6e · Géométrie · Chapitre 10 — Les triangles

Calculer des angles
dans un triangle

Feuille d'exercices n°1 — Cas général et triangles particuliers

Somme = 180° Triangles particuliers Lecture de codage

📌 Ce qu'il faut savoir avant de commencer

① Dans tout triangle
La somme des trois angles vaut toujours 180°, quelle que soit la forme du triangle.
\(\widehat{BAC} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180°\)
② Triangle rectangle
Un angle vaut déjà 90° (angle droit, codé par un petit carré). Les deux autres sont donc complémentaires : leur somme vaut 90°.
Si \(\widehat{BAC}=90°\), alors \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90°\)
③ Triangle isocèle / équilatéral
Isocèle : les deux angles à la base (côtés marqués égaux) sont égaux. Équilatéral : les trois côtés — et donc les trois angles — sont égaux, chacun mesure 60°.
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Exercice 1 / 6

Échauffement Triangle quelconque
✓ Vu

Dans chaque triangle ABC ci-dessous, deux angles sont donnés. Calculer la mesure de l'angle manquant.

a) \(\widehat{BAC} = 62°\) et \(\widehat{ABC} = 79°\). Calculer \(\widehat{ACB}\).
b) \(\widehat{BAC} = 34°\) et \(\widehat{ACB} = 121°\). Calculer \(\widehat{ABC}\).
c) \(\widehat{ABC} = 15°\) et \(\widehat{ACB} = 142°\). Calculer \(\widehat{BAC}\).
d) \(\widehat{BAC} = 58°\) et \(\widehat{ABC} = 58°\). Calculer \(\widehat{ACB}\).
a) Calcul de \(\widehat{ACB}\)
On sait que\(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°\)
Donc\(\widehat{ACB}=180°-62°-79°\)
\(\widehat{ACB} = 39°\)
b) Calcul de \(\widehat{ABC}\)
Donc\(\widehat{ABC}=180°-34°-121°\)
\(\widehat{ABC} = 25°\)
c) Calcul de \(\widehat{BAC}\)
Donc\(\widehat{BAC}=180°-15°-142°\)
\(\widehat{BAC} = 23°\)
d) Calcul de \(\widehat{ACB}\)
Donc\(\widehat{ACB}=180°-58°-58°\)
\(\widehat{ACB} = 64°\)

💡 Ici deux angles sont égaux : ce triangle est isocèle, même si l'énoncé ne le précise pas. On y reviendra dans les exercices suivants !

Exercice 2 / 6

Triangle rectangle Angles complémentaires
✓ Vu

Dans chaque cas, le triangle est rectangle (angle droit codé par un petit carré). Calculer les angles demandés.

27° T R S
Exemple : le triangle RST, rectangle en R (\(\widehat{SRT}=90°\))
a) RST rectangle en R (\(\widehat{SRT}=90°\)) avec \(\widehat{RST} = 27°\). Calculer \(\widehat{RTS}\).
b) MNP rectangle en M avec \(\widehat{MNP} = 54°\). Calculer \(\widehat{MPN}\).
c) ABC rectangle en A, avec \(\widehat{ABC} = 2 \times \widehat{ACB}\). Calculer \(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{ACB}\).

💡 Indices

L'angle droit vaut 90°. Les deux autres angles doivent donc, ensemble, compléter jusqu'à 90° (et non 180°).
Remplace \(\widehat{ABC}\) par \(2\times\widehat{ACB}\) dans l'équation \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90°\) : tu obtiens \(3\times\widehat{ACB}=90°\).
a) Triangle RST
Rectangle en Rdonc \(\widehat{RST}+\widehat{RTS}=90°\)
Donc\(\widehat{RTS}=90°-27°\)
\(\widehat{RTS} = 63°\)
b) Triangle MNP
Donc\(\widehat{MPN}=90°-54°\)
\(\widehat{MPN} = 36°\)
c) Triangle ABC
On sait que\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90°\) et \(\widehat{ABC}=2\times\widehat{ACB}\)
Donc\(2\times\widehat{ACB}+\widehat{ACB}=90°\), soit \(3\times\widehat{ACB}=90°\)
Donc\(\widehat{ACB}=90°\div3=30°\)
Et\(\widehat{ABC}=2\times30°=60°\)
\(\widehat{ACB} = 30°\) et \(\widehat{ABC} = 60°\)

Exercice 3 / 6

Triangle isocèle Angles à la base égaux
✓ Vu

Rappel : si un triangle est isocèle en un sommet, les deux côtés issus de ce sommet sont égaux (codage identique), et les deux angles à la base sont égaux entre eux.

48° D E F
Exemple : le triangle DEF, isocèle en D
a) DEF isocèle en D avec \(\widehat{EDF} = 48°\). Calculer \(\widehat{DEF}\) et \(\widehat{DFE}\).
b) GHI isocèle en G, avec un angle à la base \(\widehat{GHI} = 54°\). Calculer \(\widehat{GIH}\) et \(\widehat{HGI}\).
c) LMN isocèle en L, avec \(\widehat{LMN} = 2 \times \widehat{MLN}\) (\(\widehat{LMN}\) est un angle à la base). Calculer les trois angles.

💡 Indices

« Isocèle en D » signifie que D est le sommet principal : ce sont donc les deux autres angles, \(\widehat{DEF}\) et \(\widehat{DFE}\), qui sont égaux entre eux — pas l'angle \(\widehat{EDF}\).
Isocèle en L → les deux angles à la base \(\widehat{LMN}\) et \(\widehat{LNM}\) sont égaux. Remplace \(\widehat{LMN}\) par \(2\times\widehat{MLN}\) dans \(\widehat{MLN}+2\times\widehat{LMN}=180°\).
a) Triangle DEF
Isocèle en Ddonc \(\widehat{DEF}=\widehat{DFE}\)
On sait que\(\widehat{EDF}+\widehat{DEF}+\widehat{DFE}=180°\)
Donc\(2\times\widehat{DEF}=180°-48°=132°\)
\(\widehat{DEF} = \widehat{DFE} = 66°\)
b) Triangle GHI
Isocèle en Gdonc \(\widehat{GIH}=\widehat{GHI}=54°\)
Donc\(\widehat{HGI}=180°-54°-54°\)
\(\widehat{GIH} = 54°\) et \(\widehat{HGI} = 72°\)
c) Triangle LMN
Isocèle en Ldonc \(\widehat{LMN}=\widehat{LNM}\)
On a\(\widehat{MLN}+\widehat{LMN}+\widehat{LNM}=180°\) et \(\widehat{LMN}=2\times\widehat{MLN}\)
Donc\(\widehat{MLN}+2\times\widehat{MLN}+2\times\widehat{MLN}=180°\), soit \(5\times\widehat{MLN}=180°\)
Donc\(\widehat{MLN}=36°\)
\(\widehat{MLN} = 36°\) et \(\widehat{LMN} = \widehat{LNM} = 72°\)

Exercice 4 / 6

Triangle équilatéral Justifier
✓ Vu
a) Le triangle RST est équilatéral. Justifier que chacun de ses trois angles mesure 60°.
b) Un triangle possède un angle de 60°. Peut-on affirmer qu'il est forcément équilatéral ? Justifier à l'aide d'un contre-exemple si nécessaire.
c) UVW est équilatéral. Calculer \(\widehat{VUW} + \widehat{UVW}\).

💡 Indices

Les trois côtés étant égaux, les trois angles sont aussi égaux entre eux. La somme des trois angles vaut 180°.
Cherche un triangle avec un angle de 60° mais dont les deux autres angles sont différents entre eux (donc pas isocèle non plus).
a) Justification

Le triangle RST est équilatéral, donc ses trois côtés sont égaux, donc ses trois angles sont égaux entre eux : \(\widehat{SRT}=\widehat{RST}=\widehat{RTS}\).

Or\(\widehat{SRT}+\widehat{RST}+\widehat{RTS}=180°\)
Donc\(3\times\widehat{SRT}=180°\), soit \(\widehat{SRT}=180°\div3\)
\(\widehat{SRT}=\widehat{RST}=\widehat{RTS}=60°\)
b) Réponse

Non, avoir un angle de 60° ne suffit pas à être équilatéral.

Contre-exemple : un triangle avec des angles de 60°, 50° et 70° a bien un angle de 60°, mais ses trois angles ne sont pas égaux : il n'est pas équilatéral (il n'est même pas isocèle).
c) Triangle UVW
Chaque anglevaut 60° (triangle équilatéral)
Donc\(\widehat{VUW}+\widehat{UVW}=60°+60°\)
\(\widehat{VUW} + \widehat{UVW} = 120°\)

Exercice 5 / 6

Cas combinés Rectangle + isocèle
✓ Vu

Un triangle peut posséder plusieurs propriétés en même temps. Attention à bien combiner les deux règles.

G H I
GHI : rectangle en G et isocèle en G (GH = GI)
a) GHI est rectangle et isocèle en G (GH = GI). Calculer \(\widehat{GHI}\) et \(\widehat{GIH}\).
b) Un triangle ABC est rectangle en A. Peut-il être isocèle en B (c'est-à-dire AB = BC) ? Justifier.
c) Une pièce métallique a la forme d'un triangle rectangle isocèle (comme en a). L'ouvrier doit connaître les deux angles aigus pour régler sa scie. Donner ces deux angles.

💡 Indices

Rectangle en G → \(\widehat{GHI}+\widehat{GIH}=90°\). Isocèle en G → \(\widehat{GHI}=\widehat{GIH}\). Combine les deux informations.
Isocèle en B signifie que les angles à la base — donc en A et en C, c'est-à-dire \(\widehat{BAC}\) et \(\widehat{BCA}\) — sont égaux. Mais l'angle en A vaut déjà 90°...
a) Triangle GHI
Rectangle en Gdonc \(\widehat{GHI}+\widehat{GIH}=90°\)
Isocèle en Gdonc \(\widehat{GHI}=\widehat{GIH}\)
Donc\(2\times\widehat{GHI}=90°\)
\(\widehat{GHI} = \widehat{GIH} = 45°\)
b) Réponse

C'est impossible.

Piège : isocèle en B signifie que les angles à la base, en A et en C, sont égaux : \(\widehat{BAC}=\widehat{BCA}\). Mais le triangle est rectangle en A, donc \(\widehat{BAC}=90°\), ce qui obligerait \(\widehat{BCA}=90°\) aussi — la somme des trois angles dépasserait alors 180°. Un triangle rectangle en A ne peut donc pas être isocèle en B.
c) Application

Il s'agit du même triangle qu'en a) : rectangle et isocèle au même sommet.

Les deux angles aigus mesurent chacun 45°.

Exercice 6 / 6

Bilan Reconnaître puis calculer
✓ Vu

Pour chaque triangle, observer d'abord le codage sur la figure pour identifier son type, puis calculer les angles demandés.

37° Q P R
Triangle PQR
71° S U T
Triangle STU
V W X
Triangle VWX
Y Z A
Triangle YZA
a) Identifier le type du triangle PQR, puis calculer \(\widehat{PRQ}\).
b) Identifier le type du triangle STU, puis calculer \(\widehat{SUT}\).
c) Identifier le type du triangle VWX, puis donner ses trois angles.
d) Identifier le type du triangle YZA (deux propriétés à la fois !), puis calculer \(\widehat{YZA}\) et \(\widehat{YAZ}\).

💡 Indices

Un petit carré = angle droit (triangle rectangle). Des traits identiques sur deux côtés = côtés égaux (triangle isocèle). Trois côtés marqués pareil = triangle équilatéral.
YZA porte à la fois le codage de l'angle droit et celui des côtés égaux : c'est exactement la situation de l'exercice 5a).
a) Triangle PQR

Les côtés [QP] et [QR] portent le même codage : PQR est isocèle en Q. Les angles à la base \(\widehat{QPR}\) et \(\widehat{PRQ}\) sont donc égaux.

\(\widehat{PRQ} = 37°\)
b) Triangle STU

Le petit carré en S indique un angle droit : STU est rectangle en S.

Donc\(\widehat{SUT}=90°-\widehat{STU}=90°-71°\)
\(\widehat{SUT} = 19°\)
c) Triangle VWX

Les trois côtés portent le même codage : VWX est équilatéral.

\(\widehat{WVX} = \widehat{VWX} = \widehat{VXW} = 60°\)
d) Triangle YZA

Le petit carré en Y indique un angle droit, et les côtés [YZ] et [YA] portent le même codage : YZA est rectangle et isocèle en Y.

Rectangle en Ydonc \(\widehat{YZA}+\widehat{YAZ}=90°\)
Isocèle en Ydonc \(\widehat{YZA}=\widehat{YAZ}\)
\(\widehat{YZA} = \widehat{YAZ} = 45°\)

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