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Angles et parallélisme – Correction interactive

5ème 5 exercices Dessin · Calcul · Démonstration
📖 Rappels de cours
Angles opposés par le sommet

Lorsque deux droites se coupent en un point, les angles opposés par le sommet sont égaux.

Angles alternes-internes

Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles alternes-internes sont égaux. Réciproquement, si les angles alternes-internes sont égaux, alors les droites sont parallèles.

Angles correspondants

Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles correspondants sont égaux. Réciproquement, si les angles correspondants sont égaux, alors les droites sont parallèles.

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Partie 1 – Identifier et dessiner

Exercice 1 / 5

Dessin
✓ Vu

Sur la figure ci-dessous, colorier une paire d'angles opposés par le sommet.

Refaire à main levée la figure sur son cahier.

Figure exercice 1

💡 Indices

Les angles opposés par le sommet se forment quand deux droites se croisent. Repère un point d'intersection et observe les quatre angles formés autour de ce point.
Parmi les quatre angles formés en un point d'intersection, les angles opposés par le sommet sont ceux qui ne se touchent pas : ils sont face à face de part et d'autre du point.

Voici une paire d'angles opposés par le sommet mise en évidence :

Correction exercice 1
Les deux angles colorés sont égaux car ils sont opposés par le sommet.

Exercice 2 / 5

Dessin
✓ Vu

Sur la figure ci-dessous, colorier une paire d'angles alternes-internes.

Refaire à main levée la figure sur son cahier.

Figure exercice 2

💡 Indices

Les angles alternes-internes se trouvent entre les deux droites parallèles (« internes »). Identifie d'abord la zone entre les deux droites.
Les angles alternes-internes sont de part et d'autre de la sécante (« alternes »). Cherche un angle en dessous de la première parallèle et un angle au-dessus de la seconde, de côtés opposés par rapport à la sécante.

Voici une paire d'angles alternes-internes mise en évidence :

Correction exercice 2
Les deux angles colorés sont égaux car ils sont alternes-internes et les droites sont parallèles.

Exercice 3 / 5

Dessin
✓ Vu

Sur la figure ci-dessous, colorier une paire d'angles correspondants.

Figure exercice 3

💡 Indices

Contrairement aux angles alternes-internes, les angles correspondants se trouvent du même côté de la sécante. L'un est entre les parallèles, l'autre est à l'extérieur.
Imagine que tu fais glisser la sécante : un angle correspondant occupe la même position par rapport à chaque droite parallèle. Par exemple, deux angles situés tous les deux à droite de la sécante, l'un en dessous de la première parallèle, l'autre en dessous de la seconde.

Voici une paire d'angles correspondants mise en évidence :

Correction exercice 3
Les deux angles colorés sont égaux car ils sont correspondants et les droites sont parallèles.
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Partie 2 – Calcul et démonstration

Exercice 4 / 5

Calcul d'angle
✓ Vu
Dans cet exercice, les droites (xy)(xy) et (tz)(tz) sont parallèles.

Combien mesure l'angle tBA^\widehat{tBA} ? Justifier.

Figure exercice 4

💡 Indices

Observe la droite en rouge : elle coupe les deux droites parallèles. Quelle relation existe-t-il entre les angles formés aux deux intersections ?
L'angle rose (37°) et l'angle vert sont-ils alternes-internes ou correspondants ? Observe leur position par rapport à la sécante et par rapport aux deux parallèles.

Identification des angles

L'angle yAB^\widehat{yAB} = 37° (angle rose) et l'angle tBA^\widehat{tBA} (angle vert) sont des angles alternes-internes formés par la sécante rouge coupant les droites parallèles (xy)(xy) et (tz)(tz).

Conclusion

Les droites (xy)(xy) et (tz)(tz) sont parallèles, donc les angles alternes-internes sont égaux :
tBA^=yAB^=37°\widehat{tBA} = \widehat{yAB} = 37°

Exercice 5 / 5

Démonstration
✓ Vu
On considère la figure ci-dessous telle que TOS^\widehat{TOS} = 38°, FUT^\widehat{FUT} = 38°, et telle que le triangle OTSOTS soit isocèle en O (c'est-à-dire que OT=OSOT = OS).
La droite (UO)(UO) est la sécante des deux droites (FU)(FU) et (OS)(OS).
Figure exercice 5
1Démontrer que les droites (UF)(UF) et (OS)(OS) sont parallèles.
2Les droites (UF)(UF) et (OS)(OS) étant parallèles, expliquer pourquoi OST^\widehat{OST} = UFT^\widehat{UFT}.
3Calculer la mesure de l'angle OST^\widehat{OST}.
4En déduire la mesure de l'angle UFT^\widehat{UFT}.
5Quelle est la mesure de l'angle FTU^\widehat{FTU} ?
6En déduire la nature du triangle FUTFUT. Justifier.

💡 Indices

Pour la question 1 : compare les angles TOS^\widehat{TOS} et FUT^\widehat{FUT}. Sont-ils situés entre les droites (FU)(FU) et (OS)(OS), et de quel côté de la sécante (UO)(UO) se trouvent-ils ?
Pour la question 3 : dans un triangle isocèle en O, les deux angles à la base sont égaux. Quels sont ces angles dans le triangle OTSOTS ? La somme des angles d'un triangle vaut 180°.
Pour la question 5 : l'angle FTU^\widehat{FTU} et l'angle STO^\widehat{STO} se trouvent au même point T. Quelle relation géométrique y a-t-il entre eux ?

1. Les droites (UF)(UF) et (OS)(OS) sont parallèles

Les angles TOS^\widehat{TOS} et FUT^\widehat{FUT} sont tous deux situés entre les droites (FU)(FU) et (OS)(OS), de part et d'autre de la sécante (UT)(UT) : ce sont des angles alternes-internes.
TOS^=FUT^=38°\widehat{TOS} = \widehat{FUT} = 38°
Ces angles alternes-internes étant égaux, les droites (UF)(UF) et (OS)(OS) sont parallèles.

2. Pourquoi OST^\widehat{OST} = UFT^\widehat{UFT}

Les angles OST^\widehat{OST} et UFT^\widehat{UFT} sont des angles alternes-internes formés par la sécante (FS)(FS) coupant les droites parallèles (OS)(OS) et (UF)(UF). Comme les droites sont parallèles, ces angles sont égaux :
OST^=UFT^\widehat{OST} = \widehat{UFT}

3. Mesure de l'angle OST^\widehat{OST}

Le triangle OTSOTS est isocèle en O, donc les angles à la base sont égaux : OST^=OTS^\widehat{OST} = \widehat{OTS}.
La somme des angles d'un triangle vaut 180° :
TOS^+OST^+OTS^=180°\widehat{TOS} + \widehat{OST} + \widehat{OTS} = 180° 38°+2×OST^=180°38° + 2 \times \widehat{OST} = 180° OST^=180°−38°2=142°2=71°\widehat{OST} = \dfrac{180° - 38°}{2} = \dfrac{142°}{2} = 71°

4. Mesure de l'angle UFT^\widehat{UFT}

D'après la question 2, OST^\widehat{OST} = UFT^\widehat{UFT}, et d'après la question 3, OST^\widehat{OST} = 71°.
UFT^=71°\widehat{UFT} = 71°

5. Mesure de l'angle FTU^\widehat{FTU}

L'angle FTU^\widehat{FTU} et l'angle STO^\widehat{STO} sont opposés par le sommet au point T, donc ils sont égaux. Or le triangle OTSOTS est isocèle en O, donc :
OTS^=OST^=71°\widehat{OTS} = \widehat{OST} = 71° FTU^=71°\widehat{FTU} = 71°

6. Nature du triangle FUTFUT

On a :
FTU^=UFT^=71°\widehat{FTU} = \widehat{UFT} = 71°
Le triangle FUTFUT possède deux angles égaux, donc il est isocèle (et non équilatéral, car ses angles valent 71°, 71° et 38°, pas tous 60°).
Le triangle FUTFUT est isocèle en U.

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