longueur du segment [AB], trace des arcs de cercle depuis A et depuis B. La droite passant par les deux intersections est la médiatrice de [AB].

Correction exercice 4 – médiatrice de AB

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Partie 2 – Analyse et calcul d'angles

Exercice 5 / 8

Inégalité triangulaire

✓ Vu

Le triangle ABC tel que AB = 3 cm, AC = 8 cm et BC = 4,8 cm est-il constructible ?

Justifie ta réponse en utilisant l'inégalité triangulaire.

💡 Indice – débloque-les un par un (pour l'exercice 5)

Quelle condition doit satisfaire chaque côté d'un triangle par rapport aux deux autres ? Comment « tester » le plus grand côté en premier ?

Compare AC = 8 cm à AB + BC. La somme est-elle supérieure ou inférieure à 8 cm ? Qu'est-ce que cela implique ?

Vérification de l'inégalité triangulaire

Chemin 1 : AC = 8 cm

Détour : AB + BC = 3 + 4,8 = 7,8 cm

AC > AB + BC soit 8 > 7,8

❌ Le triangle n'est pas constructible : le plus grand côté est supérieur à la somme des deux autres.

Rappel : Pour qu'un triangle soit constructible, chacun de ses côtés doit être plus petit que la somme des deux autres.

Exercice 6 / 8

Calcul d'angle

✓ Vu

Figure exercice 6 – triangle avec angles 85° et 35°

Calcule la mesure de tous les angles sachant que les points B, D et A sont alignés.

💡 Indice – débloque-les un par un (pour l'exercice 6)

Dans le triangle ACD, tu connais deux angles : \(\widehat{CAD}\) et \(\widehat{ADC}\). Quelle propriété permet de trouver le troisième ?

B, D et A sont alignés. L'angle \(\widehat{ADC}\) et l'angle \(\widehat{CDB}\) sont-ils supplémentaires ? Que sais-tu des angles formés sur une droite ?

Dans le triangle BCD, tu connais maintenant l'angle BDC. Les angles CBD et DCB peuvent-ils être trouvés si on a d'autres informations ? Que reste-t-il à calculer ?

Dans le triangle ACD

\(\widehat{CAD} = 35°\) \(\widehat{ADC} = 85°\)

\(\widehat{ACD} = 180° - 85° - 35° =\) 60°

Angles supplémentaires en D (B, D, A alignés)

\(\widehat{ADC} = 85°\) → \(\widehat{BDC} = 180° - 85° =\) 95°

Angle BCD (vertical à ACD, même sommet C)

\(\widehat{BCD} = \widehat{ACD} =\) 60°

Dans le triangle BCD

\(\widehat{DBC} = 180° - \widehat{BCD} - \widehat{BDC} = 180° - 60° - 95° =\) 25°

Angles trouvés : \(\widehat{CAD}\) = 35° · \(\widehat{ADC}\) = 85° · \(\widehat{ACD}\) = \(\widehat{BCD}\) = 60° · \(\widehat{BDC}\) = 95° · \(\widehat{DBC}\) = 25°

Exercice 8 / 8

Calcul d'angles – figure complexe

✓ Vu

Figure exercice 8 – figure complexe avec plusieurs triangles

Calculer tous les angles dans cette figure en détaillant les calculs.
Indication : L'angle \(\widehat{EOF}\) mesure 74°. Tu n'as pas besoin de le justifier mais tu peux le trouver toi-même : un tour complet mesure 360°.

💡 Indice – débloque-les un par un (pour l'exercice 7)

Par quel triangle commencer ? Repère les triangles où tu connais déjà deux angles, ou un angle droit et un autre angle. Quels triangles sont dans ce cas ?

Certains triangles sont isocèles (indiqués par les traits). Que peut-on dire des angles à la base d'un triangle isocèle ? Comment cela aide-t-il ici ?

Une fois tous les angles en O trouvés, leur somme doit faire 360°. Cela te permet de vérifier ou de trouver l'angle EOF restant. Ensuite, le triangle EOF est isocèle : qu'est-ce que cela implique pour ses angles à la base ?

Triangle ODE (angle droit en D, \(\widehat{OED} = 43°\))

\(\widehat{EOD} = 180° - 43° - 90° =\) 47°

Triangle isocèle CDO (angle sommet \(\widehat{DCO} = 48°\))

Angles à la base : \((180° - 48°) \div 2 =\) 66° chacun

\(\widehat{COD} = \widehat{CDO} = 66°\)

Triangle OBC (angle droit en B, \(\widehat{BCO} = 54°\))

\(\widehat{BOC} = 180° - 90° - 54° =\) 36°

Triangle ABO (équilatéral)

Chaque angle = 60°

Triangle AOF (\(\widehat{OAF} = 40°\), \(\widehat{OFA} = 63°\))

\(\widehat{AOF} = 180° - 40° - 63° =\) 77°

Tour complet en O

\(47 + 66 + 36 + 60 + 77 = 286°\)

\(\widehat{EOF} = 360° - 286° =\) 74°

Triangle EOF isocèle avec OE = EF (E est le sommet)

Les angles à la base sont égaux : \(\widehat{FOE} = \widehat{OFE}\)

\(\widehat{FOE} = \widehat{EOF} = 74°\) (angles à la base)

\(\widehat{OEF} = 180° - 74° - 74° =\) 32°

✓ L'angle cherché (?) = \(\widehat{OEF}\) = 32°