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Critères de divisibilité, nombres premiers & décomposition – 5ème – Correction interactive

📌 Rappel — critères de divisibilité

Divisible par 2Le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
Divisible par 3La somme de ses chiffres est divisible par 3.
Divisible par 4 (hors programme)Ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4.
Divisible par 5Le chiffre des unités est 0 ou 5.
Divisible par 9La somme de ses chiffres est divisible par 9.
Divisible par 10Le chiffre des unités est 0.
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Exercice 1 / 5

Critères de divisibilité

Pour chaque nombre, indiquer par quels entiers parmi 2, 3, 5, 9 et 10 il est divisible. Justifier. (Le critère du 4 est indiqué à titre indicatif — hors programme.)

270
315
1 248
4 005
7 200
8 136
270
÷ 2 ? Unités = 0 (pair) → ✓ Oui
÷ 3 ? 2+7+0 = 9, divisible par 3 → ✓ Oui
÷ 4 ? (hors prog.) Deux derniers chiffres : 70. 70 ÷ 4 = 17 reste 2 → ✗ Non
÷ 5 ? Unités = 0 → ✓ Oui
÷ 9 ? 2+7+0 = 9, divisible par 9 → ✓ Oui
÷ 10 ? Unités = 0 → ✓ Oui
270 est divisible par 2, 3, 5, 9 et 10.
315
÷ 2 ? Unités = 5 (impair) → ✗ Non
÷ 3 ? 3+1+5 = 9, divisible par 3 → ✓ Oui
÷ 4 ? (hors prog.) Unités impaires → ✗ Non
÷ 5 ? Unités = 5 → ✓ Oui
÷ 9 ? 3+1+5 = 9, divisible par 9 → ✓ Oui
÷ 10 ? Unités ≠ 0 → ✗ Non
315 est divisible par 3, 5 et 9.
1 248
÷ 2 ? Unités = 8 (pair) → ✓ Oui
÷ 3 ? 1+2+4+8 = 15, divisible par 3 → ✓ Oui
÷ 4 ? (hors prog.) Deux derniers chiffres : 48. 48 ÷ 4 = 12 → ✓ Oui
÷ 5 ? Unités = 8 ≠ 0 ou 5 → ✗ Non
÷ 9 ? 1+2+4+8 = 15, non divisible par 9 → ✗ Non
÷ 10 ? Unités ≠ 0 → ✗ Non
1 248 est divisible par 2 et 3 (et aussi par 4, hors programme).
4 005
÷ 2 ? Unités = 5 (impair) → ✗ Non
÷ 3 ? 4+0+0+5 = 9, divisible par 3 → ✓ Oui
÷ 4 ? (hors prog.) Unités impaires → ✗ Non
÷ 5 ? Unités = 5 → ✓ Oui
÷ 9 ? 4+0+0+5 = 9, divisible par 9 → ✓ Oui
÷ 10 ? Unités ≠ 0 → ✗ Non
4 005 est divisible par 3, 5 et 9.
7 200
÷ 2 ? Unités = 0 (pair) → ✓ Oui
÷ 3 ? 7+2+0+0 = 9, divisible par 3 → ✓ Oui
÷ 4 ? (hors prog.) Deux derniers chiffres : 00. 0 ÷ 4 = 0 → ✓ Oui
÷ 5 ? Unités = 0 → ✓ Oui
÷ 9 ? 7+2+0+0 = 9, divisible par 9 → ✓ Oui
÷ 10 ? Unités = 0 → ✓ Oui
7 200 est divisible par 2, 3, 5, 9 et 10 (et aussi par 4, hors programme).
8 136
÷ 2 ? Unités = 6 (pair) → ✓ Oui
÷ 3 ? 8+1+3+6 = 18, divisible par 3 → ✓ Oui
÷ 4 ? (hors prog.) Deux derniers chiffres : 36. 36 ÷ 4 = 9 → ✓ Oui
÷ 5 ? Unités = 6 ≠ 0 ou 5 → ✗ Non
÷ 9 ? 8+1+3+6 = 18, divisible par 9 → ✓ Oui
÷ 10 ? Unités ≠ 0 → ✗ Non
8 136 est divisible par 2, 3 et 9 (et aussi par 4, hors programme).
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Exercice 2 / 5

Nombres premiers
1.Rappeler la définition d'un nombre premier.
2.Parmi les nombres suivants, entourer ceux qui sont premiers et barrer ceux qui ne le sont pas : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30.
3.Les nombres 51, 91 et 97 sont-ils premiers ? Justifier.
1. Définition
Un nombre premier est un entier supérieur ou égal à 2 qui n'admet que deux diviseurs : 1 et lui-même.

⚠️ 1 n'est pas un nombre premier (il n'a qu'un seul diviseur).

2. Nombres premiers entre 2 et 30
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Nombres premiers entre 2 et 30 : 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 29
3. 51, 91 et 97 sont-ils premiers ?
51 5+1 = 6, divisible par 3. Donc 51 = 3 × 17. → ✗ Non premier
91 91 = 7 × 13 (on vérifie : 7 × 13 = 91). → ✗ Non premier
97 On teste les diviseurs premiers ≤ √97 ≈ 9,8 : 2 (non, impair), 3 (9+7=16, non), 5 (non), 7 (97÷7≈13,8, non). Aucun diviseur trouvé. → ✓ Premier
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Exercice 3 / 5

Décomposition en facteurs premiers

Décomposer les nombres suivants en produit de facteurs premiers.

36
60
132
210
Méthode : On divise successivement par le plus petit facteur premier possible, jusqu'à obtenir 1. Les facteurs premiers sont lus à droite, les quotients à gauche.
362
182
93
33
1
36 = 2 × 2 × 3 × 3
602
302
153
55
1
60 = 2 × 2 × 3 × 5
1322
662
333
1111
1
132 = 2 × 2 × 3 × 11
2102
1053
355
77
1
210 = 2 × 3 × 5 × 7
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Exercice 4 / 5

Critères + Décomposition

Soit le nombre 360.

1.Vérifier à l'aide des critères de divisibilité que 360 est divisible par 2, 3, 4, 5, 9 et 10.
2.Décomposer 360 en produit de facteurs premiers.
3.Retrouver, à partir de la décomposition, pourquoi 360 est divisible par 2, 3, 5 et 9.
1. Critères de divisibilité pour 360
÷ 2 Unités = 0 → ✓
÷ 3 3+6+0 = 9, div. par 3 → ✓
÷ 4 (hors prog.) Deux derniers : 60. 60 ÷ 4 = 15 → ✓
÷ 5 Unités = 0 → ✓
÷ 9 3+6+0 = 9, div. par 9 → ✓
÷ 10 Unités = 0 → ✓
2. Décomposition de 360
3602
1802
902
453
153
55
1
360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5
3. Lien avec la décomposition

360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5

÷ 2 2 apparaît dans la décomposition → 360 est un multiple de 2.
÷ 3 3 apparaît dans la décomposition → 360 est un multiple de 3.
÷ 5 5 apparaît dans la décomposition → 360 est un multiple de 5.
÷ 9 3 × 3 = 9 apparaît dans la décomposition → 360 est un multiple de 9.
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Exercice 5 / 5

Problème – PGCD ★
Une professeure veut répartir 120 stylos et 180 cahiers en lots identiques pour ses élèves, sans qu'il ne reste ni stylo ni cahier.
1.Décomposer 120 et 180 en produit de facteurs premiers.
2.Quel est le plus grand nombre de lots qu'elle peut constituer ? Justifier à l'aide des décompositions.
3.Combien y a-t-il de stylos et de cahiers dans chaque lot ?

💡 Indices – clique sur celui de la question qui te bloque

Réfléchis à ce que signifie « sans qu'aucun article ne reste ». Quel lien y a-t-il entre le nombre de lots et les nombres 120 et 180 ?
Tu as décomposé 120 et 180 en facteurs premiers. Quels facteurs retrouve-t-on dans les deux décompositions à la fois ?
Pour chaque facteur commun, combien de fois peut-on l'utiliser sans dépasser ce que contient chacune des deux décompositions ? Multiplie ensuite ces facteurs entre eux.
1. Décompositions de 120 et 180
1202
602
302
153
55
1
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5
1802
902
453
153
55
1
180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5
2. Plus grand nombre de lots (plus grand diviseur commun)

On identifie les facteurs communs aux deux décompositions avec le plus petit exposant :

Facteur 2 120 a trois fois 2 ; 180 en a deux fois. On prend 2 × 2.
Facteur 3 120 a une fois 3 ; 180 en a deux fois. On prend 3.
Facteur 5 Les deux ont une fois 5. On prend 5.
Plus grand diviseur commun de 120 et 180 = 2 × 2 × 3 × 5 = 60
Le plus grand nombre de lots est 60.
3. Contenu de chaque lot

120 ÷ 60 = 2 stylos par lot  |  180 ÷ 60 = 3 cahiers par lot.

Chaque lot contient 2 stylos et 3 cahiers.

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