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Multiples, diviseurs, critères de divisibilité & nombres premiers – 5ème

✖ Multiples ÷ Diviseurs 🔢 Critères ⭐ Premiers

📌 Critères de divisibilité

÷ 2Le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
÷ 3La somme des chiffres est divisible par 3.
÷ 5Le chiffre des unités est 0 ou 5.
÷ 9La somme des chiffres est divisible par 9.
÷ 10Le chiffre des unités est 0.
÷ 4 (hors programme)Les deux derniers chiffres forment un multiple de 4.

⭐ Nombres premiers à connaître (1 → 30)

2357111317192329

⚠️ 1 n'est pas un nombre premier. Un nombre premier n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même.

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Exercice 1 / 5

Multiples Diviseurs
1.Donner cinq multiples de 6 (différents de 0).
2.Donner tous les diviseurs de 48.
3.Donner tous les diviseurs de 36, puis entourer les diviseurs communs à 48 et 36. Quel est le plus grand diviseur commun ?
4.Effectuer la division euclidienne de 251 par 7. 7 est-il un diviseur de 251 ? Justifier.
1. Cinq multiples de 6 (parmi d'autres)
612182430

car 6×1 ; 6×2 ; 6×3 ; 6×4 ; 6×5

⚠️ De nombreuses autres réponses sont possibles ! (42, 60, 96…)
2. Diviseurs de 48
12346812162448
3. Diviseurs de 36 et diviseurs communs

Diviseurs de 36 :

123469121836

Diviseurs communs à 48 et 36 (en vert) :

1234612
Le plus grand diviseur commun de 48 et 36 est 12.
4. Division euclidienne de 251 par 7
251
−21
41
−35
6
7 35
251 = 7 × 35 + 6
Le reste est 6 ≠ 0, donc 7 n'est pas un diviseur de 251.
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Exercice 2 / 5

Critères de divisibilité Diviseurs

Pour chaque nombre, indiquer par quels entiers parmi 2, 3, 5, 9 et 10 il est divisible. Justifier avec le critère utilisé.

450
1 071
5 670
3 208
9 045

Rappel : le critère du ÷ 4 est hors programme — pas besoin de le tester ici.

450
÷ 2 ? Unités = 0 → ✓ Oui
÷ 3 ? 4+5+0 = 9, div. par 3 → ✓ Oui
÷ 5 ? Unités = 0 → ✓ Oui
÷ 9 ? 4+5+0 = 9, div. par 9 → ✓ Oui
÷ 10 ? Unités = 0 → ✓ Oui
450 est divisible par 2, 3, 5, 9 et 10.
1 071
÷ 2 ? Unités = 1 (impair) → ✗ Non
÷ 3 ? 1+0+7+1 = 9, div. par 3 → ✓ Oui
÷ 5 ? Unités = 1 ≠ 0 ou 5 → ✗ Non
÷ 9 ? 1+0+7+1 = 9, div. par 9 → ✓ Oui
÷ 10 ? Unités ≠ 0 → ✗ Non
1 071 est divisible par 3 et 9.
5 670
÷ 2 ? Unités = 0 → ✓ Oui
÷ 3 ? 5+6+7+0 = 18, div. par 3 → ✓ Oui
÷ 5 ? Unités = 0 → ✓ Oui
÷ 9 ? 5+6+7+0 = 18, div. par 9 → ✓ Oui
÷ 10 ? Unités = 0 → ✓ Oui
5 670 est divisible par 2, 3, 5, 9 et 10.
3 208
÷ 2 ? Unités = 8 (pair) → ✓ Oui
÷ 3 ? 3+2+0+8 = 13, non div. par 3 → ✗ Non
÷ 5 ? Unités = 8 ≠ 0 ou 5 → ✗ Non
÷ 9 ? 3+2+0+8 = 13, non div. par 9 → ✗ Non
÷ 10 ? Unités ≠ 0 → ✗ Non
3 208 est divisible par 2 uniquement.
9 045
÷ 2 ? Unités = 5 (impair) → ✗ Non
÷ 3 ? 9+0+4+5 = 18, div. par 3 → ✓ Oui
÷ 5 ? Unités = 5 → ✓ Oui
÷ 9 ? 9+0+4+5 = 18, div. par 9 → ✓ Oui
÷ 10 ? Unités ≠ 0 → ✗ Non
9 045 est divisible par 3, 5 et 9.
✓ Vu

Exercice 3 / 5

Nombres premiers Décomposition
1.Les nombres 87, 67 et 119 sont-ils premiers ? Justifier.
2.Décomposer les nombres 84, 126 et 504 en produit de facteurs premiers.
3.Expliquer pourquoi 504 est divisible par 9, en utilisant sa décomposition.
1. Ces nombres sont-ils premiers ?
87 8+7 = 15, divisible par 3. Donc 87 = 3 × 29. → ✗ Non premier
67 Non divisible par 2 (impair), ni par 3 (6+7=13), ni par 5 (unités=7), ni par 7 (67÷7=9 reste 4), ni par 11 (67÷11=6 reste 1). On a testé tous les premiers jusqu'à 11, et 11×11=121 > 67 : si 67 avait un diviseur, il serait inférieur à 11, ce qui est impossible. → ✓ Premier
119 119 = 7 × 17 (on vérifie : 7 × 17 = 119). → ✗ Non premier
2. Décompositions en produit de facteurs premiers
842
422
213
77
1
84 = 2 × 2 × 3 × 7
1262
633
213
77
1
126 = 2 × 3 × 3 × 7
5042
2522
1262
633
213
77
1
504 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7
3. Pourquoi 504 est-il divisible par 9 ?

504 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7

La décomposition contient le facteur 3 × 3 = 9.

Puisque 9 apparaît dans la décomposition de 504, on sait que 504 est un multiple de 9.
Vérification : 504 ÷ 9 = 56. ✓
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Exercice 4 / 5

Tout mélangé

Soit le nombre 756.

1.En utilisant les critères, vérifier la divisibilité de 756 par 2, 3, 5, 9 et 10.
2.Décomposer 756 en produit de facteurs premiers.
3.Retrouver à partir de la décomposition pourquoi 756 est (ou n'est pas) divisible par 2, 3 et 9.
4.Donner cinq multiples de 756.
1. Critères pour 756
÷ 2 ? Unités = 6 (pair) → ✓ Oui
÷ 3 ? 7+5+6 = 18, div. par 3 → ✓ Oui
÷ 5 ? Unités = 6 ≠ 0 ou 5 → ✗ Non
÷ 9 ? 7+5+6 = 18, div. par 9 → ✓ Oui
÷ 10 ? Unités ≠ 0 → ✗ Non
2. Décomposition de 756
7562
3782
1893
633
213
77
1
756 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 7
3. Lien décomposition ↔ divisibilité
÷ 2 Le facteur 2 est dans la décomposition → 756 est un multiple de 2. ✓
÷ 3 Le facteur 3 est dans la décomposition → 756 est un multiple de 3. ✓
÷ 9 La décomposition contient 3 × 3 = 9 → 756 est un multiple de 9. ✓
÷ 5 Le facteur 5 est absent de la décomposition → 756 n'est pas un multiple de 5. ✗
4. Cinq multiples de 756 (parmi d'autres)
7561 5122 2683 0243 780

car 756×1 ; 756×2 ; 756×3 ; 756×4 ; 756×5

⚠️ De nombreuses autres réponses sont possibles !
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Exercice 5 / 5

Problème – Tout le chapitre ★
Un professeur de sport dispose de 96 garçons et 72 filles à répartir en équipes mixtes identiques, sans qu'aucun élève ne reste sans équipe. Il veut constituer le plus grand nombre d'équipes possible.
1.Vérifier à l'aide d'un critère de divisibilité que 96 et 72 sont tous les deux divisibles par 3.
2.Décomposer 96 et 72 en produit de facteurs premiers.
3.Déterminer le plus grand nombre d'équipes possible. Justifier à l'aide des décompositions.
4.Combien y a-t-il de garçons et de filles dans chaque équipe ?

💡 Indices – clique sur celui de la question qui te bloque

Réfléchis à ce que signifie « sans qu'aucun élève ne reste sans équipe ». Quel lien y a-t-il entre le nombre d'équipes et les nombres 96 et 72 ?
Tu as décomposé 96 et 72 en facteurs premiers. Comment peut-on utiliser ces décompositions pour trouver un nombre qui divise les deux à la fois ?
Compare les facteurs premiers des deux décompositions. Pour qu'un facteur soit « commun », combien de fois peut-on l'utiliser au maximum sans dépasser ce que contient chacune des deux décompositions ?
1. Critère de divisibilité par 3
96 ÷ 3 ? 9+6 = 15, divisible par 3 → ✓ Oui
72 ÷ 3 ? 7+2 = 9, divisible par 3 → ✓ Oui
2. Décompositions de 96 et 72
962
482
242
122
62
33
1
96 = 2×2×2×2×2×3
722
362
182
93
33
1
72 = 2×2×2×3×3
3. Plus grand nombre d'équipes (plus grand diviseur commun)

On identifie les facteurs communs aux deux décompositions avec le plus petit exposant :

Facteur 2 96 en a cinq, 72 en a trois. On prend 2 × 2 × 2.
Facteur 3 96 en a un, 72 en a deux. On prend 3.
Plus grand diviseur commun de 96 et 72 = 2 × 2 × 2 × 3 = 24
Le plus grand nombre d'équipes est 24.
4. Composition de chaque équipe

96 ÷ 24 = 4 garçons par équipe  |  72 ÷ 24 = 3 filles par équipe.

Chaque équipe compte 4 garçons et 3 filles.

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