Chapitre

Géométrie d'un triangle

I. Construction de triangles

Pour construire un triangle, on a besoin de l'une des trois informations suivantes :

a) Les longueurs des trois côtés
✏️ Exemple
Construire le triangle ABC tel que AB = 6 cm ; AC = 5 cm et BC = 4 cm.
📐 Méthode — 3 côtés connus
  1. Tracer le segment [AB] = 6 cm à la règle.
  2. Régler le compas sur AC = 5 cm. Poser la pointe en A et tracer un arc de cercle.
  3. Régler le compas sur BC = 4 cm. Poser la pointe en B et tracer un arc de cercle.
  4. Le point C est l'intersection des deux arcs. Le relier à A et à B.
b) Les mesures de deux côtés et de l'angle adjacent
✏️ Exemple
Construire le triangle DEF tel que DE = 4,9 cm ; EF = 5,4 cm et \(\widehat{DEF} = 60°\).
📐 Méthode — 2 côtés + angle adjacent
  1. Tracer le segment [DE] = 4,9 cm à la règle.
  2. Placer le rapporteur en E (centre sur E, axe sur [ED]).
  3. Marquer la direction correspondant à 60°, puis tracer un demi-droite depuis E.
  4. Régler le compas sur EF = 5,4 cm. Poser la pointe en E et placer F sur la demi-droite.
  5. Relier D à F pour obtenir le triangle DEF.
c) Un côté et les deux angles adjacents à ce côté
✏️ Exemple
Construire le triangle GHI tel que GH = 3,5 cm ; \(\widehat{IGH} = 65°\) et \(\widehat{GHI} = 49°\).
📐 Méthode — 1 côté + 2 angles adjacents
  1. Tracer le segment [GH] = 3,5 cm à la règle.
  2. Placer le rapporteur en G. Marquer 65° et tracer la demi-droite depuis G.
  3. Placer le rapporteur en H. Marquer 49° (de l'autre côté) et tracer la demi-droite depuis H.
  4. Le point I est l'intersection des deux demi-droites.
II. Inégalité triangulaire
📗 Propriété

Dans un triangle, la longueur de n'importe quel côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. Si cette condition n'est pas respectée, le triangle n'est pas constructible.

🗺️ Méthode — Chemin / Détour

Pour vérifier si un triangle est constructible :

  • Chemin 1 : On prend le plus grand côté et on le note.
  • Détour : On additionne les deux autres côtés.
  • On compare le Chemin 1 et le Détour.
✗
Chemin 1 > Détour
Le triangle n'est pas constructible
✓
Chemin 1 < Détour
Le triangle est constructible
→
Chemin 1 = Détour
Les trois points sont alignés
✏️ Exemple 1
Peut-on construire un triangle ABC tel que AB = 12 cm ; AC = 14 cm et BC = 30 cm ?
🗺 Chemin 1 — le plus grand côté
BC = 30 cm
↪ Détour — somme des deux autres
AB + AC = 12 + 14 = 26 cm
Comparaison30 > 26 → Chemin 1 > Détour
Conclusion : Le triangle ABC n'est pas constructible.
📗 Propriété — Points alignés

Soit trois points A, M et B :

  • Si AM + MB = AB, alors les trois points sont alignés et M appartient au segment [AB].
  • Si M appartient au segment [AB], alors AM + MB = AB.
✏️ Exemple 2
On considère trois points A, B et C tels que AB = 5,5 cm ; AC = 8,2 cm et BC = 13,7 cm. Les points A, B et C sont-ils alignés ?
🗺 Chemin 1 — le plus grand côté
BC = 13,7 cm
↪ Détour — somme des deux autres
AB + AC = 5,5 + 8,2 = 13,7 cm
Comparaison13,7 = 13,7 → Chemin 1 = Détour
Conclusion : Les points A, B et C sont alignés. B appartient au segment [AC].
III. Droites remarquables
1. La médiatrice
📘 Définition

La médiatrice d'un segment est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement en son milieu.

📗 Propriété
  • Si un point appartient à la médiatrice d'un segment, alors ce point est équidistant des extrémités de ce segment.
  • Si un point est équidistant des extrémités d'un segment, alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment.
✏️ Exemple
Tracer un segment [AB] tel que AB = 6,8 cm et tracer sa médiatrice.
📐 Méthode — Tracer la médiatrice
  1. Tracer le segment [AB] = 6,8 cm.
  2. Régler le compas sur un rayon supérieur à la moitié de AB (ex. 4 cm).
  3. Poser la pointe en A et tracer deux arcs de cercle, un de chaque côté du segment.
  4. Sans changer l'ouverture, poser la pointe en B et tracer deux arcs qui croisent les premiers.
  5. Nommer M et N les deux intersections. La droite (MN) est la médiatrice de [AB].
2. La hauteur
📘 Définition

Une hauteur dans un triangle est la droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

✏️ Exemple
Construire le triangle ABC tel que AB = 5 cm, AC = 6 cm et BC = 9 cm. Construire ensuite la hauteur issue de A.
📐 Méthode — Tracer la hauteur issue de A
  1. Construire le triangle ABC (méthode des 3 côtés).
  2. Placer l'équerre sur le côté [BC] (ou son prolongement).
  3. Faire glisser l'équerre jusqu'à ce que le bord perpendiculaire passe exactement par A.
  4. Tracer la droite perpendiculaire passant par A. Elle coupe [BC] en un point H : c'est le pied de la hauteur.
IV. Somme des angles d'un triangle
📗 Propriété

La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°.

\(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°\)
✏️ Exemple
Dans le triangle ABC, \(\widehat{BCA} = 35°\) et \(\widehat{BAC} = 67°\). Quelle est la mesure de l'angle \(\widehat{ABC}\) ?
Propriété\(\widehat{ABC} + \widehat{BCA} + \widehat{BAC} = 180°\)
Substitue\(\widehat{ABC} + 35° + 67° = 180°\)
Calcul\(\widehat{ABC} = 180° - 35° - 67°\)
Résultat\(\widehat{ABC} = \mathbf{78°}\)
Conclusion : L'angle \(\widehat{ABC}\) mesure 78°.
Angles des triangles particuliers
🔺 Triangle équilatéral
Les trois côtés sont égaux.
Chacun des angles mesure 60°.
🔺 Triangle isocèle
Deux côtés sont égaux.
Les angles à la base (côtés opposés aux côtés égaux) ont la même mesure.
📐 Triangle rectangle
Un angle est droit (90°).
La somme des deux autres angles est égale à 90°. On dit qu'ils sont complémentaires.
📐 Triangle rectangle isocèle
Un angle droit (90°) et deux côtés adjacents égaux.
Les deux angles aigus mesurent chacun 45°.
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