Fractions 5ème : cours et exercices corrigés

I. Définitions et égalités

1) Définition

📘 Définition — Quotient

\(a\) et \(b\) désignent deux nombres relatifs (\(b \neq 0\)).

Le quotient de \(a\) par \(b\) est le nombre qui, multiplié par \(b\), donne \(a\). On le note \(a \div b\) ou \(\dfrac{a}{b}\).

\(a \div b = \dfrac{a}{b}\)

Si \(a\) et \(b\) sont des nombres entiers, on dit que \(\dfrac{a}{b}\) est une fraction. \(a\) est le numérateur et \(b\) est le dénominateur.

✏️ Exemple

Quel est le quotient de \(-3\) par \(8\) ? Vérifier le résultat.

Le quotient de \(-3\) par \(8\) est \(\dfrac{-3}{8}\).

C'est le nombre qui, multiplié par \(8\), donne \(-3\).

Vérification : \(\dfrac{-3}{8} \times 8 = -3\) ✓

2) Règle de calcul

📗 Propriété

Un quotient ne change pas si on multiplie ou divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

\(a\), \(b\) et \(k\) désignent trois nombres relatifs (\(b \neq 0\) et \(k \neq 0\))

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k} = \dfrac{a \div k}{b \div k}\)

✏️ Exemples

Compléter les égalités suivantes :

(a) \(\dfrac{3}{5} = \dfrac{\ \ ?\ \ }{60}\) (b) \(\dfrac{28}{42} = \dfrac{\ \ ?\ \ }{\ \ 6\ \ }\)

(a) On cherche par quel nombre multiplier \(5\) pour obtenir \(60\) :

\(5 \times 12 = 60\), donc on multiplie aussi le numérateur par \(12\) :

\(\dfrac{3}{5} = \dfrac{3 \times 12}{5 \times 12} = \dfrac{36}{60}\)

(b) On cherche par quel nombre diviser \(42\) pour obtenir \(6\) :

\(42 \div 7 = 6\), donc on divise aussi le numérateur par \(7\) :

\(\dfrac{28}{42} = \dfrac{28 \div 7}{42 \div 7} = \dfrac{4}{6}\)

💡 La propriété dit qu'on multiplie (ou divise) en même temps le numérateur et le dénominateur par le même nombre. Si on ne le fait qu'à l'un des deux, la fraction change de valeur !

🧩 Exercice

Compléter les égalités suivantes :

(a) \(\dfrac{2}{7} = \dfrac{\ \ ?\ \ }{35}\) (b) \(\dfrac{5}{9} = \dfrac{45}{\ \ ?\ \ }\) (c) \(\dfrac{36}{48} = \dfrac{\ \ ?\ \ }{4}\)

(a) \(7 \times 5 = 35\), donc on multiplie le numérateur par \(5\) :

\(\dfrac{2}{7} = \dfrac{2 \times 5}{7 \times 5} = \dfrac{10}{35}\)

(b) \(5 \times 9 = 45\), donc on multiplie le dénominateur par \(9\) :

\(\dfrac{5}{9} = \dfrac{5 \times 9}{9 \times 9} = \dfrac{45}{81}\)

(c) \(48 \div 12 = 4\), donc on divise le numérateur par \(12\) :

\(\dfrac{36}{48} = \dfrac{36 \div 12}{48 \div 12} = \dfrac{3}{4}\)

II. Simplifier des fractions

📋 Méthode

Simplifier une fraction, c'est écrire une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits.

1On cherche un nombre qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur
2On divise le numérateur et le dénominateur par ce nombre
3On recommence jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de diviseur commun autre que 1 : la fraction est alors simplifiée au maximum

💡 Rappel — Critères de divisibilité

Divisible par 2 : le chiffre des unités est pair. | Divisible par 3 : la somme des chiffres est divisible par 3. | Divisible par 5 : le chiffre des unités est 0 ou 5. | Divisible par 7 : pas de critère simple, on teste.

✏️ Exemple 1 — Méthode par critères de divisibilité

Simplifier \(\dfrac{18}{24}\) au maximum.

\(18\) et \(24\) sont tous les deux pairs → divisibles par \(2\) :

\(\dfrac{18}{24} = \dfrac{18 \div 2}{24 \div 2} = \dfrac{9}{12}\)

Somme des chiffres de \(9\) : \(9\) ✓ Somme des chiffres de \(12\) : \(1+2=3\) ✓ → tous les deux divisibles par 3 :

\(\dfrac{9}{12} = \dfrac{9 \div 3}{12 \div 3} = \dfrac{3}{4}\)

\(3\) et \(4\) n'ont pas de diviseur commun autre que \(1\) : la fraction est simplifiée au maximum.

\(\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}\)

✏️ Exemple 2 — Méthode par décomposition en facteurs premiers

Simplifier \(\dfrac{140}{294}\) au maximum.

Étape 1 — Décomposer le numérateur et le dénominateur en produit de facteurs premiers :

Numérateur : 140

\(140 = 2 \times 2 \times 5 \times 7\)

Dénominateur : 294

\(294 = 2 \times 3 \times 7 \times 7\)

Étape 2 — Écrire la fraction avec les décompositions, puis identifier les facteurs communs (en rouge) :

2 × 2 × 5 × 7

2 × 3 × 7 × 7

Étape 3 — Simplifier les facteurs communs :

2 × 2 × 5 × 7

2 × 3 × 7 × 7

=

2 × 5

3 × 7

=

10

21

\(10\) et \(21\) n'ont pas de facteur commun : la fraction est simplifiée au maximum.

\(\dfrac{140}{294} = \dfrac{10}{21}\)

🧩 Exercice

Simplifier les fractions suivantes au maximum. Utiliser la méthode de décomposition en facteurs premiers pour (c).

(a) \(\dfrac{12}{16}\) (b) \(\dfrac{30}{75}\) (c) \(\dfrac{56}{84}\)

(a) \(12\) et \(16\) sont pairs → \(\div 2\) : \(\dfrac{6}{8}\) → encore pairs → \(\div 2\) :

\(\dfrac{12}{16} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\)

(b) Chiffre des unités est \(0\) et \(5\) → \(\div 5\) : \(\dfrac{6}{15}\) → somme des chiffres : \(6\) et \(1+5=6\) → \(\div 3\) :

\(\dfrac{30}{75} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}\)

(c) Décomposition de \(56\) et \(84\) :

56

\(56 = 2 \times 2 \times 2 \times 7\)

84

\(84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7\)

On pose la fraction avec les décompositions et on repère les facteurs communs (en rouge) :

2 × 2 × 2 × 7

2 × 2 × 3 × 7

2 × 2 × 2 × 7

2 × 2 × 3 × 7

=

2

3

III. Mettre des fractions au même dénominateur

📋 Méthode

Pour mettre deux fractions au même dénominateur :

1On liste les multiples de chaque dénominateur
2On repère le plus petit multiple commun
3On transforme chaque fraction en multipliant son numérateur et son dénominateur par le bon nombre

✏️ Exemple 1

Réduire les fractions \(\dfrac{1}{2}\) et \(\dfrac{5}{6}\) au même dénominateur.

Étape 1 — Lister les multiples de chaque dénominateur :

Multiples de \(2\) : \(2\) ; \(4\) ; \(6\) Multiples de \(6\) : \(6\)

Le plus petit multiple commun est \(6\). Dénominateur commun : \(6\).

Étape 2 — Transformer chaque fraction :

\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 3}{2 \times 3} = \dfrac{3}{6}\) (on multiplie par \(3\) car \(2 \times 3 = 6\))

\(\dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{6}\) (le dénominateur est déjà \(6\), on multiplie par \(1\))

\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}\) et \(\dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{6}\)

✏️ Exemple 2

Réduire les fractions \(\dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{4}{5}\) au même dénominateur.

Étape 1 — Lister les multiples de chaque dénominateur :

Multiples de \(3\) : \(3\) ; \(6\) ; \(9\) ; \(12\) ; \(15\) Multiples de \(5\) : \(5\) ; \(10\) ; \(15\)

Le plus petit multiple commun est \(15\). On utilise \(15\) comme dénominateur commun.

Étape 2 — Transformer chaque fraction :

\(\dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 5}{3 \times 5} = \dfrac{5}{15}\) (on multiplie par \(5\) car \(3 \times 5 = 15\))

\(\dfrac{4}{5} = \dfrac{4 \times 3}{5 \times 3} = \dfrac{12}{15}\) (on multiplie par \(3\) car \(5 \times 3 = 15\))

\(\dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{15}\) et \(\dfrac{4}{5} = \dfrac{12}{15}\)

🧩 Exercice

Mettre les fractions suivantes au même dénominateur :

(a) \(\dfrac{1}{4}\) et \(\dfrac{3}{8}\) (b) \(\dfrac{2}{3}\) et \(\dfrac{3}{4}\)

(a) On liste les multiples :

Multiples de \(4\) : \(4\) ; \(8\) Multiples de \(8\) : \(8\)

Dénominateur commun : \(8\).

\(\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{2}{8}\) et \(\dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{8}\)

(b) On liste les multiples :

Multiples de \(3\) : \(3\) ; \(6\) ; \(9\) ; \(12\) Multiples de \(4\) : \(4\) ; \(8\) ; \(12\)

Dénominateur commun : \(12\).

\(\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{8}{12}\) et \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{9}{12}\)

IV. Comparer des fractions

1) Égalité des produits en croix

📗 Propriété — Produit en croix

\(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) désignent des nombres relatifs (\(b \neq 0\) et \(d \neq 0\)).

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \iff a \times d = b \times c\)

Autrement dit : deux fractions sont égales si et seulement si leurs produits en croix sont égaux.

✏️ Exemple

Les fractions \(\dfrac{12}{24}\) et \(\dfrac{3}{6}\) sont-elles égales ?

On calcule les deux produits en croix :

Premier produit (numérateur de gauche × dénominateur de droite) : \(12 \times 6 = 72\)

Deuxième produit (dénominateur de gauche × numérateur de droite) : \(24 \times 3 = 72\)

Les deux produits en croix sont égaux : \(72 = 72\).

✓ Conclusion Les fractions \(\dfrac{12}{24}\) et \(\dfrac{3}{6}\) sont égales.

2) Mise au même dénominateur

📗 Propriété — Comparaison

\(a\), \(b\) et \(c\) désignent trois nombres positifs (\(c \neq 0\)).

Si \(a < b\), alors \(\dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c}\)

Deux fractions ayant le même dénominateur se comparent en comparant leurs numérateurs.

✏️ Exemple

Comparer les fractions suivantes : \(\dfrac{1}{15}\) ; \(\dfrac{2}{30}\) et \(\dfrac{7}{10}\).

Étape 1 — Chercher un dénominateur commun :

Les dénominateurs sont \(15\), \(30\) et \(10\). On liste les multiples :

Multiples de \(15\) : \(15\) ; \(30\) Multiples de \(30\) : \(30\) Multiples de \(10\) : \(10\) ; \(20\) ; \(30\)

Dénominateur commun : \(30\).

Étape 2 — Convertir chaque fraction :

\(\dfrac{1}{15} = \dfrac{1 \times 2}{15 \times 2} = \dfrac{2}{30}\)

\(\dfrac{2}{30} = \dfrac{2}{30}\) (déjà au bon dénominateur)

\(\dfrac{7}{10} = \dfrac{7 \times 3}{10 \times 3} = \dfrac{21}{30}\)

Étape 3 — Comparer les numérateurs :

\(2 = 2 < 21\), donc \(\dfrac{2}{30} = \dfrac{2}{30} < \dfrac{21}{30}\).

✓ Conclusion \(\dfrac{1}{15} = \dfrac{2}{30} < \dfrac{7}{10}\)

🧩 Exercice

Comparer les fractions suivantes en les mettant au même dénominateur :

(a) \(\dfrac{5}{6}\) et \(\dfrac{1}{3}\) (b) \(\dfrac{2}{3}\) ; \(\dfrac{3}{4}\) et \(\dfrac{5}{8}\)

(a) On liste les multiples :

Multiples de \(6\) : \(6\) Multiples de \(3\) : \(3\) ; \(6\)

Dénominateur commun : \(6\).

\(\dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{6}\) et \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{2}{6}\)

\(2 < 5\) donc \(\dfrac{1}{3} < \dfrac{5}{6}\).

(b) Les dénominateurs sont \(3\), \(4\) et \(8\). On liste les multiples :

Multiples de \(3\) : \(3\) ; \(6\) ; \(9\) ; \(12\) ; \(15\) ; \(18\) ; \(21\) ; \(24\) Multiples de \(4\) : \(4\) ; \(8\) ; \(12\) ; \(16\) ; \(20\) ; \(24\) Multiples de \(8\) : \(8\) ; \(16\) ; \(24\)

Dénominateur commun : \(24\).

\(\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 8}{3 \times 8} = \dfrac{16}{24}\) ; \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 6}{4 \times 6} = \dfrac{18}{24}\) ; \(\dfrac{5}{8} = \dfrac{5 \times 3}{8 \times 3} = \dfrac{15}{24}\)

\(15 < 16 < 18\) donc \(\dfrac{5}{8} < \dfrac{2}{3} < \dfrac{3}{4}\).

V. Additionner et soustraire des fractions

📋 Méthode

Pour additionner (ou soustraire) deux fractions :

1On met les deux fractions au même dénominateur
2On additionne (ou soustrait) uniquement les numérateurs
3On garde le dénominateur commun (on ne l'additionne pas !)
4On simplifie la fraction obtenue si possible

\(\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a+b}{c}\) et \(\dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a-b}{c}\)

💡 Remarque importante

On n'additionne jamais les dénominateurs entre eux. ✗ \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \neq \dfrac{2}{5}\)

✏️ Exemples

Calculer les expressions suivantes :

(A) \(A = \dfrac{2}{8} - \dfrac{4}{8}\)

Les deux fractions ont déjà le même dénominateur (\(8\)) : on soustrait directement les numérateurs.

\(A = \dfrac{2}{8} - \dfrac{4}{8} = \dfrac{2 - 4}{8} = \dfrac{-2}{8}\)

On simplifie : \(2\) et \(8\) sont divisibles par \(2\) :

\(A = \dfrac{-2 \div 2}{8 \div 2} = \dfrac{-1}{4}\)

\(A = -\dfrac{1}{4}\)

(B) \(B = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}\)

On liste les multiples de chaque dénominateur :

Multiples de \(3\) : \(3\) ; \(6\) ; \(9\) ; \(12\) Multiples de \(4\) : \(4\) ; \(8\) ; \(12\)

Dénominateur commun : \(12\).

\(\dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{4}{12}\) et \(\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{3}{12}\)

On peut maintenant additionner :

\(B = \dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{4 + 3}{12} = \dfrac{7}{12}\)

\(7\) est premier et ne divise pas \(12\) : déjà simplifiée au maximum.

\(B = \dfrac{7}{12}\)

(C) \(C = 2 + \dfrac{1}{3}\)

On écrit le nombre entier \(2\) sous forme de fraction avec le dénominateur \(3\) :

\(2 = \dfrac{2 \times 3}{1 \times 3} = \dfrac{6}{3}\)

On additionne :

\(C = \dfrac{6}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{6 + 1}{3} = \dfrac{7}{3}\)

La fraction \(\dfrac{7}{3}\) est déjà simplifiée au maximum (\(7\) est premier et ne divise pas \(3\)).

\(C = \dfrac{7}{3}\)

(D) \(D = \dfrac{1}{3} - \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6}\right)\)

Étape 1 — Calculer d'abord ce qui est entre parenthèses :

\(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6}\)

On liste les multiples de chaque dénominateur :

Multiples de \(4\) : \(4\) ; \(8\) ; \(12\) Multiples de \(6\) : \(6\) ; \(12\)

Dénominateur commun : \(12\).

\(\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{3}{12}\) et \(\dfrac{1}{6} = \dfrac{1 \times 2}{6 \times 2} = \dfrac{2}{12}\)

\(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{12} - \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{12}\)

Étape 2 — Calculer \(D\) :

\(D = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{12}\)

On liste les multiples :

Multiples de \(3\) : \(3\) ; \(6\) ; \(9\) ; \(12\) Multiples de \(12\) : \(12\)

Dénominateur commun : \(12\).

\(\dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{4}{12}\)

\(D = \dfrac{4}{12} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{4-1}{12} = \dfrac{3}{12}\)

On simplifie : \(3\) et \(12\) sont divisibles par \(3\) :

\(D = \dfrac{3 \div 3}{12 \div 3} = \dfrac{1}{4}\)

\(D = \dfrac{1}{4}\)

🧩 Exercice

Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous forme de fraction simplifiée au maximum :

(a) \(\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{5}\) (b) \(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{3}\) (c) \(1 - \dfrac{3}{7}\) (d) \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6}\)

(a) Même dénominateur, on additionne les numérateurs :

\(\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}\) (simplifiée au maximum)

(b) On liste les multiples :

Multiples de \(4\) : \(4\) ; \(8\) ; \(12\) Multiples de \(3\) : \(3\) ; \(6\) ; \(9\) ; \(12\)

Dénominateur commun : \(12\).

\(\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{9}{12}\) et \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{4}{12}\)

\(\dfrac{9}{12} - \dfrac{4}{12} = \dfrac{5}{12}\) (simplifiée au maximum)

(c) On écrit \(1 = \dfrac{7}{7}\) :

\(\dfrac{7}{7} - \dfrac{3}{7} = \dfrac{4}{7}\) (simplifiée au maximum)

(d) Les dénominateurs sont \(4\), \(3\) et \(6\). On liste les multiples :

Multiples de \(4\) : \(4\) ; \(8\) ; \(12\) Multiples de \(3\) : \(3\) ; \(6\) ; \(9\) ; \(12\) Multiples de \(6\) : \(6\) ; \(12\)

Dénominateur commun : \(12\).

\(\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}\) ; \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{12}\) ; \(\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{12}\)

\(\dfrac{3}{12} + \dfrac{4}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{9}{12}\)

On simplifie : \(9\) et \(12\) sont divisibles par \(3\) :

\(\dfrac{9}{12} = \dfrac{9 \div 3}{12 \div 3} = \dfrac{3}{4}\) (simplifiée au maximum)

Fractions — Chapitre complet